Edits to “Решение”, “Поле через шину”, “Нахождение сил”

igor edited Jun 30, 2025, 8:08 AM

View solution History

revision #14973 parent #14972 ← older newer →

ru/11.5.12.md +14 −5

			### Условие

			$11.5.12.$ Плоская медная шина, сечение которой $a\times h = 100\times 1~\text{мм}$, параллельна горизонтальной поверхности сверхпроводника. Какой ток нужно пропускать через шину, чтобы она не падала на сверхпроводник?

			![К задаче $11.5.12$\|1341x467, 50%](../../img/11.5.12/11512.png)


		@@ -8,7 +8,7 @@Условие
			### Решение


		−	Пусть до включения тока в шине токи в сверхпроводнике (СП) отсутстовали, и магнитное поле (крастко — поле) в нем было равно нулю.
		+	Пусть до включения тока в шине токи в сверхпроводнике (СП) отсутстовали, и магнитное поле (кратко — поле) в нем было равно нулю.

			Далее рассматриваем ситуацию, когда по шине уже протекает ток. После включения тока в шине поле в СП так же должно остаться нулевым (сохранение магнитного потока!). В таком случае понятно, что в СП должны возникнуть свои токи, которые в сумме с током шины дадут нулевое поле внутри СП.


			#### Зеркальный ток


			Возникшие токи в СП можно можно заменить зеркальным током (метод зеркальных токов). Можно показать [1], что влияние СП можно моделировать зеркальным отражением тока шины относительно плоскости СП (рис. 1).

			![Рис. 1.\|1856x893, 70%](../../img/11.5.12/11512a.png)

			При этом мнимый ток (изображение) должен быть направлен противоположно току в шине (действительный ток). Это обусловлено тем, что на границе СП должна отсутствовать нормальная к границе составляющая индукции поля. В противном случае линия поля войдет в СП, что противоречит отсутствию поля в СП. (Сказанное проиллюстривано для произвольной точки на границе СП на рис. 1.)


			#### Поле через шину


			Рассмотрим приближение малого расстояния от шины до СП. Влияние СП на шину с током эквивалентно влиянию мнимого тока на эту шину. Ясно, что поле мнимого тока в окрестности шины можно рассматривать как суперпозицию полей плоскостей (как бы тонких пластин), из которых сложено изображение тока (рис. 2).

			![Рис. 2.\|1853x891, 70%](../../img/11.5.12/11512b.png)

			Тогда с учетом приближения шина просекается однородным полем мнимого тока (ведь поля каждой частичной пластины изображения сонаправлены и однородны — см. решение задачу [$9.3.3$](/ru/9.3.3)).

		@@ -35,7 +35,7 @@Поле через шину
			Без учета краевых эффектов по результатам решения задачи [$9.3.3$](/ru/9.3.3) для поля просекающего шину имеем:

			$$
		−	B=\frac{\mu_0I}{2a}.
		+	B=\frac{\mu_0I}{2a}.\tag{1}
			$$


			#### Нахождение сил


			Разумеется, шина не падает на СП, если сила Ампера, действующая на шину, больше или равна силе тяжести, действующей на шину. Рассмотрим ситуацию равенства этих сил.


			Найдем силу Ампера для линейного элемента шины согласно рис. 3.

			![Рис. 3\|1527x708, 70%](../../img/11.5.12/11512c.png)

			$$
			d^3F_\text{A}=d^2I\cdot B\cdot dl=I\frac{dh}{h}\frac{da}{a}B\,dl.
			$$

		@@ -56,23 +56,32 @@Нахождение сил
			Сила тяжести для этого же элемента:

			$$
		−	dF_\text{т}=\rho g\,dh\,da\,dl,
		+	d^3F_\text{т}=\rho g\,dh\,da\,dl,
			$$

			где $\rho$ есть плотность массовая шины.

		+	Эти элементарные силы в нашем случае должны быть равны:

		+	$$
		+	I\frac{dh}{h}\frac{da}{a}B\,dl=\rho g\,dh\,da\,dl.
		+	$$

		+	После сокращений с учетом $(1)$ получаем для тока:

		+	$$
		+	I=a\sqrt{\frac{2\rho gh}{\mu_0}}.
		+	$$


		−
			#### Литература


			[1] Стасенко А. Над далекою ртутной планетой. В: Квант 1 (1994).


			#### Ответ

		−	[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]
		+	$$
		+	I=a\sqrt{\frac{2\rho gh}{\mu_0}}.
		+	$$

	### Условие		### Условие

	$11.5.12.$ Плоская медная шина, сечение которой $a\times h = 100\times 1~\text{мм}$, параллельна горизонтальной поверхности сверхпроводника. Какой ток нужно пропускать через шину, чтобы она не падала на сверхпроводник?		$11.5.12.$ Плоская медная шина, сечение которой $a\times h = 100\times 1~\text{мм}$, параллельна горизонтальной поверхности сверхпроводника. Какой ток нужно пропускать через шину, чтобы она не падала на сверхпроводник?

	![К задаче $11.5.12$\|1341x467, 50%](../../img/11.5.12/11512.png)		![К задаче $11.5.12$\|1341x467, 50%](../../img/11.5.12/11512.png)


	@@ -8,7 +8,7 @@Условие
	### Решение		### Решение


	Пусть до включения тока в шине токи в сверхпроводнике (СП) отсутстовали, и магнитное поле (крастко — поле) в нем было равно нулю.		Пусть до включения тока в шине токи в сверхпроводнике (СП) отсутстовали, и магнитное поле (кратко — поле) в нем было равно нулю.

