Edit to “Решение”
ru/3.4.14.md
+1 −1
| ### Условие | |||
| $3.4.14.$ Частица при действии на нее силы $F=F_{0}\cos\omega t$ колеблется по закону $x=A\cos(\omega t-\varphi)$. Какова средняя мощность этой силы? | |||
| ### Решение | |||
| По определению средняя мощность силы: | |||
| $$N=\left\langle F\cdot \upsilon \right\rangle$$ | |||
| усреднение будет идти по времени. Скорость частицы найдем дифференцированием координаты: | |||
| $$\upsilon=\frac{dx}{dt}=-A\omega \sin(\omega t-\varphi)$$ | |||
| Подставим в выражение для средней мощности силу и скорость: | |||
| $$N=\left\langle F_{0}\cos\omega t\cdot (-A\omega \sin(\omega t-\varphi)) \right\rangle$$ | |||
| $$N=-AF_{0}\omega\left\langle \cos\omega t\cdot \sin(\omega t-\varphi) \right\rangle \tag{1}$$ | |||
| Воспользуемся тригонометрической формулой: | |||
| $$\cos\omega t\cdot \sin(\omega t-\varphi)=\frac{1}{2}\left[ \sin(2\omega t-\varphi)-\sin\varphi \right] \tag{2}$$ | |||
| Подставим (2) в (1): | |||
| @@ -26,7 +26,7 @@Решение | |||
| $$N=-AF_{0}\omega\left\langle \frac{1}{2}\left[ \sin(2\omega t-\varphi)-\sin\varphi \right] \right\rangle=-\frac{1}{2}A\omega F_{0}\left\langle \sin(2\omega t-\varphi) \right\rangle+\frac{1}{2}A\omega F_{0}\sin\varphi$$ | |||
| − | Среднее значение за период функции $\sin(2\omega t-\varphi)$ равно 0 (одинаковый вклад как положителных значений, так и отри | ||
| + | Среднее значение за период функции $\sin(2\omega t-\varphi)$ равно 0 (одинаковый вклад как положителных значений, так и отрицательных). Окончательно получим: | ||
| $$N=\frac{1}{2}\omega F_{0}A\sin\varphi$$ | |||
| #### Ответ | |||
| $N=\frac{1}{2}\omega F_{0}A\sin\varphi$ | |||
| unchanged lines 3 | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $3.4.14.$ Частица при действии на нее силы $F=F_{0}\cos\omega t$ колеблется по закону $x=A\cos(\omega t-\varphi)$. Какова средняя мощность этой силы? | $3.4.14.$ Частица при действии на нее силы $F=F_{0}\cos\omega t$ колеблется по закону $x=A\cos(\omega t-\varphi)$. Какова средняя мощность этой силы? | ||
| ### Решение | ### Решение | ||
| По определению средняя мощность силы: | По определению средняя мощность силы: | ||
| $$N=\left\langle F\cdot \upsilon \right\rangle$$ | $$N=\left\langle F\cdot \upsilon \right\rangle$$ | ||
| усреднение будет идти по времени. Скорость частицы найдем дифференцированием координаты: | усреднение будет идти по времени. Скорость частицы найдем дифференцированием координаты: | ||
| $$\upsilon=\frac{dx}{dt}=-A\omega \sin(\omega t-\varphi)$$ | $$\upsilon=\frac{dx}{dt}=-A\omega \sin(\omega t-\varphi)$$ | ||
| Подставим в выражение для средней мощности силу и скорость: | Подставим в выражение для средней мощности силу и скорость: | ||
| $$N=\left\langle F_{0}\cos\omega t\cdot (-A\omega \sin(\omega t-\varphi)) \right\rangle$$ | $$N=\left\langle F_{0}\cos\omega t\cdot (-A\omega \sin(\omega t-\varphi)) \right\rangle$$ | ||
| $$N=-AF_{0}\omega\left\langle \cos\omega t\cdot \sin(\omega t-\varphi) \right\rangle \tag{1}$$ | $$N=-AF_{0}\omega\left\langle \cos\omega t\cdot \sin(\omega t-\varphi) \right\rangle \tag{1}$$ | ||
| Воспользуемся тригонометрической формулой: | Воспользуемся тригонометрической формулой: | ||
| $$\cos\omega t\cdot \sin(\omega t-\varphi)=\frac{1}{2}\left[ \sin(2\omega t-\varphi)-\sin\varphi \right] \tag{2}$$ | $$\cos\omega t\cdot \sin(\omega t-\varphi)=\frac{1}{2}\left[ \sin(2\omega t-\varphi)-\sin\varphi \right] \tag{2}$$ | ||
| Подставим (2) в (1): | Подставим (2) в (1): | ||
| @@ -26,7 +26,7 @@Решение | |||
| $$N=-AF_{0}\omega\left\langle \frac{1}{2}\left[ \sin(2\omega t-\varphi)-\sin\varphi \right] \right\rangle=-\frac{1}{2}A\omega F_{0}\left\langle \sin(2\omega t-\varphi) \right\rangle+\frac{1}{2}A\omega F_{0}\sin\varphi$$ | $$N=-AF_{0}\omega\left\langle \frac{1}{2}\left[ \sin(2\omega t-\varphi)-\sin\varphi \right] \right\rangle=-\frac{1}{2}A\omega F_{0}\left\langle \sin(2\omega t-\varphi) \right\rangle+\frac{1}{2}A\omega F_{0}\sin\varphi$$ | ||
| Среднее значение за период функции $\sin(2\omega t-\varphi)$ равно 0 (одинаковый вклад как положителных значений, так и отри |
Среднее значение за период функции $\sin(2\omega t-\varphi)$ равно 0 (одинаковый вклад как положителных значений, так и отрицательных). Окончательно получим: | ||
| $$N=\frac{1}{2}\omega F_{0}A\sin\varphi$$ | $$N=\frac{1}{2}\omega F_{0}A\sin\varphi$$ | ||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| $N=\frac{1}{2}\omega F_{0}A\sin\varphi$ | $N=\frac{1}{2}\omega F_{0}A\sin\varphi$ | ||
| unchanged lines 3 | |||