Edit to “Решение”
ru/3.1.16.md
+1 −1
| ### Условие | |||
| $3.1.16.$ Определите, в каких пределах меняется сила натяжения нити математического маятника, амплитуда колебаний которого $x_0$ много меньше длины нити $l$, если масса маятника $m$. | |||
| ### Решение | |||
| Сила натяжения нити найдём как | |||
| $$ | |||
| @@ -10,7 +10,7 @@Решение | |||
| T_\text{min}=mg\cos\varphi | |||
| $$ | |||
| − | Воспользуем приближением, при $\varphi\ll1$, $\cos\varphi=1-\frac{\varphi^2}{2}\tag{1}$ | ||
| + | Воспользуем приближением, при $\varphi\ll1$, $\cos\varphi=1-\frac{\varphi^2}{2}\tag{1}$ | ||
| $$ | |||
| mg\cos\varphi \approx mg\left(1-\frac{\varphi^2}{2}\right) | |||
| $$ | |||
| $$ | |||
| \boxed{T_\text{min} =mg\left(1-\frac{x_0^2}{2l^2}\right)} | |||
| $$ | |||
| Запишем второй закон Ньютона | |||
| $$ | |||
| ma=T_\text{max}-mg | |||
| $$ | |||
| $$ | |||
| T_\text{max}=m\left(\frac{\upsilon^2}{l}+g\right) | |||
| $$ | |||
| Также, запишем закон сохранения энергии | |||
| $$ | |||
| mgl(1-\cos\varphi)=\frac{m\upsilon^2}{2} | |||
| $$ | |||
| $$ | |||
| \upsilon^2=2gl(1-\cos\varphi) | |||
| $$ | |||
| Учитывая приближение $(1)$ | |||
| $$ | |||
| v^2\approx gl\varphi^2=\frac{gx_0^2}{l} | |||
| $$ | |||
| Подставим данное выражение для скорости в выражение для $T_\text{max}$: | |||
| $$ | |||
| \boxed{T_\text{max}=mg\left(1+\frac{x_0^2}{l^2}\right)} | |||
| $$ | |||
| #### Ответ | |||
| $$ | |||
| mg\left(1-\frac{x_0^2}{2l^2}\right) < T < mg\left(1+\frac{x_0^2}{l^2}\right) | |||
| $$ | |||
| unchanged lines 43 | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $3.1.16.$ Определите, в каких пределах меняется сила натяжения нити математического маятника, амплитуда колебаний которого $x_0$ много меньше длины нити $l$, если масса маятника $m$. | $3.1.16.$ Определите, в каких пределах меняется сила натяжения нити математического маятника, амплитуда колебаний которого $x_0$ много меньше длины нити $l$, если масса маятника $m$. | ||
| ### Решение | ### Решение | ||
| Сила натяжения нити найдём как | Сила натяжения нити найдём как | ||
| $$ | $$ | ||
| @@ -10,7 +10,7 @@Решение | |||
| T_\text{min}=mg\cos\varphi | T_\text{min}=mg\cos\varphi | ||
| $$ | $$ | ||
| Воспользуем приближением, при $\varphi\ll1$, $\cos\varphi=1-\frac{\varphi^2}{2}\tag{1}$ |
Воспользуем приближением, при $\varphi\ll1$, $\cos\varphi=1-\frac{\varphi^2}{2}\tag{1}$ | ||
| $$ | $$ | ||
| mg\cos\varphi \approx mg\left(1-\frac{\varphi^2}{2}\right) | mg\cos\varphi \approx mg\left(1-\frac{\varphi^2}{2}\right) | ||
| $$ | $$ | ||
| $$ | $$ | ||
| \boxed{T_\text{min} =mg\left(1-\frac{x_0^2}{2l^2}\right)} | \boxed{T_\text{min} =mg\left(1-\frac{x_0^2}{2l^2}\right)} | ||
| $$ | $$ | ||
| Запишем второй закон Ньютона | Запишем второй закон Ньютона | ||
| $$ | $$ | ||
| ma=T_\text{max}-mg | ma=T_\text{max}-mg | ||
| $$ | $$ | ||
| $$ | $$ | ||
| T_\text{max}=m\left(\frac{\upsilon^2}{l}+g\right) | T_\text{max}=m\left(\frac{\upsilon^2}{l}+g\right) | ||
| $$ | $$ | ||
| Также, запишем закон сохранения энергии | Также, запишем закон сохранения энергии | ||
| $$ | $$ | ||
| mgl(1-\cos\varphi)=\frac{m\upsilon^2}{2} | mgl(1-\cos\varphi)=\frac{m\upsilon^2}{2} | ||
| $$ | $$ | ||
| $$ | $$ | ||
| \upsilon^2=2gl(1-\cos\varphi) | \upsilon^2=2gl(1-\cos\varphi) | ||
| $$ | $$ | ||
| Учитывая приближение $(1)$ | Учитывая приближение $(1)$ | ||
| $$ | $$ | ||
| v^2\approx gl\varphi^2=\frac{gx_0^2}{l} | v^2\approx gl\varphi^2=\frac{gx_0^2}{l} | ||
| $$ | $$ | ||
| Подставим данное выражение для скорости в выражение для $T_\text{max}$: | Подставим данное выражение для скорости в выражение для $T_\text{max}$: | ||
| $$ | $$ | ||
| \boxed{T_\text{max}=mg\left(1+\frac{x_0^2}{l^2}\right)} | \boxed{T_\text{max}=mg\left(1+\frac{x_0^2}{l^2}\right)} | ||
| $$ | $$ | ||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| $$ | $$ | ||
| mg\left(1-\frac{x_0^2}{2l^2}\right) < T < mg\left(1+\frac{x_0^2}{l^2}\right) | mg\left(1-\frac{x_0^2}{2l^2}\right) < T < mg\left(1+\frac{x_0^2}{l^2}\right) | ||
| $$ | $$ | ||
| unchanged lines 43 | |||