| ### Условие | | ### Условие |
| | | |
| $11.5.18^*.$ Какой минимальной скоростью должен обладать сверхпроводящий тонкий стержень сечения $S$, длины $l$ и массы $m$, чтобы влететь в продольное магнитное поле индукции $B$? | | $11.5.18^*.$ Какой минимальной скоростью должен обладать сверхпроводящий тонкий стержень сечения $S$, длины $l$ и массы $m$, чтобы влететь в продольное магнитное поле индукции $B$? |
| | | |
|  | |  |
| | | |
| | | |
| ### Решение | | ### Решение |
| | | |
| | | |
| При вхождении в магнитное поле внешней силой по отношению к стержню является сила Лоренца, но ее работа равна нулю (действие этой силы на заряды перпендикулярно скорости зарядов) [1]. Поэтому можно рассматривать стержень как изолированную систему и записать закон сохранения энергии для нее: | | При вхождении в магнитное поле внешней силой по отношению к стержню является сила Лоренца, но ее работа равна нулю (действие этой силы на заряды перпендикулярно скорости зарядов) [1]. Поэтому можно рассматривать стержень как изолированную систему и записать закон сохранения энергии для нее: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| W_1=W_2,\tag{1} | | W_1=W_2,\tag{1} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| где $W_1$ и $W_2$ есть энергии стержня вне поля и в поле. | | где $W_1$ и $W_2$ есть энергии стержня вне поля и в поле. |
| | | |
| Полагаем, что энергия магнитного поля в стержне вдали от поля равна нулю. Энергия $W_1$ включает в себя только кинетическую энергию $K_1$; а $W_2$ состоит в общем случае из кинетической энергии $K_2$ и энергии $W_\text{мс}$ магнитного поля, созданного индуцированным током в стержне для компенсации магнитного потока внешнего поля через стержень (магнитный поток в стержне сохраняется; см. предыдущие задачи в этом параграфе задачника Савченко). | | Полагаем, что энергия магнитного поля в стержне вдали от поля равна нулю. Энергия $W_1$ включает в себя только кинетическую энергию $K_1$; а $W_2$ состоит в общем случае из кинетической энергии $K_2$ и энергии $W_\text{мс}$ магнитного поля, созданного индуцированным током в стержне для компенсации магнитного потока внешнего поля через стержень (магнитный поток в стержне сохраняется; см. предыдущие задачи в этом параграфе задачника Савченко). |
| | | |
| Учитывая сказанное, записанный закон сохранения $(1)$ перепишется: | | Учитывая сказанное, записанный закон сохранения $(1)$ перепишется: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| K_1=K_2+W_\text{мс}.\tag{2} | | K_1=K_2+W_\text{мс}.\tag{2} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Кинетическая энергия, конечно, равна | | Кинетическая энергия, конечно, равна |
| | | |
| $$ | | $$ |
| K=\frac{mv^2}{2}. | | K=\frac{mv^2}{2}. |
| $$ | | $$ |
| | | |
| где $v$ есть скорость стержня. | | где $v$ есть скорость стержня. |
| | | |
| Энергия магнитного поля $W_\text{мс}$ может быть выражена через плотность соответствующей энергии $w_\text{мс}=\dfrac{B_\text{мс}^2}{2\mu_0}$ так [2]: | | Энергия магнитного поля $W_\text{мс}$ может быть выражена через плотность соответствующей энергии $w_\text{мс}=\dfrac{B_\text{мс}^2}{2\mu_0}$ так [2]: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| W_\text{мс}=w_\text{мс}V=\frac{B_\text{мс}^2}{2\mu_0}Sl, | | W_\text{мс}=w_\text{мс}V=\frac{B_\text{мс}^2}{2\mu_0}Sl, |
| $$ | | $$ |
| | | |
| где $V=Sl$ есть объем стержня как цилиндра; $B_\text{мс}$ есть индукция магнитного поля внутри стержня, созданного наведенным током в приповерхностном слое стержня (подобно соленоиду) [3]; $\mu_0$ есть магнитная постоянная. | | где $V=Sl$ есть объем стержня как цилиндра; $B_\text{мс}$ есть индукция магнитного поля внутри стержня, созданного наведенным током в приповерхностном слое стержня (подобно соленоиду) [3]; $\mu_0$ есть магнитная постоянная. |
| | | |
| По закону сохранения магнитного потока через сверхпроводящий контур также должно быть следующее. Стержень конце процесса вхождения в поле создает внутри себя свое магнитное поле, индукция которого равна индукции внешнего поля: $B_\text{мс}=B$. | | По закону сохранения магнитного потока через сверхпроводящий контур также должно быть следующее. Стержень конце процесса вхождения в поле создает внутри себя свое магнитное поле, индукция которого равна индукции внешнего поля: $B_\text{мс}=B$. |
| | | |
| Теперь формула $(2)$ выглядит так: | | Теперь формула $(2)$ выглядит так: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \frac{mv_1^2}{2}=\frac{mv_2^2}{2}+\frac{B^2}{2\mu_0}Sl | | \frac{mv_1^2}{2}=\frac{mv_2^2}{2}+\frac{B^2}{2\mu_0}Sl |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Видно, что минимуму скорости $v_1$ отвечает ситуация $v_2=0$, так что | | Видно, что минимуму скорости $v_1$ отвечает ситуация $v_2=0$, так что |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \frac{mv_\mathrm{1\,min}^2}{2}=\frac{B^2}{2\mu_0}Sl. | | \frac{mv_\mathrm{1\,min}^2}{2}=\frac{B^2}{2\mu_0}Sl. |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Отсюда находим: | | Отсюда находим: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| v_\mathrm{1\,min}=B\sqrt{\frac{Sl}{\mu_0 m}}. | | v_\mathrm{1\,min}=B\sqrt{\frac{Sl}{\mu_0 m}}. |
| $$ | | $$ |
| | | |
| | | |
| ### Альтернативное решение | | ### Альтернативное решение |
| | | |
| | | |
| [1] Зайчиков Ю. Сила Лоренца и ее работа. В: Квант 2 (1979). | | [1] Зайчиков Ю. Сила Лоренца и ее работа. В: Квант 2 (1979). |
| | | |
| [2] Черноуцан А. Осторожно: магнитное поле. В: Квант 3 (1999). | | [2] Черноуцан А. Осторожно: магнитное поле. В: Квант 3 (1999). |
| | | |
| [3] Сивухин Д. В. Электричество //Сер." Общий курс физики. – 1983. – Т. 3. | | [3] Сивухин Д. В. Электричество //Сер." Общий курс физики. – 1983. – Т. 3. |
| | | |
| [4] А.И. Черноуцан. Давление поля. «Квант», 1999, №6. | | [4] А.И. Черноуцан. Давление поля. «Квант», 1999, №6. |
| | | |
| | | |
| #### Ответ | | #### Ответ |
| | | |
| $$ | | $$ |
| v_\mathrm{1\,min}=B\sqrt{\frac{Sl}{\mu_0 m}}. | | v_\mathrm{1\,min}=B\sqrt{\frac{Sl}{\mu_0 m}}. |
| $$ | | $$ |
