Edit to “Условие”

igor edited May 8, 2025, 7:22 AM

View solution History

revision #14411 parent #14410 ← older newer →

ru/11.5.18.md +1 −1

		@@ -1,8 +1,8 @@
			### Условие

			$11.5.18^*.$ Какой минимальной скоростью должен обладать сверхпроводящий тонкий стержень сечения $S$, длины $l$ и массы $m$, чтобы влететь в продольное магнитное поле индукции $B$?

		−	![К задаче $11.5.18$\|1235x376, 70%](../../img/11.5.18/11518.png)
		+	![К задаче $11.5.18$\|1235x376, 50%](../../img/11.5.18/11518.png)


			### Решение


			При вхождении в магнитное поле внешней силой по отношению к стержню является сила Лоренца, но ее работа равна нулю (действие этой силы на заряды перпендикулярно скорости зарядов) [1]. Поэтому можно рассматривать стержень как изолированную систему и записать закон сохранения энергии для нее:

			$$
			W_1=W_2,\tag{1}
			$$
			где $W_1$ и $W_2$ есть энергии стержня вне поля и в поле.

			Полагаем, что энергия магнитного поля в стержне вдали от поля равна нулю. Энергия $W_1$ включает в себя только кинетическую энергию $K_1$; а $W_2$ состоит в общем случае из кинетической энергии $K_2$ и энергии $W_\text{мс}$ магнитного поля, созданного индуцированным током в стержне для компенсации магнитного потока внешнего поля через стержень (магнитный поток в стержне сохраняется; см. предыдущие задачи в этом параграфе задачника Савченко).

			Учитывая сказанное, записанный закон сохранения $(1)$ перепишется:

			$$
			K_1=K_2+W_\text{мс}.\tag{2}
			$$

			Кинетическая энергия, конечно, равна

			$$
			K=\frac{mv^2}{2}.
			$$

			где $v$ есть скорость стержня.

			Энергия магнитного поля $W_\text{мс}$ может быть выражена через плотность соответствующей энергии $w_\text{мс}=\dfrac{B_\text{мс}^2}{2\mu_0}$ так [2]:

			$$
			W_\text{мс}=w_\text{мс}V=\frac{B_\text{мс}^2}{2\mu_0}Sl,
			$$
			где $V=Sl$ есть объем стержня как цилиндра; $B_\text{мс}$ есть индукция магнитного поля внутри стержня, созданного наведенным током в приповерхностном слое стержня (подобно соленоиду) [3]; $\mu_0$ есть магнитная постоянная.

			По закону сохранения магнитного потока через сверхпроводящий контур также должно быть следующее. Стержень конце процесса вхождения в поле создает внутри себя свое магнитное поле, индукция которого равна индукции внешнего поля: $B_\text{мс}=B$.

			Теперь формула $(2)$ выглядит так:

			$$
			\frac{mv_1^2}{2}=\frac{mv_2^2}{2}+\frac{B^2}{2\mu_0}Sl
			$$

			Видно, что минимуму скорости $v_1$ отвечает ситуация $v_2=0$, так что

			$$
			\frac{mv_\mathrm{1\,min}^2}{2}=\frac{B^2}{2\mu_0}Sl.
			$$

			Отсюда находим:

			$$
			v_\mathrm{1\,min}=B\sqrt{\frac{Sl}{\mu_0 m}}.
			$$


			#### Литература


			[1] Зайчиков Ю. Сила Лоренца и ее работа. В: Квант 2 (1979).

			[2] Черноуцан А. Осторожно: магнитное поле. В: Квант 3 (1999).

			[3] Сивухин Д. В. Электричество //Сер." Общий курс физики. – 1983. – Т. 3.


			#### Ответ

			$$
			v_\mathrm{1\,min}=B\sqrt{\frac{Sl}{\mu_0 m}}.
			$$
		unchanged lines 68