Edits to “Условие”, “Решение”, “Ответ”
ru/8.1.17.md
+37 −3
| @@ -1,11 +1,45 @@ | |||
| ### Условие | |||
| − | $8.1.17.$ [Вставьте условие задачи] | ||
| + | $8.1.17.$ Для учета влияния пространственного заряда на работу плоского диода с межэлектродным расстоянием $d$ нужно установить зависимость плотности заряда $\rho$, потенциала $\varphi$ и скорости электронов $\upsilon$ от расстояния до катода $x$. Скорость электронов и напряженность поля на катоде при токах, далеких от насыщения, можно считать нулевыми. В случае, когда катод заземлен, потенциал можно представить в виде $\varphi=V\left( \frac{x}{d} \right)^{n}$. Определите отсюда $\rho(x)$ и $\upsilon(x)$, а затем, используя условие стационарности тока, найдите показатель степени $n$. Получите точные выражения для плотности тока и тока через диод при заданном напряжении $V$. Площадь электродов $S$. | ||
| ### Решение | |||
| − | sdf | ||
| + | Наша задача одномерна. | ||
| + | Так как скорость электронов и напряженность поля на катоде при токах, далеких от насыщения, можно считать нулевыми, то закон сохранения энергии можна записать в виде: | ||
| + | |||
| + | $$\frac{1}{2}m_{e}\upsilon^{2}=e\varphi(x)$$ | ||
| + | |||
| + | Отсюда: | ||
| + | |||
| + | $$\upsilon(x)=\sqrt{\frac{2e}{m_{e}}\varphi(x)}=\sqrt{\frac{2eV}{m_{e}}}\left( \frac{x}{d} \right)^{\frac{n}{2}}$$ | ||
| + | |||
| + | Запишим теорему Гаусса для электростатического поля в дифференциальной форме: | ||
| + | |||
| + | $$\vec\nabla \cdot \vec E=\frac{\rho}{\varepsilon_{0}}$$ | ||
| + | |||
| + | где $\rho$ - объёмная плотность заряда, $\nabla$ - оператор набла. | ||
| + | |||
| + | Из определения статического потенциала: | ||
| + | |||
| + | $$\vec E=-\vec\nabla \cdot \varphi$$ | ||
| + | |||
| + | Тогда: | ||
| + | |||
| + | $$\frac{\rho}{\varepsilon_{0}}=\vec\nabla \cdot (-\vec\nabla \cdot \varphi)=-\nabla ^{2}\varphi$$ | ||
| + | |||
| + | Для одномерного случая можна записать: | ||
| + | |||
| + | $$\frac{d^{2}\varphi }{dx^{2}}=-\frac{\rho(x)}{\varepsilon_{0}}$$ | ||
| + | |||
| + | Поскольку $\varphi=V\left( \frac{x}{d} \right)^{n}$, вторая производная будет: | ||
| + | |||
| + | $$\frac{d^{2}\varphi }{dx^{2}}=V\frac{n(n-1)}{d^{2}}\left( \frac{x}{d} \right)^{n-2}$$ | ||
| + | |||
| + | Тогда: | ||
| + | |||
| #### Ответ | |||
| − | [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] | ||
| + | $$n=\frac{4}{3}$$ | ||
| + | $$j=\frac{4}{9}\varepsilon_{0}\sqrt{\frac{2e}{m_{e}}}\frac{V^{\frac{3}{2}}}{d^{2}}$$ | ||
| + | $$I=jS$$ | ||
| @@ -1,11 +1,45 @@ | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $8.1.17.$ [Вставьте условие задачи] | $8.1.17.$ Для учета влияния пространственного заряда на работу плоского диода с межэлектродным расстоянием $d$ нужно установить зависимость плотности заряда $\rho$, потенциала $\varphi$ и скорости электронов $\upsilon$ от расстояния до катода $x$. Скорость электронов и напряженность поля на катоде при токах, далеких от насыщения, можно считать нулевыми. В случае, когда катод заземлен, потенциал можно представить в виде $\varphi=V\left( \frac{x}{d} \right)^{n}$. Определите отсюда $\rho(x)$ и $\upsilon(x)$, а затем, используя условие стационарности тока, найдите показатель степени $n$. Получите точные выражения для плотности тока и тока через диод при заданном напряжении $V$. Площадь электродов $S$. | ||
| ### Решение | ### Решение | ||
| sdf | Наша задача одномерна. | ||
| Так как скорость электронов и напряженность поля на катоде при токах, далеких от насыщения, можно считать нулевыми, то закон сохранения энергии можна записать в виде: | |||
| $$\frac{1}{2}m_{e}\upsilon^{2}=e\varphi(x)$$ | |||
| Отсюда: | |||
| $$\upsilon(x)=\sqrt{\frac{2e}{m_{e}}\varphi(x)}=\sqrt{\frac{2eV}{m_{e}}}\left( \frac{x}{d} \right)^{\frac{n}{2}}$$ | |||
| Запишим теорему Гаусса для электростатического поля в дифференциальной форме: | |||
| $$\vec\nabla \cdot \vec E=\frac{\rho}{\varepsilon_{0}}$$ | |||
| где $\rho$ - объёмная плотность заряда, $\nabla$ - оператор набла. | |||
| Из определения статического потенциала: | |||
| $$\vec E=-\vec\nabla \cdot \varphi$$ | |||
| Тогда: | |||
| $$\frac{\rho}{\varepsilon_{0}}=\vec\nabla \cdot (-\vec\nabla \cdot \varphi)=-\nabla ^{2}\varphi$$ | |||
| Для одномерного случая можна записать: | |||
| $$\frac{d^{2}\varphi }{dx^{2}}=-\frac{\rho(x)}{\varepsilon_{0}}$$ | |||
| Поскольку $\varphi=V\left( \frac{x}{d} \right)^{n}$, вторая производная будет: | |||
| $$\frac{d^{2}\varphi }{dx^{2}}=V\frac{n(n-1)}{d^{2}}\left( \frac{x}{d} \right)^{n-2}$$ | |||
| Тогда: | |||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] | $$n=\frac{4}{3}$$ | ||
| $$j=\frac{4}{9}\varepsilon_{0}\sqrt{\frac{2e}{m_{e}}}\frac{V^{\frac{3}{2}}}{d^{2}}$$ | |||
| $$I=jS$$ | |||