Edit to “Решение”

emixter edited Aug 1, 2025, 10:36 AM

View solution History

revision #15179 parent #15178 ← older

ru/8.1.17.md +6 −1

			### Условие

			$8.1.17.$ Для учета влияния пространственного заряда на работу плоского диода с межэлектродным расстоянием $d$ нужно установить зависимость плотности заряда $\rho$, потенциала $\varphi$ и скорости электронов $\upsilon$ от расстояния до катода $x$. Скорость электронов и напряженность поля на катоде при токах, далеких от насыщения, можно считать нулевыми. В случае, когда катод заземлен, потенциал можно представить в виде $\varphi=V\left( \frac{x}{d} \right)^{n}$. Определите отсюда $\rho(x)$ и $\upsilon(x)$, а затем, используя условие стационарности тока, найдите показатель степени $n$. Получите точные выражения для плотности тока и тока через диод при заданном напряжении $V$. Площадь электродов $S$.
		@@ -4,7 +4,7 @@Условие

			### Решение

		−	Наша задача одномерна.
		+	Наша задача одномерна в том смысле, что электроны будут двигаться вдоль одной оси $x$.

			Так как скорость электронов и напряженность поля на катоде при токах, далеких от насыщения, можно считать нулевыми, то закон сохранения энергии можна записать в виде:

			$$\frac{1}{2}m_{e}\upsilon^{2}=e\varphi(x)$$

			Отсюда:

			$$\upsilon(x)=\sqrt{\frac{2e}{m_{e}}\varphi(x)}=\sqrt{\frac{2eV}{m_{e}}}\left( \frac{x}{d} \right)^{\frac{n}{2}}$$

			Запишим теорему Гаусса для электростатического поля в дифференциальной форме:

			$$\vec\nabla \cdot \vec E=\frac{\rho}{\varepsilon_{0}}$$

			где $\rho$ - объёмная плотность заряда, $\nabla$ - оператор набла.

			Из определения статического потенциала:

			$$\vec E=-\vec\nabla \cdot \varphi$$

			Тогда:

			$$\frac{\rho}{\varepsilon_{0}}=\vec\nabla \cdot (-\vec\nabla \cdot \varphi)=-\nabla ^{2}\varphi$$

			Для одномерного случая можна записать:

			$$\frac{d^{2}\varphi }{dx^{2}}=-\frac{\rho(x)}{\varepsilon_{0}}$$

			Поскольку $\varphi=V\left( \frac{x}{d} \right)^{n}$, вторая производная будет:

			$$\frac{d^{2}\varphi }{dx^{2}}=V\frac{n(n-1)}{d^{2}}\left( \frac{x}{d} \right)^{n-2}$$

			Тогда:

			$$\rho(x)=-\varepsilon_{0}\frac{d^{2}\varphi}{dx^{2}}=-\varepsilon_{0}V\frac{n(n-1)}{d^{2}}\left( \frac{x}{d} \right)^{n-2}$$

			Плотность тока для отрицательных зарядов (скорость зарядов направлена против силовых линий электрического поля) по определению:

			$$j=-\rho(x)\upsilon(x)$$

			Подставим:

			$$j=\left[ \varepsilon_{0}V\frac{n(n-1)}{d^{2}}\left( \frac{x}{d} \right)^{n-2} \right]\ \cdot\left[ \sqrt{\frac{2eV}{m_{e}}}\left( \frac{x}{d} \right)^{\frac{n}{2}} \right]$$

			$$j= \varepsilon_{0}V\frac{n(n-1)}{d^{2}}\sqrt{\frac{2eV}{m_{e}}}\left( \frac{x}{d} \right)^{n-2+\frac{n}{2}} \tag{1}$$

			Так как $j$ стационарен, то есть не должен зависить от $x$, тогда показатель степени при $x$ должен быть нулевым:

			$$n-2+\frac{n}{2}=0\Longrightarrow n=\frac{4}{3}$$

			Подставим найденное значение для $n$ формулу для плотности тока (1):

			$$j=\frac{4}{9}\varepsilon_{0}\sqrt{\frac{2e}{m_{e}}}\frac{V^{\frac{3}{2}}}{d^{2}}$$

		@@ -61,6 +61,11 @@Решение
			Если площадь электродов $S$, то полный ток:

			$$I=jS=\frac{4}{9}\varepsilon_{0}S\sqrt{\frac{2e}{m_{e}}}\frac{V^{\frac{3}{2}}}{d^{2}}$$
		+
		+	Так же подтавляя найденное $n$ в формулы для скорости электронов и объёмной плотности заряда, получим:
		+
		+	$$\upsilon(x)=\sqrt{\frac{2eV}{m_{e}}}\left( \frac{x}{d} \right)^{\frac{2}{3}}$$
		+	$$\rho(x)=-\varepsilon_{0}V\frac{4}{9d^{2}}\left( \frac{x}{d} \right)^{-\frac{2}{3}}$$

