| @@ -1,7 +1,9 @@ |
| ### Условие |
| ### Условие |
| |
| |
| $3.2.26.$ Найдите отношение частот колебаний молекулы $H_{2}$ и молекулы $HD$ ($D$ — атом дейтерия). |
| $3.2.26.$ Найдите отношение частот колебаний молекулы $H_{2}$ и молекулы $HD$ ($D$ — атом дейтерия). |
| |
| |
| |
|  |
| |
| |
| ### Решение |
| ### Решение |
| |
| |
| Сначала опишем физическую модель молекул $H_{2}$ и $HD$ в рамках данной задачи. Молекулу водорода будем представлять в виде двух одинаковых точечных масс $m_{H}$, которые находятся на некотором расстоянии друг от друга и удерживаемые в стабильном состоянии благодаря химической ковалентной связи между атомами водорода. Ковалентная связь образуется парой электронов в атомах водорода и не зависит от массы ядра атома водорода. Силу ковалентной связи можно описать аналогично силе упругости: при увеличении расстояния между атомами относительно некого равновесного расстояния возникает сила притяжения прямо пропорциональная относительному изменению расстояния, а при уменьшении расстояния между атомами возникает сила отталкивания также прямо пропорциональная относительному изменению расстояния: $\vec F_{ков}=k\Delta \vec r$. Коэффициент химической связи $k$, который отражает жесткость ковалентной связи, зависит от свойств атомов, участвующих в связи. Молекула $HD$ полностью подходит под данную физическую модель с той разницей, что один из атомов имеет массу в два раза большую, чем атом водорода $m_{D}=2m_{H}$ (в ядре находится один протон и один нейтрон). Коэффициент жесткости $k$ не зависит от массы элементов, поскольку он отражает свойства самой ковалентной связи — то есть силы, удерживающей атомы вместе, которая остается неизменной как в $H-H$, так и в $H-D$: |
| Сначала опишем физическую модель молекул $H_{2}$ и $HD$ в рамках данной задачи. Молекулу водорода будем представлять в виде двух одинаковых точечных масс $m_{H}$, которые находятся на некотором расстоянии друг от друга и удерживаемые в стабильном состоянии благодаря химической ковалентной связи между атомами водорода. Ковалентная связь образуется парой электронов в атомах водорода и не зависит от массы ядра атома водорода. Силу ковалентной связи можно описать аналогично силе упругости: при увеличении расстояния между атомами относительно некого равновесного расстояния возникает сила притяжения прямо пропорциональная относительному изменению расстояния, а при уменьшении расстояния между атомами возникает сила отталкивания также прямо пропорциональная относительному изменению расстояния: $\vec F_{ков}=k\Delta \vec r$. Коэффициент химической связи $k$, который отражает жесткость ковалентной связи, зависит от свойств атомов, участвующих в связи. Молекула $HD$ полностью подходит под данную физическую модель с той разницей, что один из атомов имеет массу в два раза большую, чем атом водорода $m_{D}=2m_{H}$ (в ядре находится один протон и один нейтрон). Коэффициент жесткости $k$ не зависит от массы элементов, поскольку он отражает свойства самой ковалентной связи — то есть силы, удерживающей атомы вместе, которая остается неизменной как в $H-H$, так и в $H-D$: |
| | | |
| $$k_{HD}=k_{H_{2}}$$ | | $$k_{HD}=k_{H_{2}}$$ |
| | | |
| Теперь рассмотрим одномерный случай движения точечных масс $m_{1}$ и $m_{2}$ под действием силы ковалентной связи ($k$). Смещение атомов происходит относительно их положения равновесия. Пусть масса $m_{1}$ в некоторый момент времени $t$ имеет координату $x_{1}(t)$, а масса $m_{2}$ имеет координату $x_{2}(t)$. Согласно второму закону Ньютона для первой массы: | | Теперь рассмотрим одномерный случай движения точечных масс $m_{1}$ и $m_{2}$ под действием силы ковалентной связи ($k$). Смещение атомов происходит относительно их положения равновесия. Пусть масса $m_{1}$ в некоторый момент времени $t$ имеет координату $x_{1}(t)$, а масса $m_{2}$ имеет координату $x_{2}(t)$. Согласно второму закону Ньютона для первой массы: |
| | | |
| $$m_{1}\ddot{x}_{1}=-k(x_{1}-x_{2}) \tag{1}$$ | | $$m_{1}\ddot{x}_{1}=-k(x_{1}-x_{2}) \tag{1}$$ |
| | | |
| Для второй массы: | | Для второй массы: |
| | | |
| $$m_{2}\ddot{x}_{2}=k(x_{1}-x_{2}) \tag{2}$$ | | $$m_{2}\ddot{x}_{2}=k(x_{1}-x_{2}) \tag{2}$$ |
| | | |
| Введём относительную координату $\xi=x_{1}-x_{2}$. Дважды продифференцируем: | | Введём относительную координату $\xi=x_{1}-x_{2}$. Дважды продифференцируем: |
| | | |
