Решение

Сначала задачу решим качественно, а потом количественно.

Проанализируем график скорости. С точностью до моего зрения, начало движения произошло в момент $t=-2,1\text{ c}$, а завершилось в момент $t=3,1\text{ c}$. Максимальная скорость $\upsilon_{макс}=2,4\text{ м/c}$ была достигнута в момент $t=0,5\text{ c}$. График имеет симметричную колоколообразную форму.

Ускорение это производная от скорости. Геометрически ускорение это тангенс угла наклона касательной к графику скорости в данный момент времени. В начале скорость возрастает и тангенс угла наклона также увеличивается, а значит и ускорение. Приблизительно в момент $t=-1\text{ c}$ тангенс угла наклона достигает своего максимума. Он приблизительно соответствует углу в $60^{\circ }$, тангенс этого угла (ускорение) приблизительно равен 1,73 $м/с^{2}$. После этого приращение скорости начинает снижаться, а значит ускорение уменьшается. В момент, когда скорость достигает максимального значения, ускорение становится равным 0. Это происходит в момент $t=0,5\text{ c}$. Потом скорость начинает снижаться, ускорение становится отрицательным. Из-за симметрии графика скорости, так же симметрично будет вести себя график ускорения. В отрицательном диапазоне ускорение будет уменьшаться, пока в момент $t=2\text{ c}$ не достигнет минимального значения, равного -1,73 $м/с^{2}$. Дальше ускорение начнёт увеличиваться, пока не достигнет в момент окончания движения нулевого значения.

Итак, график ускорения будет «волнообразным» и менять знак там, где скорость достигает максимума.

Координата это интеграл от функции скорости. Геометрически координата это площадь под графиком скорости. Скорость в нашем интервале везде положительная, значит координата всё время возрастает и по условию задачи проходит через точку $x(0) = 0$. В начале рост медленный (маленькая скорость), затем быстрее (пик скорости), потом снова замедление.

Итак, график координаты будет монотонно возрастающей S-образной кривой: сначала вогнутой вниз, потом перегиб в момент максимальной скорости, потом вогнутой вверх.

Теперь решим задачу количественно.

В общем виде график скорости можно аппроксимировать следующей функцией:

$$\upsilon=\upsilon_{макс}\left[ 1-\left( \frac{t-t_{макс}}{d} \right)^{2} \right]^{2}$$

где $\upsilon_{макс}=2,4\text{ м/c}$ - максимум скорости; $t_{макс}=0,5\text{ c}$ - момент времени, когда достигается максимальная скорость; $d=\frac{t_{к}-t_{н}}{2}=\frac{3,1-(-2,1)}{2}=2,6 \text{ с}$ - полуоснование "колокола".

Подставив числа, получим:

$$\upsilon(t)=2,4\left[ 1-\left( \frac{t-0,5}{2,6} \right)^{2} \right]^{2}$$

Ускорение:

$$a(t)=\frac{d \upsilon}{dt}=-\frac{2,4}{1,69}(t-0,5)\left[ 1-\left( \frac{t-0,5}{2,6} \right)^{2} \right]$$

Координата:

$$x(t)=\int \upsilon(t)dt=6,24\cdot \left[ \frac{t-0,5}{2,6}-\frac{2}{3}\left( \frac{t-0,5}{2,6} \right)^{3}+\frac{1}{5}\left( \frac{t-0,5}{2,6} \right)^{5} \right]+C$$

Константу интегрирования найдём из условия $x(0) = 0$:

$$C\approx 1,17$$

Окончательно, выражение для координаты:

$$x(t)=6,24\cdot \left[ \frac{t-0,5}{2,6}-\frac{2}{3}\left( \frac{t-0,5}{2,6} \right)^{3}+\frac{1}{5}\left( \frac{t-0,5}{2,6} \right)^{5} \right]+1,17$$

Графики ускорения (синий), скорости (жёлтый) и координаты (красный):