Edit to “Решение”
ru/3.2.26.md
+9 −0
| ### Условие | |||
| $3.2.26.$ Найдите отношение частот колебаний молекулы $H_{2}$ и молекулы $HD$ ($D$ — атом дейтерия). | |||
| ### Решение | |||
| Сначала опишем физическую модель молекул $H_{2}$ и $HD$ в рамках данной задачи. Молекулу водорода будем представлять в виде двух одинаковых точечных масс $m_{H}$, которые находятся на некотором расстоянии друг от друга и удерживаемые в стабильном состоянии благодаря химической ковалентной связи между атомами водорода. Ковалентная связь образуется парой электронов в атомах водорода и не зависит от массы ядра атома водорода. Силу ковалентной связи можно описать аналогично силе упругости: при увеличении расстояния между атомами относительно некого равновесного расстояния возникает сила притяжения прямо пропорциональная относительному изменению расстояния, а при уменьшении расстояния между атомами возникает сила отталкивания также прямо пропорциональная относительному изменению расстояния: $\vec F_{ков}=k\Delta \vec r$. Коэффициент химической связи $k$, который отражает жесткость ковалентной связи, зависит от свойств атомов, участвующих в связи. Молекула $HD$ полностью подходит под данную физическую модель с той разницей, что один из атомов имеет массу в два раза большую, чем атом водорода $m_{D}=2m_{H}$ (в ядре находится один протон и один нейтрон). Коэффициент жесткости $k$ не зависит от массы элементов, поскольку он отражает свойства самой ковалентной связи — то есть силы, удерживающей атомы вместе, которая остается неизменной как в $H-H$, так и в $H-D$: | |||
| @@ -8,8 +8,17 @@Решение | |||
| $$k_{HD}=k_{H_{2}}$$ | |||
| + | Теперь рассмотрим одномерный случай движения точечных масс $m_{1}$ и $m_{2}$ под действием силы ковалентной связи ($k$). Смещение атомов происходит относительно их положения равновесия. Пусть масса $m_{1}$ в некоторый момент времени $t$ имеет координату $x_{1}(t)$, а масса $m_{2}$ имеет координату $x_{2}(t)$. Согласно второму закону Ньютона для первой массы: | ||
| + | |||
| + | $$m_{1}\ddot{x}_{1}=-k(x_{1}-x_{2})$$ | ||
| + | |||
| + | Для второй массы: | ||
| + | |||
| + | $$m_{2}\ddot{x}_{2}=k(x_{1}-x_{2})$$ | ||
| + | |||
| + | Введём относительную координату $\xi=x_{1}-x_{2}$. Дважды продифференцируем: $\ddot{\xi}=\ddot{x}_{1}-\ddot{x}_{2}$ | ||
| #### Ответ | |||
| $$\frac{\omega_{HD}}{\omega_{H_{2}}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$ | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $3.2.26.$ Найдите отношение частот колебаний молекулы $H_{2}$ и молекулы $HD$ ($D$ — атом дейтерия). | $3.2.26.$ Найдите отношение частот колебаний молекулы $H_{2}$ и молекулы $HD$ ($D$ — атом дейтерия). | ||
| ### Решение | ### Решение | ||
| Сначала опишем физическую модель молекул $H_{2}$ и $HD$ в рамках данной задачи. Молекулу водорода будем представлять в виде двух одинаковых точечных масс $m_{H}$, которые находятся на некотором расстоянии друг от друга и удерживаемые в стабильном состоянии благодаря химической ковалентной связи между атомами водорода. Ковалентная связь образуется парой электронов в атомах водорода и не зависит от массы ядра атома водорода. Силу ковалентной связи можно описать аналогично силе упругости: при увеличении расстояния между атомами относительно некого равновесного расстояния возникает сила притяжения прямо пропорциональная относительному изменению расстояния, а при уменьшении расстояния между атомами возникает сила отталкивания также прямо пропорциональная относительному изменению расстояния: $\vec F_{ков}=k\Delta \vec r$. Коэффициент химической связи $k$, который отражает жесткость ковалентной связи, зависит от свойств атомов, участвующих в связи. Молекула $HD$ полностью подходит под данную физическую модель с той разницей, что один из атомов имеет массу в два раза большую, чем атом водорода $m_{D}=2m_{H}$ (в ядре находится один протон и один нейтрон). Коэффициент жесткости $k$ не зависит от массы элементов, поскольку он отражает свойства самой ковалентной связи — то есть силы, удерживающей атомы вместе, которая остается неизменной как в $H-H$, так и в $H-D$: | Сначала опишем физическую модель молекул $H_{2}$ и $HD$ в рамках данной задачи. Молекулу водорода будем представлять в виде двух одинаковых точечных масс $m_{H}$, которые находятся на некотором расстоянии друг от друга и удерживаемые в стабильном состоянии благодаря химической ковалентной связи между атомами водорода. Ковалентная связь образуется парой электронов в атомах водорода и не зависит от массы ядра атома водорода. Силу ковалентной связи можно описать аналогично силе упругости: при увеличении расстояния между атомами относительно некого равновесного расстояния возникает сила притяжения прямо пропорциональная относительному изменению расстояния, а при уменьшении расстояния между атомами возникает сила отталкивания также прямо пропорциональная относительному изменению расстояния: $\vec F_{ков}=k\Delta \vec r$. Коэффициент химической связи $k$, который отражает жесткость ковалентной связи, зависит от свойств атомов, участвующих в связи. Молекула $HD$ полностью подходит под данную физическую модель с той разницей, что один из атомов имеет массу в два раза большую, чем атом водорода $m_{D}=2m_{H}$ (в ядре находится один протон и один нейтрон). Коэффициент жесткости $k$ не зависит от массы элементов, поскольку он отражает свойства самой ковалентной связи — то есть силы, удерживающей атомы вместе, которая остается неизменной как в $H-H$, так и в $H-D$: | ||
| @@ -8,8 +8,17 @@Решение | |||
| $$k_{HD}=k_{H_{2}}$$ | $$k_{HD}=k_{H_{2}}$$ | ||
| Теперь рассмотрим одномерный случай движения точечных масс $m_{1}$ и $m_{2}$ под действием силы ковалентной связи ($k$). Смещение атомов происходит относительно их положения равновесия. Пусть масса $m_{1}$ в некоторый момент времени $t$ имеет координату $x_{1}(t)$, а масса $m_{2}$ имеет координату $x_{2}(t)$. Согласно второму закону Ньютона для первой массы: | |||
| $$m_{1}\ddot{x}_{1}=-k(x_{1}-x_{2})$$ | |||
| Для второй массы: | |||
| $$m_{2}\ddot{x}_{2}=k(x_{1}-x_{2})$$ | |||
| Введём относительную координату $\xi=x_{1}-x_{2}$. Дважды продифференцируем: $\ddot{\xi}=\ddot{x}_{1}-\ddot{x}_{2}$ | |||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| $$\frac{\omega_{HD}}{\omega_{H_{2}}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$ | $$\frac{\omega_{HD}}{\omega_{H_{2}}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$ | ||