| $\ddot{\xi}=\ddot{x}_{1}-\ddot{x}_{2} \tag{3}$ | | $\ddot{\xi}=\ddot{x}_{1}-\ddot{x}_{2} \tag{3}$ |
| | | |
| Сложим уравнение (1) и (2): | | Сложим уравнение (1) и (2): |
| | | |
| $$m_{1}\ddot{x}_{1}+m_{2}\ddot{x}_{2}=0$$ | | $$m_{1}\ddot{x}_{1}+m_{2}\ddot{x}_{2}=0$$ |
| $$\ddot{x}_{2}=-\frac{m_{1}}{m_{2}}\ddot{x}_{1} \tag{4}$$ | | $$\ddot{x}_{2}=-\frac{m_{1}}{m_{2}}\ddot{x}_{1} \tag{4}$$ |
| | | |
| Подставим в (3): | | Подставим в (3): |
| | | |
| $$\ddot{\xi}=\ddot{x}_{1}+\frac{m_{1}}{m_{2}}\ddot{x}_{1}$$ | | $$\ddot{\xi}=\ddot{x}_{1}+\frac{m_{1}}{m_{2}}\ddot{x}_{1}$$ |
| $$\ddot{x}_{1}=\frac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\cdot \ddot{\xi} \tag{5}$$ | | $$\ddot{x}_{1}=\frac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\cdot \ddot{\xi} \tag{5}$$ |
| | | |
| Используя (4), получим: | | Используя (4), получим: |
| | | |
| $$\ddot{x}_{2}=-\frac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}}\cdot \ddot{\xi} \tag{6}$$ | | $$\ddot{x}_{2}=-\frac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}}\cdot \ddot{\xi} \tag{6}$$ |
| | | |
| Теперь вычтем из (1) уравнения (2) уравнение: | | Теперь вычтем из (1) уравнения (2) уравнение: |
| | | |
| $$m_{1}\ddot{x}_{1}-m_{2}\ddot{x}_{2}=-2k(x_{1}-x_{2})$$ | | $$m_{1}\ddot{x}_{1}-m_{2}\ddot{x}_{2}=-2k(x_{1}-x_{2})$$ |
| | | |
| Перепишем через $\xi$: | | Перепишем через $\xi$: |
| | | |
| $$m_{1}\frac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\cdot \ddot{\xi}+m_{2}\frac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}}\cdot \ddot{\xi}=-2k\xi $$ | | $$m_{1}\frac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\cdot \ddot{\xi}+m_{2}\frac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}}\cdot \ddot{\xi}=-2k\xi $$ |
| | | |
| Сокращая на 2, получим: | | Сокращая на 2, получим: |
| | | |
| $$\frac{m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\cdot \ddot{\xi}=-k\xi $$ | | $$\frac{m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\cdot \ddot{\xi}=-k\xi $$ |
| | | |
| Введём обозначение $\mu=\frac{m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}$ - это приведённая масса. Тогда дифференциальное уравнение перепишем в таком виде: | | Введём обозначение $\mu=\frac{m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}$ - это приведённая масса. Тогда дифференциальное уравнение перепишем в таком виде: |
| | | |
| $$\ddot{\xi}+\frac{k}{\mu}\xi=0 \tag{7}$$ | | $$\ddot{\xi}+\frac{k}{\mu}\xi=0 \tag{7}$$ |
| | | |
| Это уравнение гармонического осциллятора с циклической частотой: | | Это уравнение гармонического осциллятора с циклической частотой: |
| | | |
| $$\omega=\sqrt{\frac{k}{\mu}} \tag{8}$$ | | $$\omega=\sqrt{\frac{k}{\mu}} \tag{8}$$ |
| | | |
| Для молекулы $H_{2}$ циклическая частота будет: | | Для молекулы $H_{2}$ циклическая частота будет: |
| | | |
| $$\omega_{H_{2}}=\sqrt{\frac{k_{H_{2}}}{\mu_{H_{2}}}}$$ | | $$\omega_{H_{2}}=\sqrt{\frac{k_{H_{2}}}{\mu_{H_{2}}}}$$ |
| | | |
| Для молекулы $HD$ циклическая частота будет: | | Для молекулы $HD$ циклическая частота будет: |
| | | |
| $$\omega_{HD}=\sqrt{\frac{k_{HD}}{\mu_{HD}}}$$ | | $$\omega_{HD}=\sqrt{\frac{k_{HD}}{\mu_{HD}}}$$ |
| | | |
| Поскольку $k_{HD}=k_{H_{2}}$ отношение частот будет: | | Поскольку $k_{HD}=k_{H_{2}}$ отношение частот будет: |
| | | |
| $$\frac{\omega_{HD}}{\omega_{H_{2}}}=\sqrt{\frac{\mu_{H_{2}}}{\mu_{HD}}} \tag{9}$$ | | $$\frac{\omega_{HD}}{\omega_{H_{2}}}=\sqrt{\frac{\mu_{H_{2}}}{\mu_{HD}}} \tag{9}$$ |
| | | |
| Для молекулы водорода $m_{1}=m_{2}=m_{H}$, тогда $\mu_{H_{2}}=\frac{m_{H}}{2}$. Для молекулы $HD$: $m_{1}=m_{H} \text{, }m_{2}=m_{D}=2m_{H}$, тогда $\mu_{HD}=\frac{2m_{H}}{3}$. Подставляя в формулу (9) эти значения, получим: | | Для молекулы водорода $m_{1}=m_{2}=m_{H}$, тогда $\mu_{H_{2}}=\frac{m_{H}}{2}$. Для молекулы $HD$: $m_{1}=m_{H} \text{, }m_{2}=m_{D}=2m_{H}$, тогда $\mu_{HD}=\frac{2m_{H}}{3}$. Подставляя в формулу (9) эти значения, получим: |
| | | |
| $$\frac{\omega_{HD}}{\omega_{H_{2}}}=\sqrt{\frac{3m_{H}}{4m_{H}}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$ | | $$\frac{\omega_{HD}}{\omega_{H_{2}}}=\sqrt{\frac{3m_{H}}{4m_{H}}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$ |
| | | |
| | | |
| #### Ответ | | #### Ответ |
| | | |
| $$\frac{\omega_{HD}}{\omega_{H_{2}}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$ | | $$\frac{\omega_{HD}}{\omega_{H_{2}}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$ |
