$3.2.26.$ Найдите отношение частот колебаний молекулы $H_{2}$ и молекулы $HD$ ($D$ — атом дейтерия).
### Решение
Сначала опишем физическую модель молекул $H_{2}$ и $HD$ в рамках данной задачи. Молекулу водорода будем представлять в виде двух одинаковых точечных масс $m_{H}$, которые находятся на некотором расстоянии друг от друга и удерживаемые в стабильном состоянии благодаря химической ковалентной связи между атомами водорода. Ковалентная связь образуется парой электронов в атомах водорода и не зависит от массы ядра атома водорода. Силу ковалентной связи можно описать аналогично силе упругости: при увеличении расстояния между атомами относительно некого равновесного расстояния возникает сила притяжения прямо пропорциональная относительному изменению расстояния, а при уменьшении расстояния между атомами возникает сила отталкивания также прямо пропорциональная относительному изменению расстояния: $\vec F_{ков}=k\Delta\vec r$. Коэффициент химической связи $k$, который отражает жесткость ковалентной связи, зависит от свойств атомов, участвующих в связи. Молекула $HD$ полностью подходит под данную физическую модель с той разницей, что один из атомов имеет массу в два раза большую, чем атом водорода $m_{D}=2m_{H}$ (в ядре находится один протон и один нейтрон). Коэффициент жесткости $k$ не зависит от массы элементов, поскольку он отражает свойства самой ковалентной связи — то есть силы, удерживающей атомы вместе, которая остается неизменной как в $H-H$, так и в $H-D$:
$$k_{HD}=k_{H_{2}}$$
Теперь рассмотрим одномерный случай движения точечных масс $m_{1}$ и $m_{2}$ под действием силы ковалентной связи ($k$). Смещение атомов происходит относительно их положения равновесия. Пусть масса $m_{1}$ в некоторый момент времени $t$ имеет координату $x_{1}(t)$, а масса $m_{2}$ имеет координату $x_{2}(t)$. Согласно второму закону Ньютона для первой массы:
$$m_{1}\ddot{x}_{1}=-k(x_{1}-x_{2}) \tag{1}$$
Для второй массы:
$$m_{2}\ddot{x}_{2}=k(x_{1}-x_{2}) \tag{2}$$
Введём относительную координату $\xi=x_{1}-x_{2}$. Дважды продифференцируем:
Для молекулы водорода $m_{1}=m_{2}=m_{H}$, тогда $\mu_{H_{2}}=\frac{m_{H}}{2}$. Для молекулы $HD$: $m_{1}=m_{H}\text{, }m_{2}=m_{D}=2m_{H}$, тогда $\mu_{HD}=\frac{2m_{H}}{3}$. Подставляя в формулу (9) эти значения, получим:
$3.2.26.$ Найдите отношение частот колебаний молекулы $H_{2}$ и молекулы $HD$ ($D$ — атом дейтерия).
$3.2.26.$ Найдите отношение частот колебаний молекулы $H_{2}$ и молекулы $HD$ ($D$ — атом дейтерия).
