| @@ -1,54 +1,49 @@ |
| ### Условие |
| ### Условие |
| |
| |
| $7.1.27.$ |
| $7.1.27.$ а. Электрон влетает в осесимметричное электрическое поле, созданное неподвижными зарядами, и движется первоначально параллельно оси поля на расстоянии $r$ от нее. Скорость электрона $v$. Если скорость электрона и расстояние от него до оси меняются при движении в поле незначительно, то импульс, приобретенный электроном, можно оценить по формуле $p_⊥ = \frac{eq}{2πε0vr}$, где $q$ — суммарный электрический заряд внутри цилиндрической области радиуса $r$. Выведите, используя теорему Гаусса, эту формулу. |
| |
| |
| а. Электрон влетает в осесимметричное электрическое поле, созданное неподвижными зарядами, и движется первоначально параллельно оси поля |
|  |
| на расстоянии $r$ от нее. Скорость электрона $v$. Если скорость электрона и расстояние от него до оси меняются при движении в поле незначительно, то импульс, |
| |
| приобретенный электроном, можно оценить по формуле $p_⊥ = \frac{eq}{2πε0vr}$, где |
| |
| $q$ — суммарный электрический заряд внутри цилиндрической области радиуса r. |
| |
| Выведите, используя теорему Гаусса, эту формулу. |
| |
| |
| |
|  |
| б. Определите поперечный импульс, приобретенный зарядом $q_1$, который пролетел мимо заряда $q_2$. Минимальное расстояние между зарядами $r$, скорость заряда $q_1$ вначале была равна $v$ и менялась незначительно. |
| |
| |
| б. Определите поперечный импульс, приобретенный зарядом $q_1$, который пролетел мимо заряда $q_2$. Минимальное расстояние между зарядами r, скорость заряда $q_1$ вначале была равна $v$ и менялась незначительно. |
| в. Оцените минимальное расстояние от ядра атома азота, на котором пролетал ускоренный разностью потенциалов 100 кВ электрон, если он отклонился ядром на угол $10^{\text −3} \hspace{0.1cm} рад$. |
| |
| |
| в. Оцените минимальное расстояние от ядра атома азота, на котором пролетал ускоренный разностью потенциалов 100 кВ электрон, если он отклонился |
| |
| ядром на угол $10^{\text −3} \hspace{0.1cm} рад$. |
| |
| ### Решение |
| ### Решение |
| |
| |
| (a) |
| (a) Поскольку электрическое поле осесимметрично, мы будем использовать суперпозицию, где электрон взаимодействует с точечным зарядом $q$. |
| |
| |
| Поскольку электрическое поле осесимметрично, мы будем использовать суперпозицию, где электрон взаимодействует с точечным зарядом q. |
|  |
| |
| |
| . |
| $$E(\theta) = \frac{kq}{(r/\sin\theta )^2} $$ |
| |
| |
| $$E(\theta) = \frac{kq}{(r/sin(\theta))^2} $$\ |
| $$F(\theta)=eE(\theta)=\frac{kq}{(r/\sin\theta )^2}$$ |
| $$F(\theta)=eE(\theta)=\frac{kq}{(r/sin(\theta))^2}$$ |
| |
| $$dr=vdt$$\ |
| |
| $$F_y=Fsin(\theta)$$\ |
| |
| $$dP_y=F_ydt=\frac{kqe}{vr}sin(\theta)d\theta$$\ |
| |
| $$P_y=\frac{kqe}{vr}\int_{0}^{\pi}sin(\theta)d\theta = \frac{2kqe}{vr}$$\ |
| |
| $$P_y = \frac{qe}{2 \pi \epsilon_0vr}$$ |
| |
| |
| |
| (б) |
| $$dr=vdt$$ |
| |
| |
| Воспользуемся ответом части (a), где вместо электрона и частицы q будут два точечных заряда с номиналами $q_1,q_2$. |
| $$F_y=F\sin\theta $$ |
| |
| |
| |
| $$dP_y=F_ydt=\frac{kqe}{vr}\sin\theta d\theta$$ |
| |
| |
| |
| $$P_y=\frac{kqe}{vr}\int_{0}^{\pi}\sin\theta d\theta = \frac{2kqe}{vr}$$ |
| |
| |
| |
| $$P_y = \frac{qe}{2 \pi \epsilon_0vr}$$ |
| |
| |
| |
| (б) Воспользуемся ответом части (a), где вместо электрона и частицы q будут два точечных заряда с номиналами $q_1,q_2$. |
| |
| |
| $$P_y=\frac{q_1 q_2}{2 \pi \epsilon_0vr}$$ |
| $$P_y=\frac{q_1 q_2}{2 \pi \epsilon_0vr}$$ |
| |
| |
| (в) |
| (в) $$\tan\alpha = \frac{qe}{2 \pi \epsilon_0 m v^2 r}$$ |
| |
| |
| $$tan(\alpha) = \frac{qe}{2 \pi \epsilon_0 m v^2 r}$$\ |
| $$\frac{m v^2}{2}=e \Delta \phi$$ |
| $$\frac{m v^2}{2}=e \Delta \phi$$\ |
| |
| $$tan(\alpha) \approx \alpha$$\ |
| |
| $$tan(\alpha) = \frac{kq}{\Delta \phi r} \longrightarrow r=\frac{kq}{\alpha \Delta \phi}$$ |
| |
| |
| |
| |
| $$\tan\alpha \approx \alpha$$ |
| |
| |
| |
| $$\tan\alpha = \frac{kq}{\Delta \phi r} \longrightarrow r=\frac{kq}{\alpha \Delta \phi}$$ |
| |
| |
| #### Ответ |
| #### Ответ |
| |
| |
| (a) $$P_y = \frac{qe}{2 \pi \epsilon_0vr}$$ |
| (a) $P_y = \frac{qe}{2 \pi \epsilon_0vr}$ |
| |
| |
| (б) $$P_y=\frac{q_1 q_2}{2 \pi \epsilon_0vr}$$ |
| (б) $P_y=\frac{q_1 q_2}{2 \pi \epsilon_0vr}$ |
| |
| |
| (в) $$r=\frac{kq}{\alpha \Delta \phi}=1 \cdot 10^{\text -10} (m)$$ |
| (в) $r=\frac{kq}{\alpha \Delta \phi}=1 \cdot 10^{\text -10} \textrm{ m}$ |
