Edit to “а) Полуцилиндры”

Anonymous edited May 28, 2025, 3:57 AM

View solution History

revision #14504 parent #13986 ← older newer →

ru/4.2.15.md +5 −5

			### Условие

			$4.2.15^*.$ Как зависит сила, прижимающая друг к другу два одинаковых полуцилиндра плавающего батискафа, от глубины его погружения $H$, если он плавает на поверхности жидкости так, как это показано на рисунках а и б? Радиус батискафа $R$, длина $L$, плотность жидкости $ρ$.

			![К задаче $4.2.15$\|982x444, 65%](../../img/4.2.15/4.2.15.png)

			### Решение

			Общая формула давления на элемент площади:
			\[
			dF = p(h) \\, ds \tag{1}
			\]

			#### а) Полуцилиндры

			Рассматриваем малый элемент поверхности цилиндра:

			<div align="center">
			<img src="../../img/4.2.15/cilindr.png" width="300">
			</div>
		@@ -21,7 +21,7 @@а) Полуцилиндры

			Элемент площади:
			\[
		−	ds = 2~~\pi~~ R \\, dh \tag{2}
		+	ds = 2 R \\, dh \tag{2}
			\]

			Гидростатическое давление:
			\[
			p(h) = \rho g h \tag{3}
			\]
		@@ -31,14 +31,14 @@а) Полуцилиндры

			Подставим (2) и (3) в (1):
			\[
		−	dF = 2~~\pi~~ R \rho g h \\, dh \tag{4}
		+	dF = 2 R \rho g h \\, dh \tag{4}
			\]

			Интегрируем от $ h = 0 $ до $ h = H + \frac{L}{2} $:
			\[
		−	F = \int_0^{H + \frac{L}{2}} 2~~\pi~~ R \rho g h \\, dh
		−	= 2~~\pi~~ R \rho g \int_0^{H + \frac{L}{2}} h \\, dh
		−	= ~~\pi~~ R \rho g \left( H + \frac{L}{2} \right)^2 \tag{5}
		+	F = \int_0^{H + \frac{L}{2}} 2 R \rho g h \\, dh
		+	= 2 R \rho g \int_0^{H + \frac{L}{2}} h \\, dh
		+	= R \rho g \left( H + \frac{L}{2} \right)^2 \tag{5}
			\]

			#### б) Прямоугольная форма

			Рассматриваем элемент боковой поверхности:

			<div align="center">
			<img src="../../img/4.2.15/rect.png" width="300">
			</div>

			Площадь элемента:
			\[
			ds = L \\, dh \tag{6}
			\]

			Подставим (6) и (3) в (1):
			\[
			dF = \rho g h L \\, dh \tag{7}
			\]

			Интегрируем от $ h = 0 $ до $ h = R + H $:
			\[
			F = \int_0^{R + H} \rho g h L \\, dh
			= \rho g L \int_0^{R + H} h \\, dh
			= \frac{1}{2} \rho g L (R + H)^2 \tag{8}
			\]
			#### Ответ

			- а) $ \boxed{F = \pi R \rho g \left( H + \frac{L}{2} \right)^2} $
			- б) $ \boxed{F = \dfrac{1}{2} \rho g L (R + H)^2} $
		unchanged lines 27

	### Условие		### Условие

	$4.2.15^*.$ Как зависит сила, прижимающая друг к другу два одинаковых полуцилиндра плавающего батискафа, от глубины его погружения $H$, если он плавает на поверхности жидкости так, как это показано на рисунках а и б? Радиус батискафа $R$, длина $L$, плотность жидкости $ρ$.		$4.2.15^*.$ Как зависит сила, прижимающая друг к другу два одинаковых полуцилиндра плавающего батискафа, от глубины его погружения $H$, если он плавает на поверхности жидкости так, как это показано на рисунках а и б? Радиус батискафа $R$, длина $L$, плотность жидкости $ρ$.