### Решение
### Решение
Сначала опишем физическую модель молекул $H_{2}$ и $HD$ в рамках данной задачи. Молекулу водорода будем представлять в виде двух одинаковых точечных масс $m_{H}$, которые находятся на некотором расстоянии друг от друга и удерживаемые в стабильном состоянии благодаря химической ковалентной связи между атомами водорода. Ковалентная связь образуется парой электронов в атомах водорода и не зависит от массы ядра атома водорода. Силу ковалентной связи можно описать аналогично силе упругости: при увеличении расстояния между атомами относительно некого равновесного расстояния возникает сила притяжения прямо пропорциональная относительному изменению расстояния, а при уменьшении расстояния между атомами возникает сила отталкивания также прямо пропорциональная относительному изменению расстояния: $\vec F_{ков}=k\Delta\vec r$. Коэффициент химической связи $k$, который отражает жесткость ковалентной связи, зависит от свойств атомов, участвующих в связи. Молекула $HD$ полностью подходит под данную физическую модель с той разницей, что один из атомов имеет массу в два раза большую, чем атом водорода $m_{D}=2m_{H}$ (в ядре находится один протон и один нейтрон). Коэффициент жесткости $k$ не зависит от массы элементов, поскольку он отражает свойства самой ковалентной связи — то есть силы, удерживающей атомы вместе, которая остается неизменной как в $H-H$, так и в $H-D$:
Сначала опишем физическую модель молекул $H_{2}$ и $HD$ в рамках данной задачи. Молекулу водорода будем представлять в виде двух одинаковых точечных масс $m_{H}$, которые находятся на некотором расстоянии друг от друга и удерживаемые в стабильном состоянии благодаря химической ковалентной связи между атомами водорода. Ковалентная связь образуется парой электронов в атомах водорода и не зависит от массы ядра атома водорода. Силу ковалентной связи можно описать аналогично силе упругости: при увеличении расстояния между атомами относительно некого равновесного расстояния возникает сила притяжения прямо пропорциональная относительному изменению расстояния, а при уменьшении расстояния между атомами возникает сила отталкивания также прямо пропорциональная относительному изменению расстояния: $\vec F_{ков}=k\Delta\vec r$. Коэффициент химической связи $k$, который отражает жесткость ковалентной связи, зависит от свойств атомов, участвующих в связи. Молекула $HD$ полностью подходит под данную физическую модель с той разницей, что один из атомов имеет массу в два раза большую, чем атом водорода $m_{D}=2m_{H}$ (в ядре находится один протон и один нейтрон). Коэффициент жесткости $k$ не зависит от массы элементов, поскольку он отражает свойства самой ковалентной связи — то есть силы, удерживающей атомы вместе, которая остается неизменной как в $H-H$, так и в $H-D$:
$$k_{HD}=k_{H_{2}}$$
$$k_{HD}=k_{H_{2}}$$
Теперь рассмотрим одномерный случай движения точечных масс $m_{1}$ и $m_{2}$ под действием силы ковалентной связи ($k$). Смещение атомов происходит относительно их положения равновесия. Пусть масса $m_{1}$ в некоторый момент времени $t$ имеет координату $x_{1}(t)$, а масса $m_{2}$ имеет координату $x_{2}(t)$. Согласно второму закону Ньютона для первой массы:
Теперь рассмотрим одномерный случай движения точечных масс $m_{1}$ и $m_{2}$ под действием силы ковалентной связи ($k$). Смещение атомов происходит относительно их положения равновесия. Пусть масса $m_{1}$ в некоторый момент времени $t$ имеет координату $x_{1}(t)$, а масса $m_{2}$ имеет координату $x_{2}(t)$. Согласно второму закону Ньютона для первой массы:
$$m_{1}\ddot{x}_{1}=-k(x_{1}-x_{2}) \tag{1}$$
$$m_{1}\ddot{x}_{1}=-k(x_{1}-x_{2}) \tag{1}$$
Для второй массы:
Для второй массы:
$$m_{2}\ddot{x}_{2}=k(x_{1}-x_{2}) \tag{2}$$
$$m_{2}\ddot{x}_{2}=k(x_{1}-x_{2}) \tag{2}$$
Введём относительную координату $\xi=x_{1}-x_{2}$. Дважды продифференцируем:
Введём относительную координату $\xi=x_{1}-x_{2}$. Дважды продифференцируем:
Для молекулы водорода $m_{1}=m_{2}=m_{H}$, тогда $\mu_{H_{2}}=\frac{m_{H}}{2}$. Для молекулы $HD$: $m_{1}=m_{H}\text{, }m_{2}=m_{D}=2m_{H}$, тогда $\mu_{HD}=\frac{2m_{H}}{3}$. Подставляя в формулу (9) эти значения, получим:
