Edit to “Решение”
ru/1.2.18.md
+40 −2
| ### Условие | |||
| $1.2.18.$ По графику зависимости скорости от времени постройте графики зависимости от времени координаты и ускорения, если $x(0) = 0$. | |||
|  | |||
| ### Решение | |||
| Сначала задачу решим качественно, а потом количественно. | |||
| @@ -10,10 +10,48 @@Решение | |||
| Проанализируем график скорости. С точностью до моего зрения, начало движения произошло в момент $t=-2,1\text{ c}$, а завершилось в момент $t=3,1\text{ c}$. Максимальная скорость $\upsilon_{макс}=2,4\text{ м/c}$ была достигнута в момент $t=0,5\text{ c}$. График имеет симметричную колоколообразную форму. | |||
| − | Ускорение это производная от скорости. Геометрически ускорение это тангенс угла наклона касательной к графику скорости в данный момент времени. В начале скорость возрастает и тангенс угла наклона также увеличивается, а значит и ускорение. Приблизительно в момент $t=-1\text{ c}$ тангес угла наклона достигает своего максимума. Он приблизительно соответсвует углу в $60^{\circ }$, тангенс этого угла (ускорение) приблизительно равен 1,73 $м/с^{2}$. После этого приращение скорости начинает снижаться, а значит ускорение уменьшается. В момент, когда скорость достигает максимального значения, ускорение становится равным 0. Это происходит в момент $t=0,5\text{ c}$. Потом скорость начинает снижаться, ускорение становится отрицательным. Из-за симметрии графика скорости, так же симметрично будет вести себя график ускорения. В отрицательном диапазоне ускорение будет уменшаться, пока в мо | ||
| + | Ускорение это производная от скорости. Геометрически ускорение это тангенс угла наклона касательной к графику скорости в данный момент времени. В начале скорость возрастает и тангенс угла наклона также увеличивается, а значит и ускорение. Приблизительно в момент $t=-1\text{ c}$ тангенс угла наклона достигает своего максимума. Он приблизительно соответствует углу в $60^{\circ }$, тангенс этого угла (ускорение) приблизительно равен 1,73 $м/с^{2}$. После этого приращение скорости начинает снижаться, а значит ускорение уменьшается. В момент, когда скорость достигает максимального значения, ускорение становится равным 0. Это происходит в момент $t=0,5\text{ c}$. Потом скорость начинает снижаться, ускорение становится отрицательным. Из-за симметрии графика скорости, так же симметрично будет вести себя график ускорения. В отрицательном диапазоне ускорение будет уменьшаться, пока в момент $t=2\text{ c}$ не достигнет минимального значения, равного -1,73 $м/с^{2}$. Дальше ускорение начнёт увеличиваться, пока не достигнет в момент окончания движения нулевого значения. | ||
| − | |||
| + | Итак, график ускорения будет «волнообразным» и менять знак там, где скорость достигает максимума. | ||
| + | |||
| + | Координата это интеграл от функции скорости. Геометрически координата это площадь под графиком скорости. Скорость в нашем интервале везде положительная, значит координата всё время возрастает и по условию задачи проходит через точку $x(0) = 0$. В начале рост медленный (маленькая скорость), затем быстрее (пик скорости), потом снова замедление. | ||
| + | |||
| + | Итак, график координаты будет монотонно возрастающей S-образной кривой: сначала вогнутой вниз, потом перегиб в момент максимальной скорости, потом вогнутой вверх. | ||
| + | |||
