Edits to “Условие”, “Решение”, “Литература”

igor edited
View solution History
revision #14409 parent #14408 ← older newer →
ru/11.5.18.md +66 −3
@@ -1,11 +1,74 @@
### Условие
−$11.5.18.$ [Вставьте условие задачи]
+$11.5.18^*.$ Какой минимальной скоростью должен обладать сверхпроводящий тонкий стержень сечения $S$, длины $l$ и массы $m$, чтобы влететь в продольное магнитное поле индукции $B$?
+
### Решение
−1
+При вхождении в магнитное поле внешней силой по отношению к стержню является сила Лоренца, но ее работа равна нулю (действие этой силы на заряды перпендикулярно скорости зарядов) [1]. Поэтому можно рассматривать стержень как изолированную систему и записать закон сохранения энергии для нее:
+
+$$
+W_1=W_2,\tag{1}
+$$
+где $W_1$ и $W_2$ есть энергии стержня вне поля и в поле.
+
+Полагаем, что энергия магнитного поля в стержне вдали от поля равна нулю. Энергия $W_1$ включает в себя только кинетическую энергию $K_1$; а $W_2$ состоит в общем случае из кинетической энергии $K_2$ и энергии $W_\text{мс}$ магнитного поля, созданного индуцированным током в стержне для компенсации магнитного потока внешнего поля через стержень (магнитный поток в стержне сохраняется; см. предыдущие задачи в этом параграфе задачника Савченко).
+
+Учитывая сказанное, записанный закон сохранения $(1)$ перепишется:
+
+$$
+K_1=K_2+W_\text{мс}.\tag{2}
+$$
+
+Кинетическая энергия, конечно, равна
+
+$$
+K=\frac{mv^2}{2}.
+$$
+
+где $v$ есть скорость стержня.
+
+Энергия магнитного поля $W_\text{мс}$ может быть выражена через плотность соответствующей энергии $w_\text{мс}=\dfrac{B_\text{мс}^2}{2\mu_0}$ так [2]:
+
+$$
+W_\text{мс}=w_\text{мс}V=\frac{B_\text{мс}^2}{2\mu_0}Sl,
+$$
+где $V=Sl$ есть объем стержня как цилиндра; $B_\text{мс}$ есть индукция магнитного поля внутри стержня, созданного наведенным током в приповерхностном слое стержня (подобно соленоиду) [3]; $\mu_0$ есть магнитная постоянная.
+
+По закону сохранения магнитного потока через сверхпроводящий контур также должно быть следующее. Стержень конце процесса вхождения в поле создает внутри себя свое магнитное поле, индукция которого равна индукции внешнего поля: $B_\text{мс}=B$.
+
+Теперь формула $(2)$ выглядит так:
+
+$$
+\frac{mv_1^2}{2}=\frac{mv_2^2}{2}+\frac{B^2}{2\mu_0}Sl
+$$
+
+Видно, что минимуму скорости $v_1$ отвечает ситуация $v_2=0$, так что
+
+$$
+\frac{mv_\mathrm{1\,min}^2}{2}=\frac{B^2}{2\mu_0}Sl.
+$$
+
+Отсюда находим:
+
+$$
+v_\mathrm{1\,min}=B\sqrt{\frac{Sl}{\mu_0 m}}.
+$$
+
+
+#### Литература
+
+
+[1] Зайчиков Ю. Сила Лоренца и ее работа. В: Квант 2 (1979).
+
+[2] Черноуцан А. Осторожно: магнитное поле. В: Квант 3 (1999).
+
+[3] Сивухин Д. В. Электричество //Сер." Общий курс физики. – 1983. – Т. 3.
+
+
#### Ответ
−[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]
+$$
+v_\mathrm{1\,min}=B\sqrt{\frac{Sl}{\mu_0 m}}.
+$$