Edits to “Условие”, “Решение”, “После замыкания ключа”

igor edited
View solution History
revision #14156 parent #14155 ← older newer →
ru/11.4.7.md +71 −3
@@ -1,12 +1,80 @@
### Условие
−$11.4.7.$ [Вставьте условие задачи]
+$11.4.7.$ В изображенной на рисунке цепи конденсатор емкости $C$ заряжен до напряжения $V_0$. Сначала замыкают ключ $K_1$. В момент, когда ток через катушку индуктивности $L$ достигает своего максимального значения, замыкают ключ $K_2$ и размыкают ключ $K_1$. Каким оказывается наибольшее значение напряжения на сопротивлении $R$?
+![К задаче $11.4.7$|1060x573, 50%](../../img/11.4.7/1147.png)
+
### Решение
−В изображенной на рисунке цепи конденсатор емкости C заряжен до
−напряжения V0. Сначала замыкают ключ K1. В момент, когда ток через катушку
+#### После замыкания ключа $\boldsymbol{K_1}$
+
+Второе правило Кирхгофа для $LC$-контура:
+
+$$
+L\frac{di}{dt}+\frac{q}{C}=0
+$$
+
+или, с учетом $i=dq/dt$ и перестановки в этой формуле:
+
+$$
+\frac{d^2i}{dt^2}+\frac{1}{LC}i=0.
+$$
+
+Это дифференциальное уравнение вида $\ddot x+\omega^2x=0$, описывающее гармонические колебания. Его решением является функция:
+
+$$
+i=I_\text{max}\cos(\omega t+\varphi).
+$$
+
+где $I_\text{max}$ есть амплитуда тока, $\omega=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}$, $\varphi$ есть начальная фаза.
+
+Начальную фазу $\varphi$ определим из начального момента времени, с учетом того, что ток в катушке в момент коммутации ключа $K_1$ не может измениться, как говорят, скачком:
+
+$$
+0=I_\text{max}\cos(\omega\cdot0+\varphi),
+$$
+
+откуда видим: $\varphi=\dfrac{\pi}{2}$, так что решение указанного дифф. уравнения можно записать короче:
+
+$$
+i=-I_\text{max}\sin(\omega t),\tag{1}
+$$
+
+Для определения максимума $I_\text{max}$ тока проинтегрируем по времени формулу $(1)$, то есть найдем закон изменения заряда конденсатора:
+
+$$
+q=\int-I_\text{max}\sin(\omega t)\,dt=-\frac{I_\text{max}}{\omega}\int\sin(\omega t)\,d\omega t=\frac{I_\text{max}}{\omega}\cos(\omega t).
+$$
+
+Получается, что максимум $I_\text{max}$ мы можем найти из этой формулы с учетом $t=0$ и $q=CV_0$:
+
+$$
+CV_0=\frac{I_\text{max}}{\omega}\quad \Rightarrow\quad I_\text{max}=\omega CV_0.
+$$
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
#### Ответ
[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]