| + | Теперь решим задачу количественно. | ||
| + | |||
| + | В общем виде график скорости можно аппроксимировать следующей функцией: | ||
| + | |||
| + | $$\upsilon=\upsilon_{макс}\left[ 1-\left( \frac{t-t_{макс}}{d} \right)^{2} \right]^{2}$$ | ||
| + | |||
| + | где $\upsilon_{макс}=2,4\text{ м/c}$ - максимум скорости; $t_{макс}=0,5\text{ c}$ - момент времени, когда достигается максимальная скорость; $d=\frac{t_{к}-t_{н}}{2}=\frac{3,1-(-2,1)}{2}=2,6 \text{ с}$ - полуоснование "колокола". | ||
| + | |||
| + | Подставив числа, получим: | ||
| + | |||
| + | $$\upsilon(t)=2,4\left[ 1-\left( \frac{t-0,5}{2,6} \right)^{2} \right]^{2}$$ | ||
| + | |||
| + | Ускорение: | ||
| + | |||
| + | $$a(t)=\frac{d \upsilon}{dt}=-\frac{2,4}{1,69}(t-0,5)\left[ 1-\left( \frac{t-0,5}{2,6} \right)^{2} \right]$$ | ||
| + | |||
| + | Координата: | ||
| + | |||
| + | $$x(t)=\int \upsilon(t)dt=6,24\cdot \left[ \frac{t-0,5}{2,6}-\frac{2}{3}\left( \frac{t-0,5}{2,6} \right)^{3}+\frac{1}{5}\left( \frac{t-0,5}{2,6} \right)^{5} \right]+C$$ | ||
| + | |||
| + | Константу интегрирования найдём из условия $x(0) = 0$: | ||
| + | |||
| + | $$C\approx 1,17$$ | ||
| + | |||
| + | Окончательно, выражение для координаты: | ||
| + | |||
| + | $$x(t)=6,24\cdot \left[ \frac{t-0,5}{2,6}-\frac{2}{3}\left( \frac{t-0,5}{2,6} \right)^{3}+\frac{1}{5}\left( \frac{t-0,5}{2,6} \right)^{5} \right]+1,17$$ | ||
| + | |||
| + | Графики ускорения (синий), скорости (жёлтый) и координаты (красный): | ||
| + | |||
| + |  | ||
| + | |||
| + | |||
| #### Ответ | |||
|  | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $1.2.18.$ По графику зависимости скорости от времени постройте графики зависимости от времени координаты и ускорения, если $x(0) = 0$. | $1.2.18.$ По графику зависимости скорости от времени постройте графики зависимости от времени координаты и ускорения, если $x(0) = 0$. | ||
|  |  | ||
| ### Решение | ### Решение | ||
| Сначала задачу решим качественно, а потом количественно. | Сначала задачу решим качественно, а потом количественно. | ||
| @@ -10,10 +10,48 @@Решение | |||
| Проанализируем график скорости. С точностью до моего зрения, начало движения произошло в момент $t=-2,1\text{ c}$, а завершилось в момент $t=3,1\text{ c}$. Максимальная скорость $\upsilon_{макс}=2,4\text{ м/c}$ была достигнута в момент $t=0,5\text{ c}$. График имеет симметричную колоколообразную форму. | Проанализируем график скорости. С точностью до моего зрения, начало движения произошло в момент $t=-2,1\text{ c}$, а завершилось в момент $t=3,1\text{ c}$. Максимальная скорость $\upsilon_{макс}=2,4\text{ м/c}$ была достигнута в момент $t=0,5\text{ c}$. График имеет симметричную колоколообразную форму. | ||
| Ускорение это производная от скорости. Геометрически ускорение это тангенс угла наклона касательной к графику скорости в данный момент времени. В начале скорость возрастает и тангенс угла наклона также увеличивается, а значит и ускорение. Приблизительно в момент $t=-1\text{ c}$ тангес угла наклона достигает своего максимума. Он приблизительно соответсвует углу в $60^{\circ }$, тангенс этого угла (ускорение) приблизительно равен 1,73 $м/с^{2}$. После этого приращение скорости начинает снижаться, а значит ускорение уменьшается. В момент, когда скорость достигает максимального значения, ускорение становится равным 0. Это происходит в момент $t=0,5\text{ c}$. Потом скорость начинает снижаться, ускорение становится отрицательным. Из-за симметрии графика скорости, так же симметрично будет вести себя график ускорения. В отрицательном диапазоне ускорение будет уменшаться, пока в мо |
