Edit to “Решение”

astrosander edited Mar 15, 2025, 9:42 PM

View solution History

revision #13601 parent #8911 ← older

ru/3.1.12.md +12 −15

			### Условие

			$3.1.12.$ а. Небольшое заряженное тело массы $m$ может скользить по вертикальной спице, в нижней точке которой закреплен заряд, одноименный с зарядом тела. Положение равновесия тела находится на расстоянии $R$ от этого заряда. Как зависит сила, действующая на тело, от малого его смещения $x$ из положения равновесия? б. Массу тела увеличили втрое, оставив заряды неизменными. На каком теперь расстоянии от нижнего конца спицы находится положение равновесия тела? Как зависит сила, действующая на тело, от малого его смещения из положения равновесия?

			![ К задаче $3.1.12$ \|238x458, 17%](../../img/3.1.12/3.1.12.png)

			### Решение

			a) Равенство сил в положении равновесия

			$$
			mg=\frac{kq^2}{R^2}\Rightarrow kq^2=mgR^2
			$$

			$$
			F'=F-mg=\frac{mgR^2}{R^2+2Rx+x^2}-mg
			$$

			$$
			F'=\frac{mgR^2-mgR^2-2mgRx-mgx^2}{(R+x)^2}
			$$

			Пользуясь приближением для $x\ll R$

			$$
		@@ -26,43 +26,40 @@Решение
			F'\approx-\frac{2mgRx}{(R+x)^2}
			$$

		−	Далее воспользумся приближения: $(1+x)^\alpha
		+	Далее воспользумся приближения: $(1+x)^\alpha \approx1+\alpha x$, где $x\ll1$

		−	$$
		−	\approx1+\alpha x$, где $x\ll1$
		−	$$

		+	$$
			F'=-\frac{2mgRx}{(R+x)^2}\approx-2mgRx\frac{1}{R^2}(1-2\frac{x}{R})
		−
			$$

			$$
		−
			F'=-\frac{2mgx}{R}-\frac{4mgx^2}{R^2}
		−
			$$
		+
			Учитывая $x \ll R$, мы пренебрегаем слагаемым с $R^2$
		−	$$

		+	$$
			\boxed{F'\approx-\frac{2mgx}{R}}
		−
			$$
		+
			б) Далее запишем систему уравнений равновесия системы
		−	$$

		+	$$
			\left\\{\begin{matrix}3mg=\frac{kq^2}{x^2} \\\ mg=\frac{kq^2}{R^2} \end{matrix}\right.
		−
			$$
		+
			Найдём теперь на каком расстоянии от нижнего конца спицы находится положение равновесия тела
		−	$$

		+	$$
			\frac{R}{x}=\sqrt{3}\Rightarrow \boxed{x=\frac{R}{\sqrt{3}}}
		−
			$$
		+
			Сила, действующая на тело зависит от малого его смещения из положения равновесия
		−	$$

		−	\boxed{F''=-\frac{2m'gx}{R'}=-\frac{6mgx}{R'}}$$
		+	$$
		+	\boxed{F''=-\frac{2m'gx}{R'}=-\frac{6mgx}{R'}}
		+	$$

			#### Ответ

			$$
			F=-\frac{2mgx}{R};\quad R'=\frac{R}{\sqrt{3}};\quad F'=-\frac{6mgx}{R'}
			$$
		unchanged lines 3

	### Условие		### Условие

	$3.1.12.$ а. Небольшое заряженное тело массы $m$ может скользить по вертикальной спице, в нижней точке которой закреплен заряд, одноименный с зарядом тела. Положение равновесия тела находится на расстоянии $R$ от этого заряда. Как зависит сила, действующая на тело, от малого его смещения $x$ из положения равновесия? б. Массу тела увеличили втрое, оставив заряды неизменными. На каком теперь расстоянии от нижнего конца спицы находится положение равновесия тела? Как зависит сила, действующая на тело, от малого его смещения из положения равновесия?		$3.1.12.$ а. Небольшое заряженное тело массы $m$ может скользить по вертикальной спице, в нижней точке которой закреплен заряд, одноименный с зарядом тела. Положение равновесия тела находится на расстоянии $R$ от этого заряда. Как зависит сила, действующая на тело, от малого его смещения $x$ из положения равновесия? б. Массу тела увеличили втрое, оставив заряды неизменными. На каком теперь расстоянии от нижнего конца спицы находится положение равновесия тела? Как зависит сила, действующая на тело, от малого его смещения из положения равновесия?

