Edit to “После замыкания ключа”

igor edited Apr 10, 2025, 9:28 AM

View solution History

revision #14169 parent #14168 ← older newer →

ru/11.4.7.md +1 −1

			### Условие

			$11.4.7.$ В изображенной на рисунке цепи конденсатор емкости $C$ заряжен до напряжения $V_0$. Сначала замыкают ключ $K_1$. В момент, когда ток через катушку индуктивности $L$ достигает своего максимального значения, замыкают ключ $K_2$ и размыкают ключ $K_1$. Каким оказывается наибольшее значение напряжения на сопротивлении $R$?

			![К задаче $11.4.7$\|1060x573, 30%](../../img/11.4.7/1147.png)

			### Решение


			#### После замыкания ключа $K_1$


			Второе правило Кирхгофа для $LC$-контура:

			$$
		@@ -16,7 +16,7 @@После замыкания ключа $K_1$
			L\frac{di}{dt}+\frac{q}{C}=0
			$$

		−	~~или~~, с учетом $i=dq/dt$ и перестановки ~~в этой формуле~~:
		+	производная по времени этой формулы, с учетом $i=dq/dt$ и некоторой перестановки, дает:

			$$
			\frac{d^2i}{dt^2}+\frac{1}{LC}i=0.
			$$

			Это дифференциальное уравнение вида $\ddot x+\omega^2x=0$, описывающее гармонические колебания [1]. Его решением является функция:

			$$
			i=I_\text{max}\cos(\omega t+\varphi_i).
			$$

			где $I_\text{max}$ есть амплитуда тока, $\omega=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}$, $\varphi_i$ есть начальная фаза тока.

			Начальную фазу $\varphi_i$ определим из начального момента времени, с учетом того, что ток в катушке в момент коммутации ключа $K_1$ не может измениться, как говорят, скачком:

			$$
			0=I_\text{max}\cos(\omega\cdot0+\varphi_i),
			$$

			откуда видим: $\varphi_i=\dfrac{\pi}{2}$, так что решение указанного дифф. уравнения можно записать короче:

			$$
			i=-I_\text{max}\sin(\omega t),\tag{1}
			$$

			Теперь перепишем второе правило Кирхгофа в виде:

			$$
			\frac{d^2q}{dt^2}+\frac{1}{LC}q=0,
			$$

			и получим, что

			$$
			q=Q_\text{max}\cos(\omega t+\varphi_q).\tag{2}
			$$

			Начальную фазу $\varphi_q$ заряда найдем из условия, что ток через конденсатор (то есть производная заряда по времени) равен нулю при $t=0$:

			$$
			0=-\omega Q_\text{max}\sin(\omega\cdot0+\varphi_q)\quad \Rightarrow\quad \varphi_q=0.
			$$

			Величину $Q_\text{max}$ найдем из $(2)$ при $t=0$ и $q(0)=CV_0$:

			$$
			CV_0=Q_\text{max}.
			$$

			Сопоставление производной по времени от закона $(2)$

			$$
			dq/dt=-\omega Q_\text{max}\sin(\omega t)
			$$

			с формулой $(1)$ дает:

			$$
			I_\text{max}=\omega Q_\text{max}=\omega CV_0.
			$$


			#### После замыкания $K_2$ и размыкания $K_1$


			Второе правило Кирхгофа для $RL$-контура:

			$$
			L\frac{di}{dt}+iR=0.
			$$

			При данных начальных условиях решением этого дифф. уравнения является функция с экспонентой [2], по которой ток убывает со временем:

			$$
			i=i_0e^{-\tfrac{R}{L}t},
			$$

			где $i_0$ есть ток в $RL$-контуре в начальный момент времени; при этом $i_0=I_\text{max}=\omega CV_0$, так как ток катушки при переключениях не меняется.

			Значит, напряжение на резисторе убывает по закону:

			$$
			u=R\cdot i_0e^{-\tfrac{R}{L}t}=R\omega CV_0e^{-\tfrac{R}{L}t},
			$$

			Как видно, напряжение $u$ монотонно падает со временем, так что максимум напряжения на резисторе оказывается при нулевом $t$:

			$$
			U_\text{max}=R\omega CV_0=V_0R\cdot\frac{1}{\sqrt{LC}}\cdot C=V_0 R\sqrt{\frac{C}{L}}.
			$$


			#### Литература

			[1] И. В. Яковлев. Физика. МЦНМО. 2021.

			[2] Д. В. Подлесный. Переходные процессы в $RL$-цепях. Потенциал, 2020, №8.


			#### Ответ: $V_0R\sqrt{\dfrac{C}{L}}$.
		unchanged lines 97