Edit to “Решение”

emixter edited Aug 1, 2025, 9:56 AM

View solution History

revision #15178 parent #15177 ← older newer →

ru/8.1.17.md +9 −1

			### Условие

			$8.1.17.$ Для учета влияния пространственного заряда на работу плоского диода с межэлектродным расстоянием $d$ нужно установить зависимость плотности заряда $\rho$, потенциала $\varphi$ и скорости электронов $\upsilon$ от расстояния до катода $x$. Скорость электронов и напряженность поля на катоде при токах, далеких от насыщения, можно считать нулевыми. В случае, когда катод заземлен, потенциал можно представить в виде $\varphi=V\left( \frac{x}{d} \right)^{n}$. Определите отсюда $\rho(x)$ и $\upsilon(x)$, а затем, используя условие стационарности тока, найдите показатель степени $n$. Получите точные выражения для плотности тока и тока через диод при заданном напряжении $V$. Площадь электродов $S$.

			### Решение

			Наша задача одномерна.

			Так как скорость электронов и напряженность поля на катоде при токах, далеких от насыщения, можно считать нулевыми, то закон сохранения энергии можна записать в виде:

			$$\frac{1}{2}m_{e}\upsilon^{2}=e\varphi(x)$$

			Отсюда:

			$$\upsilon(x)=\sqrt{\frac{2e}{m_{e}}\varphi(x)}=\sqrt{\frac{2eV}{m_{e}}}\left( \frac{x}{d} \right)^{\frac{n}{2}}$$

			Запишим теорему Гаусса для электростатического поля в дифференциальной форме:

			$$\vec\nabla \cdot \vec E=\frac{\rho}{\varepsilon_{0}}$$

			где $\rho$ - объёмная плотность заряда, $\nabla$ - оператор набла.

			Из определения статического потенциала:

			$$\vec E=-\vec\nabla \cdot \varphi$$

			Тогда:

			$$\frac{\rho}{\varepsilon_{0}}=\vec\nabla \cdot (-\vec\nabla \cdot \varphi)=-\nabla ^{2}\varphi$$

			Для одномерного случая можна записать:

			$$\frac{d^{2}\varphi }{dx^{2}}=-\frac{\rho(x)}{\varepsilon_{0}}$$

			Поскольку $\varphi=V\left( \frac{x}{d} \right)^{n}$, вторая производная будет:

			$$\frac{d^{2}\varphi }{dx^{2}}=V\frac{n(n-1)}{d^{2}}\left( \frac{x}{d} \right)^{n-2}$$

			Тогда:

			$$\rho(x)=-\varepsilon_{0}\frac{d^{2}\varphi}{dx^{2}}=-\varepsilon_{0}V\frac{n(n-1)}{d^{2}}\left( \frac{x}{d} \right)^{n-2}$$

			Плотность тока для отрицательных зарядов (скорость зарядов направлена против силовых линий электрического поля) по определению:

			$$j=-\rho(x)\upsilon(x)$$

			Подставим:
		@@ -48,11 +48,19 @@Решение

			$$j=\left[ \varepsilon_{0}V\frac{n(n-1)}{d^{2}}\left( \frac{x}{d} \right)^{n-2} \right]\ \cdot\left[ \sqrt{\frac{2eV}{m_{e}}}\left( \frac{x}{d} \right)^{\frac{n}{2}} \right]$$

		−	$$j= \varepsilon_{0}V\frac{n(n-1)}{d^{2}}\sqrt{\frac{2eV}{m_{e}}}\left( \frac{x}{d} \right)^{n-2+\frac{n}{2}}$$
		+	$$j= \varepsilon_{0}V\frac{n(n-1)}{d^{2}}\sqrt{\frac{2eV}{m_{e}}}\left( \frac{x}{d} \right)^{n-2+\frac{n}{2}} \tag{1}$$

			Так как $j$ стационарен, то есть не должен зависить от $x$, тогда показатель степени при $x$ должен быть нулевым:

			$$n-2+\frac{n}{2}=0\Longrightarrow n=\frac{4}{3}$$
		+
		+	Подставим найденное значение для $n$ формулу для плотности тока (1):
		+
		+	$$j=\frac{4}{9}\varepsilon_{0}\sqrt{\frac{2e}{m_{e}}}\frac{V^{\frac{3}{2}}}{d^{2}}$$
		+
		+	Если площадь электродов $S$, то полный ток:
		+
		+	$$I=jS=\frac{4}{9}\varepsilon_{0}S\sqrt{\frac{2e}{m_{e}}}\frac{V^{\frac{3}{2}}}{d^{2}}$$