Ускорение это производная от скорости. Геометрически ускорение это тангенс угла наклона касательной к графику скорости в данный момент времени. В начале скорость возрастает и тангенс угла наклона также увеличивается, а значит и ускорение. Приблизительно в момент $t=-1\text{ c}$ тангенс угла наклона достигает своего максимума. Он приблизительно соответствует углу в $60^{\circ }$, тангенс этого угла (ускорение) приблизительно равен 1,73 $м/с^{2}$. После этого приращение скорости начинает снижаться, а значит ускорение уменьшается. В момент, когда скорость достигает максимального значения, ускорение становится равным 0. Это происходит в момент $t=0,5\text{ c}$. Потом скорость начинает снижаться, ускорение становится отрицательным. Из-за симметрии графика скорости, так же симметрично будет вести себя график ускорения. В отрицательном диапазоне ускорение будет уменьшаться, пока в момент $t=2\text{ c}$ не достигнет минимального значения, равного -1,73 $м/с^{2}$. Дальше ускорение начнёт увеличиваться, пока не достигнет в момент окончания движения нулевого значения. | ||
| Итак, график ускорения будет «волнообразным» и менять знак там, где скорость достигает максимума. | |||
| Координата это интеграл от функции скорости. Геометрически координата это площадь под графиком скорости. Скорость в нашем интервале везде положительная, значит координата всё время возрастает и по условию задачи проходит через точку $x(0) = 0$. В начале рост медленный (маленькая скорость), затем быстрее (пик скорости), потом снова замедление. | |||
| Итак, график координаты будет монотонно возрастающей S-образной кривой: сначала вогнутой вниз, потом перегиб в момент максимальной скорости, потом вогнутой вверх. | |||
| Теперь решим задачу количественно. | |||
| В общем виде график скорости можно аппроксимировать следующей функцией: | |||
| $$\upsilon=\upsilon_{макс}\left[ 1-\left( \frac{t-t_{макс}}{d} \right)^{2} \right]^{2}$$ | |||
| где $\upsilon_{макс}=2,4\text{ м/c}$ - максимум скорости; $t_{макс}=0,5\text{ c}$ - момент времени, когда достигается максимальная скорость; $d=\frac{t_{к}-t_{н}}{2}=\frac{3,1-(-2,1)}{2}=2,6 \text{ с}$ - полуоснование "колокола". | |||
| Подставив числа, получим: | |||
| $$\upsilon(t)=2,4\left[ 1-\left( \frac{t-0,5}{2,6} \right)^{2} \right]^{2}$$ | |||
| Ускорение: | |||
| $$a(t)=\frac{d \upsilon}{dt}=-\frac{2,4}{1,69}(t-0,5)\left[ 1-\left( \frac{t-0,5}{2,6} \right)^{2} \right]$$ | |||
| Координата: | |||
| $$x(t)=\int \upsilon(t)dt=6,24\cdot \left[ \frac{t-0,5}{2,6}-\frac{2}{3}\left( \frac{t-0,5}{2,6} \right)^{3}+\frac{1}{5}\left( \frac{t-0,5}{2,6} \right)^{5} \right]+C$$ | |||
| Константу интегрирования найдём из условия $x(0) = 0$: | |||
| $$C\approx 1,17$$ | |||
| Окончательно, выражение для координаты: | |||
| $$x(t)=6,24\cdot \left[ \frac{t-0,5}{2,6}-\frac{2}{3}\left( \frac{t-0,5}{2,6} \right)^{3}+\frac{1}{5}\left( \frac{t-0,5}{2,6} \right)^{5} \right]+1,17$$ | |||
| Графики ускорения (синий), скорости (жёлтый) и координаты (красный): | |||
|  | |||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
|  |  | ||