Edits to “Условие”, “Решение”, “Ответ”
ru/4.2.15.md
+35 −34
| @@ -1,44 +1,45 @@ | |||
| ### Условие | |||
| − | $4.2.15.$ [Вставьте описание задачи] | ||
| + | $4.2.15^*.$ Как зависит сила, прижимающая друг к другу два одинаковых полуцилиндра плавающего батискафа, от глубины его погружения $H$, если он плавает на поверхности жидкости так, как это показано на рисунках а и б? Радиус | ||
| + | батискафа $R$, длина $L$, плотность жидкости $ρ$. | ||
| − | __Пример условия__: | ||
| − | $1.1.1.$ Определите координату $x(t)$ тела как функцию времени $t$, если его ускорение задано как $a(t) = bt$, где $b$ - константа. | ||
| + |  | ||
| − | |||
| ### Решение | |||
| − | |||
| + | Общая формула давления на малой площади: | ||
| + | $$ | ||
| + | dF = p(h)ds \space\space\space (1) | ||
| + | $$ | ||
| + | а) Нам нужно найти и просуммировать силы, действующие на малые участки цилиндра | ||
| + |  | ||
| + | $$ | ||
| + | ds = 2\pi{}Rdh \space\space\space (2) | ||
| + | $$ | ||
| + | Давление будет находится: | ||
| + | $$ | ||
| + | p(h) = ρgh\space\space\space (3) | ||
| + | $$ | ||
| + | Подставляем выражения $(2)$ и $(3)$ в выражение $(1)$: | ||
| + | $$ | ||
| + | dF = 2\pi{}Rρghdh\space\space\space (4) | ||
| + | $$ | ||
| + | Интегрируем выражение $(4)$. Правую сторону интегрируем от $0$ до $H + \frac{L}{2}$: | ||
| + | $$ | ||
| + | F = 2\pi{}Rρg\int{hdh} = \pi{}Rρg(H + \frac{L}{2})^2\space\space\space (5) | ||
| + | $$ | ||
| + | б) Аналогично находим небольшую площадь: | ||
| + |  | ||
| + | $$ | ||
| + | ds = Ldh\space\space\space (6) | ||
| + | $$ | ||
| + | Подставляем выражения $(6)$ и $(3)$ в выражение $(1)$ и проинтегрируем от $0$ до $R+H$: | ||
| + | $$ | ||
| + | F = ρgL\int{hdh} = \frac{1}{2}ρgL(R + H)^2\space\space\space (7) | ||
| + | $$ | ||
| − | __Пример решения__: | ||
| − | Ускорение тела задано как | ||
| − | $$a(t) = bt$$ | ||
| − | Мы знаем, что ускорение - это производная скорости по времени: | ||
| − | |||
| − | $$a(t) = \frac{d v(t)}{d t}$$ | ||
| − | |||
| − | Чтобы найти скорость $v(t)$, интегрируем $a(t)$ по времени: | ||
| − | |||
| − | $$v(t) = \int a(t) \, dt = \int b t \, dt$$ | ||
| − | |||
| − | Если начальная скорость $v(0) = 0$, то скорость становится: | ||
| − | |||
| − | $$v(t) = \frac{b t^2}{2}$$ | ||
| − | |||
| − | Аналогично, интегрируем $v(t)$ по времени: | ||
| − | |||
| − | $$x(t)= \int v(t) \, dt = \frac{b}{2} \int t^2 \, dt$$ | ||
| − | |||
| − | Откуда координата от времени, учитывая начальные условия: | ||
| − | |||
| − | $$\boxed{x(t)=\frac{bt^3}{6}}$$ | ||
| − | |||
| #### Ответ | |||
| − | |||
| − | [Вставьте краткий ответ или результат в рамке, например:] | ||
| − | |||
| − | |||
| − | __Пример ответа__: | ||
| − | |||
| + | а) $F = \pi{}Rρg(H + \frac{L}{2})^2$ $\space\space\space$ | ||
| + | б) $F = \frac{1}{2}ρgL(R + H)^2$ | ||
| @@ -1,44 +1,45 @@ | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $4.2.15.$ [Вставьте описание задачи] | $4.2.15^*.$ Как зависит сила, прижимающая друг к другу два одинаковых полуцилиндра плавающего батискафа, от глубины его погружения $H$, если он плавает на поверхности жидкости так, как это показано на рисунках а и б? Радиус | ||
| батискафа $R$, длина $L$, плотность жидкости $ρ$. | |||
| __Пример условия__: |  | ||
| $1.1.1.$ Определите координату $x(t)$ тела как функцию времени $t$, если его ускорение задано как $a(t) = bt$, где $b$ - константа. | |||
| ### Решение | ### Решение | ||
| Общая формула давления на малой площади: | |||
| $$ | |||
| dF = p(h)ds \space\space\space (1) | |||
| $$ | |||
| а) Нам нужно найти и просуммировать силы, действующие на малые участки цилиндра | |||
|  | |||
| $$ | |||
| ds = 2\pi{}Rdh \space\space\space (2) | |||
| $$ | |||
| Давление будет находится: | |||
| $$ | |||
| p(h) = ρgh\space\space\space (3) | |||
| $$ | |||
| Подставляем выражения $(2)$ и $(3)$ в выражение $(1)$: | |||
| $$ | |||
| dF = 2\pi{}Rρghdh\space\space\space (4) | |||
| $$ | |||
| Интегрируем выражение $(4)$. Правую сторону интегрируем от $0$ до $H + \frac{L}{2}$: | |||
| $$ | |||
| F = 2\pi{}Rρg\int{hdh} = \pi{}Rρg(H + \frac{L}{2})^2\space\space\space (5) | |||
| $$ | |||
| б) Аналогично находим небольшую площадь: | |||
|  | |||
| $$ | |||
| ds = Ldh\space\space\space (6) | |||
| $$ | |||
| Подставляем выражения $(6)$ и $(3)$ в выражение $(1)$ и проинтегрируем от $0$ до $R+H$: | |||
| $$ | |||
| F = ρgL\int{hdh} = \frac{1}{2}ρgL(R + H)^2\space\space\space (7) | |||
| $$ | |||
| __Пример решения__: | |||
| Ускорение тела задано как | |||
| $$a(t) = bt$$ | |||
| Мы знаем, что ускорение - это производная скорости по времени: | |||
| $$a(t) = \frac{d v(t)}{d t}$$ | |||
| Чтобы найти скорость $v(t)$, интегрируем $a(t)$ по времени: | |||
| $$v(t) = \int a(t) \, dt = \int b t \, dt$$ | |||
| Если начальная скорость $v(0) = 0$, то скорость становится: | |||
| $$v(t) = \frac{b t^2}{2}$$ | |||
| Аналогично, интегрируем $v(t)$ по времени: | |||
| $$x(t)= \int v(t) \, dt = \frac{b}{2} \int t^2 \, dt$$ | |||
| Откуда координата от времени, учитывая начальные условия: | |||
| $$\boxed{x(t)=\frac{bt^3}{6}}$$ | |||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| а) $F = \pi{}Rρg(H + \frac{L}{2})^2$ $\space\space\space$ | |||
| [Вставьте краткий ответ или результат в рамке, например:] | б) $F = \frac{1}{2}ρgL(R + H)^2$ | ||
| __Пример ответа__: | |||