	![К задаче $4.2.15$\|982x444, 65%](../../img/4.2.15/4.2.15.png)		![К задаче $4.2.15$\|982x444, 65%](../../img/4.2.15/4.2.15.png)

	### Решение		### Решение

	Общая формула давления на элемент площади:		Общая формула давления на элемент площади:
	\[		\[
	dF = p(h) \\, ds \tag{1}		dF = p(h) \\, ds \tag{1}
	\]		\]

	#### а) Полуцилиндры		#### а) Полуцилиндры

	Рассматриваем малый элемент поверхности цилиндра:		Рассматриваем малый элемент поверхности цилиндра:

	<div align="center">		<div align="center">
	<img src="../../img/4.2.15/cilindr.png" width="300">		<img src="../../img/4.2.15/cilindr.png" width="300">
	</div>		</div>
	@@ -21,7 +21,7 @@а) Полуцилиндры

	Элемент площади:		Элемент площади:
	\[		\[
	ds = 2~~\pi~~ R \\, dh \tag{2}		ds = 2 R \\, dh \tag{2}
	\]		\]

	Гидростатическое давление:		Гидростатическое давление:
	\[		\[
	p(h) = \rho g h \tag{3}		p(h) = \rho g h \tag{3}
	\]		\]
	@@ -31,14 +31,14 @@а) Полуцилиндры

	Подставим (2) и (3) в (1):		Подставим (2) и (3) в (1):
	\[		\[
	dF = 2~~\pi~~ R \rho g h \\, dh \tag{4}		dF = 2 R \rho g h \\, dh \tag{4}
	\]		\]

	Интегрируем от $ h = 0 $ до $ h = H + \frac{L}{2} $:		Интегрируем от $ h = 0 $ до $ h = H + \frac{L}{2} $:
	\[		\[
	F = \int_0^{H + \frac{L}{2}} 2~~\pi~~ R \rho g h \\, dh		F = \int_0^{H + \frac{L}{2}} 2 R \rho g h \\, dh
	= 2~~\pi~~ R \rho g \int_0^{H + \frac{L}{2}} h \\, dh		= 2 R \rho g \int_0^{H + \frac{L}{2}} h \\, dh
	= ~~\pi~~ R \rho g \left( H + \frac{L}{2} \right)^2 \tag{5}		= R \rho g \left( H + \frac{L}{2} \right)^2 \tag{5}
	\]		\]

	#### б) Прямоугольная форма		#### б) Прямоугольная форма

	Рассматриваем элемент боковой поверхности:		Рассматриваем элемент боковой поверхности:

	<div align="center">		<div align="center">
	<img src="../../img/4.2.15/rect.png" width="300">		<img src="../../img/4.2.15/rect.png" width="300">
	</div>		</div>

	Площадь элемента:		Площадь элемента:
	\[		\[
	ds = L \\, dh \tag{6}		ds = L \\, dh \tag{6}
	\]		\]

	Подставим (6) и (3) в (1):		Подставим (6) и (3) в (1):
	\[		\[
	dF = \rho g h L \\, dh \tag{7}		dF = \rho g h L \\, dh \tag{7}
	\]		\]

	Интегрируем от $ h = 0 $ до $ h = R + H $:		Интегрируем от $ h = 0 $ до $ h = R + H $:
	\[		\[
	F = \int_0^{R + H} \rho g h L \\, dh		F = \int_0^{R + H} \rho g h L \\, dh
	= \rho g L \int_0^{R + H} h \\, dh		= \rho g L \int_0^{R + H} h \\, dh
	= \frac{1}{2} \rho g L (R + H)^2 \tag{8}		= \frac{1}{2} \rho g L (R + H)^2 \tag{8}
	\]		\]
	#### Ответ		#### Ответ

	- а) $ \boxed{F = \pi R \rho g \left( H + \frac{L}{2} \right)^2} $		- а) $ \boxed{F = \pi R \rho g \left( H + \frac{L}{2} \right)^2} $
	- б) $ \boxed{F = \dfrac{1}{2} \rho g L (R + H)^2} $		- б) $ \boxed{F = \dfrac{1}{2} \rho g L (R + H)^2} $
	unchanged lines 27