| ### Условие | | ### Условие |
| | | |
| $4.2.15^*.$ Как зависит сила, прижимающая друг к другу два одинаковых полуцилиндра плавающего батискафа, от глубины его погружения $H$, если он плавает на поверхности жидкости так, как это показано на рисунках а и б? Радиус батискафа $R$, длина $L$, плотность жидкости $ρ$. | | $4.2.15^*.$ Как зависит сила, прижимающая друг к другу два одинаковых полуцилиндра плавающего батискафа, от глубины его погружения $H$, если он плавает на поверхности жидкости так, как это показано на рисунках а и б? Радиус батискафа $R$, длина $L$, плотность жидкости $ρ$. |
| | | |
|  | |  |
| \] | | \] |
| | | |
| #### а) Полуцилиндры | | #### а) Полуцилиндры |
| | | |
| Рассматриваем малый элемент поверхности цилиндра: | | Рассматриваем малый элемент поверхности цилиндра: |
| | | |
| <div align="center"> | | <div align="center"> |
| <img src="../../img/4.2.15/cilindr.png" width="300"> | | <img src="../../img/4.2.15/cilindr.png" width="300"> |
| </div> | | </div> |
| | | |
| Элемент площади: | | Элемент площади: |
| \[ | | \[ |
| ds = 2\pi R \, dh \tag{2} | | ds = 2\pi R \, dh \tag{2} |
| \] | | \] |
| | | |
| Гидростатическое давление: | | Гидростатическое давление: |
| \[ | | \[ |
| p(h) = \rho g h \tag{3} | | p(h) = \rho g h \tag{3} |
| \] | | \] |
| | | |
| Подставим (2) и (3) в (1): | | Подставим (2) и (3) в (1): |
| \[ | | \[ |
| dF = 2\pi R \rho g h \, dh \tag{4} | | dF = 2\pi R \rho g h \, dh \tag{4} |
| \] | | \] |
| | | |
| Интегрируем от \( h = 0 \) до \( h = H + \frac{L}{2} \): | | Интегрируем от \( h = 0 \) до \( h = H + \frac{L}{2} \): |
| \[ | | \[ |
| F = \int_0^{H + \frac{L}{2}} 2\pi R \rho g h \, dh | | F = \int_0^{H + \frac{L}{2}} 2\pi R \rho g h \, dh |
| = 2\pi R \rho g \int_0^{H + \frac{L}{2}} h \, dh | | = 2\pi R \rho g \int_0^{H + \frac{L}{2}} h \, dh |
| = \pi R \rho g \left( H + \frac{L}{2} \right)^2 \tag{5} | | = \pi R \rho g \left( H + \frac{L}{2} \right)^2 \tag{5} |
| \] | | \] |
| | | |
| #### б) Прямоугольная форма | | #### б) Прямоугольная форма |
| | | |
| Рассматриваем элемент боковой поверхности: | | Рассматриваем элемент боковой поверхности: |
| | | |
| <div align="center"> | | <div align="center"> |
| <img src="../../img/4.2.15/rect.png" width="300"> | | <img src="../../img/4.2.15/rect.png" width="300"> |
| </div> | | </div> |
| | | |
| Площадь элемента: | | Площадь элемента: |
| \[ | | \[ |
| ds = L \, dh \tag{6} | | ds = L \, dh \tag{6} |
| \] | | \] |
| | | |
| Подставим (6) и (3) в (1): | | Подставим (6) и (3) в (1): |
| \[ | | \[ |
| dF = \rho g h L \, dh \tag{7} | | dF = \rho g h L \, dh \tag{7} |
| \] | | \] |
| | | |
| Интегрируем от \( h = 0 \) до \( h = R + H \): | | Интегрируем от \( h = 0 \) до \( h = R + H \): |
| \[ | | \[ |
| F = \int_0^{R + H} \rho g h L \, dh | | F = \int_0^{R + H} \rho g h L \, dh |
| = \rho g L \int_0^{R + H} h \, dh | | = \rho g L \int_0^{R + H} h \, dh |
| = \frac{1}{2} \rho g L (R + H)^2 \tag{8} | | = \frac{1}{2} \rho g L (R + H)^2 \tag{8} |
| \] | | \] |
| #### Ответ | | #### Ответ |
| | | |
| - а) \( \boxed{F = \pi R \rho g \left( H + \frac{L}{2} \right)^2} \) | | - а) \( \boxed{F = \pi R \rho g \left( H + \frac{L}{2} \right)^2} \) |
| - б) \( \boxed{F = \dfrac{1}{2} \rho g L (R + H)^2} \) | | - б) \( \boxed{F = \dfrac{1}{2} \rho g L (R + H)^2} \) |