	![ К задаче $3.1.12$ \|238x458, 17%](../../img/3.1.12/3.1.12.png)		![ К задаче $3.1.12$ \|238x458, 17%](../../img/3.1.12/3.1.12.png)

	### Решение		### Решение

	a) Равенство сил в положении равновесия		a) Равенство сил в положении равновесия

	$$		$$
	mg=\frac{kq^2}{R^2}\Rightarrow kq^2=mgR^2		mg=\frac{kq^2}{R^2}\Rightarrow kq^2=mgR^2
	$$		$$

	$$		$$
	F'=F-mg=\frac{mgR^2}{R^2+2Rx+x^2}-mg		F'=F-mg=\frac{mgR^2}{R^2+2Rx+x^2}-mg
	$$		$$

	$$		$$
	F'=\frac{mgR^2-mgR^2-2mgRx-mgx^2}{(R+x)^2}		F'=\frac{mgR^2-mgR^2-2mgRx-mgx^2}{(R+x)^2}
	$$		$$

	Пользуясь приближением для $x\ll R$		Пользуясь приближением для $x\ll R$

	$$		$$
	@@ -26,43 +26,40 @@Решение
	F'\approx-\frac{2mgRx}{(R+x)^2}		F'\approx-\frac{2mgRx}{(R+x)^2}
	$$		$$

	Далее воспользумся приближения: $(1+x)^\alpha		Далее воспользумся приближения: $(1+x)^\alpha \approx1+\alpha x$, где $x\ll1$

	$$
	\approx1+\alpha x$, где $x\ll1$
	$$

			$$
	F'=-\frac{2mgRx}{(R+x)^2}\approx-2mgRx\frac{1}{R^2}(1-2\frac{x}{R})		F'=-\frac{2mgRx}{(R+x)^2}\approx-2mgRx\frac{1}{R^2}(1-2\frac{x}{R})

	$$		$$

	$$		$$

	F'=-\frac{2mgx}{R}-\frac{4mgx^2}{R^2}		F'=-\frac{2mgx}{R}-\frac{4mgx^2}{R^2}

	$$		$$

	Учитывая $x \ll R$, мы пренебрегаем слагаемым с $R^2$		Учитывая $x \ll R$, мы пренебрегаем слагаемым с $R^2$
	$$

			$$
	\boxed{F'\approx-\frac{2mgx}{R}}		\boxed{F'\approx-\frac{2mgx}{R}}

	$$		$$

	б) Далее запишем систему уравнений равновесия системы		б) Далее запишем систему уравнений равновесия системы
	$$

			$$
	\left\\{\begin{matrix}3mg=\frac{kq^2}{x^2} \\\ mg=\frac{kq^2}{R^2} \end{matrix}\right.		\left\\{\begin{matrix}3mg=\frac{kq^2}{x^2} \\\ mg=\frac{kq^2}{R^2} \end{matrix}\right.

	$$		$$

	Найдём теперь на каком расстоянии от нижнего конца спицы находится положение равновесия тела		Найдём теперь на каком расстоянии от нижнего конца спицы находится положение равновесия тела
	$$

			$$
	\frac{R}{x}=\sqrt{3}\Rightarrow \boxed{x=\frac{R}{\sqrt{3}}}		\frac{R}{x}=\sqrt{3}\Rightarrow \boxed{x=\frac{R}{\sqrt{3}}}

	$$		$$

	Сила, действующая на тело зависит от малого его смещения из положения равновесия		Сила, действующая на тело зависит от малого его смещения из положения равновесия
	$$

	\boxed{F''=-\frac{2m'gx}{R'}=-\frac{6mgx}{R'}}$$		$$
			\boxed{F''=-\frac{2m'gx}{R'}=-\frac{6mgx}{R'}}
			$$

	#### Ответ		#### Ответ

	$$		$$
	F=-\frac{2mgx}{R};\quad R'=\frac{R}{\sqrt{3}};\quad F'=-\frac{6mgx}{R'}		F=-\frac{2mgx}{R};\quad R'=\frac{R}{\sqrt{3}};\quad F'=-\frac{6mgx}{R'}
	$$		$$
	unchanged lines 3