			#### Ответ

			$$n=\frac{4}{3}$$
			$$j=\frac{4}{9}\varepsilon_{0}\sqrt{\frac{2e}{m_{e}}}\frac{V^{\frac{3}{2}}}{d^{2}}$$
			$$I=jS$$
		unchanged lines 3

	### Условие		### Условие

	$8.1.17.$ Для учета влияния пространственного заряда на работу плоского диода с межэлектродным расстоянием $d$ нужно установить зависимость плотности заряда $\rho$, потенциала $\varphi$ и скорости электронов $\upsilon$ от расстояния до катода $x$. Скорость электронов и напряженность поля на катоде при токах, далеких от насыщения, можно считать нулевыми. В случае, когда катод заземлен, потенциал можно представить в виде $\varphi=V\left( \frac{x}{d} \right)^{n}$. Определите отсюда $\rho(x)$ и $\upsilon(x)$, а затем, используя условие стационарности тока, найдите показатель степени $n$. Получите точные выражения для плотности тока и тока через диод при заданном напряжении $V$. Площадь электродов $S$.		$8.1.17.$ Для учета влияния пространственного заряда на работу плоского диода с межэлектродным расстоянием $d$ нужно установить зависимость плотности заряда $\rho$, потенциала $\varphi$ и скорости электронов $\upsilon$ от расстояния до катода $x$. Скорость электронов и напряженность поля на катоде при токах, далеких от насыщения, можно считать нулевыми. В случае, когда катод заземлен, потенциал можно представить в виде $\varphi=V\left( \frac{x}{d} \right)^{n}$. Определите отсюда $\rho(x)$ и $\upsilon(x)$, а затем, используя условие стационарности тока, найдите показатель степени $n$. Получите точные выражения для плотности тока и тока через диод при заданном напряжении $V$. Площадь электродов $S$.

	### Решение		### Решение

	Наша задача одномерна.		Наша задача одномерна.

	Так как скорость электронов и напряженность поля на катоде при токах, далеких от насыщения, можно считать нулевыми, то закон сохранения энергии можна записать в виде:		Так как скорость электронов и напряженность поля на катоде при токах, далеких от насыщения, можно считать нулевыми, то закон сохранения энергии можна записать в виде:

	$$\frac{1}{2}m_{e}\upsilon^{2}=e\varphi(x)$$		$$\frac{1}{2}m_{e}\upsilon^{2}=e\varphi(x)$$

	Отсюда:		Отсюда:

	$$\upsilon(x)=\sqrt{\frac{2e}{m_{e}}\varphi(x)}=\sqrt{\frac{2eV}{m_{e}}}\left( \frac{x}{d} \right)^{\frac{n}{2}}$$		$$\upsilon(x)=\sqrt{\frac{2e}{m_{e}}\varphi(x)}=\sqrt{\frac{2eV}{m_{e}}}\left( \frac{x}{d} \right)^{\frac{n}{2}}$$

	Запишим теорему Гаусса для электростатического поля в дифференциальной форме:		Запишим теорему Гаусса для электростатического поля в дифференциальной форме:

	$$\vec\nabla \cdot \vec E=\frac{\rho}{\varepsilon_{0}}$$		$$\vec\nabla \cdot \vec E=\frac{\rho}{\varepsilon_{0}}$$

	где $\rho$ - объёмная плотность заряда, $\nabla$ - оператор набла.		где $\rho$ - объёмная плотность заряда, $\nabla$ - оператор набла.

	Из определения статического потенциала:		Из определения статического потенциала:

	$$\vec E=-\vec\nabla \cdot \varphi$$		$$\vec E=-\vec\nabla \cdot \varphi$$

	Тогда:		Тогда:

	$$\frac{\rho}{\varepsilon_{0}}=\vec\nabla \cdot (-\vec\nabla \cdot \varphi)=-\nabla ^{2}\varphi$$		$$\frac{\rho}{\varepsilon_{0}}=\vec\nabla \cdot (-\vec\nabla \cdot \varphi)=-\nabla ^{2}\varphi$$