			#### Ответ

			$$n=\frac{4}{3}$$
			$$j=\frac{4}{9}\varepsilon_{0}\sqrt{\frac{2e}{m_{e}}}\frac{V^{\frac{3}{2}}}{d^{2}}$$
			$$I=jS$$
		unchanged lines 3

	### Условие		### Условие

	$8.1.17.$ Для учета влияния пространственного заряда на работу плоского диода с межэлектродным расстоянием $d$ нужно установить зависимость плотности заряда $\rho$, потенциала $\varphi$ и скорости электронов $\upsilon$ от расстояния до катода $x$. Скорость электронов и напряженность поля на катоде при токах, далеких от насыщения, можно считать нулевыми. В случае, когда катод заземлен, потенциал можно представить в виде $\varphi=V\left( \frac{x}{d} \right)^{n}$. Определите отсюда $\rho(x)$ и $\upsilon(x)$, а затем, используя условие стационарности тока, найдите показатель степени $n$. Получите точные выражения для плотности тока и тока через диод при заданном напряжении $V$. Площадь электродов $S$.		$8.1.17.$ Для учета влияния пространственного заряда на работу плоского диода с межэлектродным расстоянием $d$ нужно установить зависимость плотности заряда $\rho$, потенциала $\varphi$ и скорости электронов $\upsilon$ от расстояния до катода $x$. Скорость электронов и напряженность поля на катоде при токах, далеких от насыщения, можно считать нулевыми. В случае, когда катод заземлен, потенциал можно представить в виде $\varphi=V\left( \frac{x}{d} \right)^{n}$. Определите отсюда $\rho(x)$ и $\upsilon(x)$, а затем, используя условие стационарности тока, найдите показатель степени $n$. Получите точные выражения для плотности тока и тока через диод при заданном напряжении $V$. Площадь электродов $S$.
	@@ -4,7 +4,7 @@Условие

	### Решение		### Решение

	Наша задача одномерна.		Наша задача одномерна в том смысле, что электроны будут двигаться вдоль одной оси $x$.

	Так как скорость электронов и напряженность поля на катоде при токах, далеких от насыщения, можно считать нулевыми, то закон сохранения энергии можна записать в виде:		Так как скорость электронов и напряженность поля на катоде при токах, далеких от насыщения, можно считать нулевыми, то закон сохранения энергии можна записать в виде:

	$$\frac{1}{2}m_{e}\upsilon^{2}=e\varphi(x)$$		$$\frac{1}{2}m_{e}\upsilon^{2}=e\varphi(x)$$

	Отсюда:		Отсюда:

	$$\upsilon(x)=\sqrt{\frac{2e}{m_{e}}\varphi(x)}=\sqrt{\frac{2eV}{m_{e}}}\left( \frac{x}{d} \right)^{\frac{n}{2}}$$		$$\upsilon(x)=\sqrt{\frac{2e}{m_{e}}\varphi(x)}=\sqrt{\frac{2eV}{m_{e}}}\left( \frac{x}{d} \right)^{\frac{n}{2}}$$

	Запишим теорему Гаусса для электростатического поля в дифференциальной форме:		Запишим теорему Гаусса для электростатического поля в дифференциальной форме:

	$$\vec\nabla \cdot \vec E=\frac{\rho}{\varepsilon_{0}}$$		$$\vec\nabla \cdot \vec E=\frac{\rho}{\varepsilon_{0}}$$

	где $\rho$ - объёмная плотность заряда, $\nabla$ - оператор набла.		где $\rho$ - объёмная плотность заряда, $\nabla$ - оператор набла.

	Из определения статического потенциала:		Из определения статического потенциала:

	$$\vec E=-\vec\nabla \cdot \varphi$$		$$\vec E=-\vec\nabla \cdot \varphi$$

	Тогда:		Тогда:

	$$\frac{\rho}{\varepsilon_{0}}=\vec\nabla \cdot (-\vec\nabla \cdot \varphi)=-\nabla ^{2}\varphi$$		$$\frac{\rho}{\varepsilon_{0}}=\vec\nabla \cdot (-\vec\nabla \cdot \varphi)=-\nabla ^{2}\varphi$$

	Для одномерного случая можна записать:		Для одномерного случая можна записать:

	$$\frac{d^{2}\varphi }{dx^{2}}=-\frac{\rho(x)}{\varepsilon_{0}}$$		$$\frac{d^{2}\varphi }{dx^{2}}=-\frac{\rho(x)}{\varepsilon_{0}}$$