	Далее рассматриваем ситуацию, когда по шине уже протекает ток. После включения тока в шине поле в СП так же должно остаться нулевым (сохранение магнитного потока!). В таком случае понятно, что в СП должны возникнуть свои токи, которые в сумме с током шины дадут нулевое поле внутри СП.		Далее рассматриваем ситуацию, когда по шине уже протекает ток. После включения тока в шине поле в СП так же должно остаться нулевым (сохранение магнитного потока!). В таком случае понятно, что в СП должны возникнуть свои токи, которые в сумме с током шины дадут нулевое поле внутри СП.


	#### Зеркальный ток		#### Зеркальный ток


	Возникшие токи в СП можно можно заменить зеркальным током (метод зеркальных токов). Можно показать [1], что влияние СП можно моделировать зеркальным отражением тока шины относительно плоскости СП (рис. 1).		Возникшие токи в СП можно можно заменить зеркальным током (метод зеркальных токов). Можно показать [1], что влияние СП можно моделировать зеркальным отражением тока шины относительно плоскости СП (рис. 1).

	![Рис. 1.\|1856x893, 70%](../../img/11.5.12/11512a.png)		![Рис. 1.\|1856x893, 70%](../../img/11.5.12/11512a.png)

	При этом мнимый ток (изображение) должен быть направлен противоположно току в шине (действительный ток). Это обусловлено тем, что на границе СП должна отсутствовать нормальная к границе составляющая индукции поля. В противном случае линия поля войдет в СП, что противоречит отсутствию поля в СП. (Сказанное проиллюстривано для произвольной точки на границе СП на рис. 1.)		При этом мнимый ток (изображение) должен быть направлен противоположно току в шине (действительный ток). Это обусловлено тем, что на границе СП должна отсутствовать нормальная к границе составляющая индукции поля. В противном случае линия поля войдет в СП, что противоречит отсутствию поля в СП. (Сказанное проиллюстривано для произвольной точки на границе СП на рис. 1.)


	#### Поле через шину		#### Поле через шину


	Рассмотрим приближение малого расстояния от шины до СП. Влияние СП на шину с током эквивалентно влиянию мнимого тока на эту шину. Ясно, что поле мнимого тока в окрестности шины можно рассматривать как суперпозицию полей плоскостей (как бы тонких пластин), из которых сложено изображение тока (рис. 2).		Рассмотрим приближение малого расстояния от шины до СП. Влияние СП на шину с током эквивалентно влиянию мнимого тока на эту шину. Ясно, что поле мнимого тока в окрестности шины можно рассматривать как суперпозицию полей плоскостей (как бы тонких пластин), из которых сложено изображение тока (рис. 2).

	![Рис. 2.\|1853x891, 70%](../../img/11.5.12/11512b.png)		![Рис. 2.\|1853x891, 70%](../../img/11.5.12/11512b.png)

	Тогда с учетом приближения шина просекается однородным полем мнимого тока (ведь поля каждой частичной пластины изображения сонаправлены и однородны — см. решение задачу [$9.3.3$](/ru/9.3.3)).		Тогда с учетом приближения шина просекается однородным полем мнимого тока (ведь поля каждой частичной пластины изображения сонаправлены и однородны — см. решение задачу [$9.3.3$](/ru/9.3.3)).

	@@ -35,7 +35,7 @@Поле через шину
	Без учета краевых эффектов по результатам решения задачи [$9.3.3$](/ru/9.3.3) для поля просекающего шину имеем:		Без учета краевых эффектов по результатам решения задачи [$9.3.3$](/ru/9.3.3) для поля просекающего шину имеем:

	$$		$$
	B=\frac{\mu_0I}{2a}.		B=\frac{\mu_0I}{2a}.\tag{1}
	$$		$$


	#### Нахождение сил		#### Нахождение сил


	Разумеется, шина не падает на СП, если сила Ампера, действующая на шину, больше или равна силе тяжести, действующей на шину. Рассмотрим ситуацию равенства этих сил.		Разумеется, шина не падает на СП, если сила Ампера, действующая на шину, больше или равна силе тяжести, действующей на шину. Рассмотрим ситуацию равенства этих сил.


	Найдем силу Ампера для линейного элемента шины согласно рис. 3.		Найдем силу Ампера для линейного элемента шины согласно рис. 3.

	![Рис. 3\|1527x708, 70%](../../img/11.5.12/11512c.png)		![Рис. 3\|1527x708, 70%](../../img/11.5.12/11512c.png)

	$$		$$
	d^3F_\text{A}=d^2I\cdot B\cdot dl=I\frac{dh}{h}\frac{da}{a}B\,dl.		d^3F_\text{A}=d^2I\cdot B\cdot dl=I\frac{dh}{h}\frac{da}{a}B\,dl.
	$$		$$

	@@ -56,23 +56,32 @@Нахождение сил
	Сила тяжести для этого же элемента:		Сила тяжести для этого же элемента:

	$$		$$
	dF_\text{т}=\rho g\,dh\,da\,dl,		d^3F_\text{т}=\rho g\,dh\,da\,dl,
	$$		$$

	где $\rho$ есть плотность массовая шины.		где $\rho$ есть плотность массовая шины.

			Эти элементарные силы в нашем случае должны быть равны:

			$$
			I\frac{dh}{h}\frac{da}{a}B\,dl=\rho g\,dh\,da\,dl.
			$$

			После сокращений с учетом $(1)$ получаем для тока:

			$$
			I=a\sqrt{\frac{2\rho gh}{\mu_0}}.
			$$



	#### Литература		#### Литература


	[1] Стасенко А. Над далекою ртутной планетой. В: Квант 1 (1994).		[1] Стасенко А. Над далекою ртутной планетой. В: Квант 1 (1994).


	#### Ответ		#### Ответ

	[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]		$$
			I=a\sqrt{\frac{2\rho gh}{\mu_0}}.
			$$