	Для одномерного случая можна записать:		Для одномерного случая можна записать:

	$$\frac{d^{2}\varphi }{dx^{2}}=-\frac{\rho(x)}{\varepsilon_{0}}$$		$$\frac{d^{2}\varphi }{dx^{2}}=-\frac{\rho(x)}{\varepsilon_{0}}$$

	Поскольку $\varphi=V\left( \frac{x}{d} \right)^{n}$, вторая производная будет:		Поскольку $\varphi=V\left( \frac{x}{d} \right)^{n}$, вторая производная будет:

	$$\frac{d^{2}\varphi }{dx^{2}}=V\frac{n(n-1)}{d^{2}}\left( \frac{x}{d} \right)^{n-2}$$		$$\frac{d^{2}\varphi }{dx^{2}}=V\frac{n(n-1)}{d^{2}}\left( \frac{x}{d} \right)^{n-2}$$

	Тогда:		Тогда:

	$$\rho(x)=-\varepsilon_{0}\frac{d^{2}\varphi}{dx^{2}}=-\varepsilon_{0}V\frac{n(n-1)}{d^{2}}\left( \frac{x}{d} \right)^{n-2}$$		$$\rho(x)=-\varepsilon_{0}\frac{d^{2}\varphi}{dx^{2}}=-\varepsilon_{0}V\frac{n(n-1)}{d^{2}}\left( \frac{x}{d} \right)^{n-2}$$

	Плотность тока для отрицательных зарядов (скорость зарядов направлена против силовых линий электрического поля) по определению:		Плотность тока для отрицательных зарядов (скорость зарядов направлена против силовых линий электрического поля) по определению:

	$$j=-\rho(x)\upsilon(x)$$		$$j=-\rho(x)\upsilon(x)$$

	Подставим:		Подставим:
	@@ -48,11 +48,19 @@Решение

	$$j=\left[ \varepsilon_{0}V\frac{n(n-1)}{d^{2}}\left( \frac{x}{d} \right)^{n-2} \right]\ \cdot\left[ \sqrt{\frac{2eV}{m_{e}}}\left( \frac{x}{d} \right)^{\frac{n}{2}} \right]$$		$$j=\left[ \varepsilon_{0}V\frac{n(n-1)}{d^{2}}\left( \frac{x}{d} \right)^{n-2} \right]\ \cdot\left[ \sqrt{\frac{2eV}{m_{e}}}\left( \frac{x}{d} \right)^{\frac{n}{2}} \right]$$

	$$j= \varepsilon_{0}V\frac{n(n-1)}{d^{2}}\sqrt{\frac{2eV}{m_{e}}}\left( \frac{x}{d} \right)^{n-2+\frac{n}{2}}$$		$$j= \varepsilon_{0}V\frac{n(n-1)}{d^{2}}\sqrt{\frac{2eV}{m_{e}}}\left( \frac{x}{d} \right)^{n-2+\frac{n}{2}} \tag{1}$$

	Так как $j$ стационарен, то есть не должен зависить от $x$, тогда показатель степени при $x$ должен быть нулевым:		Так как $j$ стационарен, то есть не должен зависить от $x$, тогда показатель степени при $x$ должен быть нулевым:

	$$n-2+\frac{n}{2}=0\Longrightarrow n=\frac{4}{3}$$		$$n-2+\frac{n}{2}=0\Longrightarrow n=\frac{4}{3}$$

			Подставим найденное значение для $n$ формулу для плотности тока (1):

			$$j=\frac{4}{9}\varepsilon_{0}\sqrt{\frac{2e}{m_{e}}}\frac{V^{\frac{3}{2}}}{d^{2}}$$

			Если площадь электродов $S$, то полный ток:

			$$I=jS=\frac{4}{9}\varepsilon_{0}S\sqrt{\frac{2e}{m_{e}}}\frac{V^{\frac{3}{2}}}{d^{2}}$$

	#### Ответ		#### Ответ

	$$n=\frac{4}{3}$$		$$n=\frac{4}{3}$$
	$$j=\frac{4}{9}\varepsilon_{0}\sqrt{\frac{2e}{m_{e}}}\frac{V^{\frac{3}{2}}}{d^{2}}$$		$$j=\frac{4}{9}\varepsilon_{0}\sqrt{\frac{2e}{m_{e}}}\frac{V^{\frac{3}{2}}}{d^{2}}$$
	$$I=jS$$		$$I=jS$$
	unchanged lines 3