	Поскольку $\varphi=V\left( \frac{x}{d} \right)^{n}$, вторая производная будет:		Поскольку $\varphi=V\left( \frac{x}{d} \right)^{n}$, вторая производная будет:

	$$\frac{d^{2}\varphi }{dx^{2}}=V\frac{n(n-1)}{d^{2}}\left( \frac{x}{d} \right)^{n-2}$$		$$\frac{d^{2}\varphi }{dx^{2}}=V\frac{n(n-1)}{d^{2}}\left( \frac{x}{d} \right)^{n-2}$$

	Тогда:		Тогда:

	$$\rho(x)=-\varepsilon_{0}\frac{d^{2}\varphi}{dx^{2}}=-\varepsilon_{0}V\frac{n(n-1)}{d^{2}}\left( \frac{x}{d} \right)^{n-2}$$		$$\rho(x)=-\varepsilon_{0}\frac{d^{2}\varphi}{dx^{2}}=-\varepsilon_{0}V\frac{n(n-1)}{d^{2}}\left( \frac{x}{d} \right)^{n-2}$$

	Плотность тока для отрицательных зарядов (скорость зарядов направлена против силовых линий электрического поля) по определению:		Плотность тока для отрицательных зарядов (скорость зарядов направлена против силовых линий электрического поля) по определению:

	$$j=-\rho(x)\upsilon(x)$$		$$j=-\rho(x)\upsilon(x)$$

	Подставим:		Подставим:

	$$j=\left[ \varepsilon_{0}V\frac{n(n-1)}{d^{2}}\left( \frac{x}{d} \right)^{n-2} \right]\ \cdot\left[ \sqrt{\frac{2eV}{m_{e}}}\left( \frac{x}{d} \right)^{\frac{n}{2}} \right]$$		$$j=\left[ \varepsilon_{0}V\frac{n(n-1)}{d^{2}}\left( \frac{x}{d} \right)^{n-2} \right]\ \cdot\left[ \sqrt{\frac{2eV}{m_{e}}}\left( \frac{x}{d} \right)^{\frac{n}{2}} \right]$$

	$$j= \varepsilon_{0}V\frac{n(n-1)}{d^{2}}\sqrt{\frac{2eV}{m_{e}}}\left( \frac{x}{d} \right)^{n-2+\frac{n}{2}} \tag{1}$$		$$j= \varepsilon_{0}V\frac{n(n-1)}{d^{2}}\sqrt{\frac{2eV}{m_{e}}}\left( \frac{x}{d} \right)^{n-2+\frac{n}{2}} \tag{1}$$

	Так как $j$ стационарен, то есть не должен зависить от $x$, тогда показатель степени при $x$ должен быть нулевым:		Так как $j$ стационарен, то есть не должен зависить от $x$, тогда показатель степени при $x$ должен быть нулевым:

	$$n-2+\frac{n}{2}=0\Longrightarrow n=\frac{4}{3}$$		$$n-2+\frac{n}{2}=0\Longrightarrow n=\frac{4}{3}$$

	Подставим найденное значение для $n$ формулу для плотности тока (1):		Подставим найденное значение для $n$ формулу для плотности тока (1):

	$$j=\frac{4}{9}\varepsilon_{0}\sqrt{\frac{2e}{m_{e}}}\frac{V^{\frac{3}{2}}}{d^{2}}$$		$$j=\frac{4}{9}\varepsilon_{0}\sqrt{\frac{2e}{m_{e}}}\frac{V^{\frac{3}{2}}}{d^{2}}$$

	@@ -61,6 +61,11 @@Решение
	Если площадь электродов $S$, то полный ток:		Если площадь электродов $S$, то полный ток:

	$$I=jS=\frac{4}{9}\varepsilon_{0}S\sqrt{\frac{2e}{m_{e}}}\frac{V^{\frac{3}{2}}}{d^{2}}$$		$$I=jS=\frac{4}{9}\varepsilon_{0}S\sqrt{\frac{2e}{m_{e}}}\frac{V^{\frac{3}{2}}}{d^{2}}$$

			Так же подтавляя найденное $n$ в формулы для скорости электронов и объёмной плотности заряда, получим:

			$$\upsilon(x)=\sqrt{\frac{2eV}{m_{e}}}\left( \frac{x}{d} \right)^{\frac{2}{3}}$$
			$$\rho(x)=-\varepsilon_{0}V\frac{4}{9d^{2}}\left( \frac{x}{d} \right)^{-\frac{2}{3}}$$

	#### Ответ		#### Ответ

	$$n=\frac{4}{3}$$		$$n=\frac{4}{3}$$
	$$j=\frac{4}{9}\varepsilon_{0}\sqrt{\frac{2e}{m_{e}}}\frac{V^{\frac{3}{2}}}{d^{2}}$$		$$j=\frac{4}{9}\varepsilon_{0}\sqrt{\frac{2e}{m_{e}}}\frac{V^{\frac{3}{2}}}{d^{2}}$$
	$$I=jS$$		$$I=jS$$
	unchanged lines 3