Edits to “Зависимость”, “Ответ”

igor edited Feb 14, 2026, 2:30 PM

View solution History

revision #16095 parent #16094 ← older newer →

ru/8.1.11.md +70 −4

			### Условие

			$8.1.11.$ В электронном пучке круглого сечения с начальным радиусом $r_0 = 3~\text{см}$ скорость электронов $v = 10^8~\text{м/с}$ при полном токе в пучке $I = 100~\text{А}$. Оцените начальную напряженность электрического поля на поверхности пучка и расстояние, на котором радиус пучка под действием собственного электрического поля увеличится вдвое.


			### Решение


			#### Начальная напряженность

			Перейдем в систему пучка. В ней заряды тока неподвижны. При равномерном распределении зарядов в пучке эти заряды создают электростатическое поле, нахождение которого является стандартной задачей.

			Воспользуемся результатом решения задачи [$6.2.6$](/ru/6.2.6). Поле $E$ на поверхности пучка

			$$
			E_0=\frac{\rho r_0}{2\varepsilon_0},
			$$

			где $\rho$ есть объемная плотность заряда внутри пучка.

			Выразим $\rho$ с помощью стандартных определений для начала через концентрацию $n$ электронов в пучке:

			$$
			\rho=\frac{q}{V}=\frac{eN}{V}=en.
			$$

			Теперь с помощью определения тока $I=nevS=nev\pi r_0^2$ перепишем предыдущее:

			$$
			\rho=\frac{I}{v\pi r_0^2}.
			$$

			Полученное выражение для $\rho$ подставим в формулу напряженности

			$$
			\boxed{E_0=\frac{I}{2\pi\varepsilon_0 vr_0}.}
			$$


			#### Зависимость $u(r)$

			Теперь найдем расстояние $L$, которое успеют пройти электроны вдоль оси пучка за время $T$ расширения пучка вдвое.

			Считаем, что в начальный момент скорости всех электронов направлены вдоль оси пучка и равны $v$.

			Продолжим рассуждения в системе отсчета пучка. Считаем, что электроны начинают расталкиваться под действием только сил Кулона из состояния покоя в радиальном направлении.

			По теореме Гаусса и симметрии расталкивания можно заключить, что напряженность поля принимает наибольшее значение всегда на поверхности пучка. Это значит, что сила и, следовательно, ускорение приповерхностных электронов определяет расширение пучка. Далее рассматриваем движение одного из таких электронов.

			Запишем для электрона второй закон Ньютона в радиальном направлении

			$$
			Ee=m_e\frac{du}{dt},
			$$

			где $u$ есть радиальная скорость электрона.

			При расширении осевые скорости электронов не меняются, ток не меняется. Поэтому напряженность $E$ можно представить функцией от переменного радиуса $r$ по результатам первой части решения.

			$$
			\frac{b}{r}e=m_e\frac{du}{dt},
			$$

			где $b=I/2\pi\varepsilon_0v$.

			В этом уравнении удобно исключить время, так как $dt=dr/u$; после этого его можно переписать:

			$$
			be\frac{dr}{r}=m_eu\,du.
			$$

			Достаточно просто проинтегрировать и получить

			$$
			\boxed{be\ln\left(\frac{r}{r_0}\right)=m_e\frac{u^2}{2},}\tag{1}
			$$

		@@ -78,19 +78,19 @@Зависимость $u(r)$
			с учетом того, что $u=0$ при $r=r_0$.


		−	#### Зависимость $t(r)$
		+	#### Зависимость $t(x)$


			Перепишем уравнение $(1)$ с учетом $u=dr/dt$, обозначая $x=r/r_0$

			$$
			\sqrt{\frac{m_er_0^2}{2be}}\frac{dx}{\sqrt{\ln x}}=dt.
			$$

		−	Предварительный результат для зависимости времени от параметра $x$
		+	Предварительный результат для зависимости времени $t$ от параметра $x$, характеризующего расширение пучка,

			$$
		−	T=\sqrt{\frac{m_er_0^2}{2be}}\int\frac{dx}{\sqrt{\ln x}}.
		+	t=\sqrt{\frac{m_er_0^2}{2be}}\int\frac{dx}{\sqrt{\ln x}}.
			$$

			Следующая задача вычислить интеграл

			$$
			\boxed{I=\int\frac{1}{\sqrt{\ln x}}dx.}
			$$

			Введем параметр $t$, который является просто обозначением для $\sqrt{\ln x}$ и не связан с временем, а нужен для расчета интеграла. Из $t=\sqrt{\ln x}$ имеем $x=e^{t^2}$, так что $dx/dt=2te^{t^2}$, то есть дифференциал $dx=2te^{t^2}dt$. Тогда перепишем интеграл

			$$
			I=2\int e^{t^2}dt.
			$$

			Разложение экспоненты в ряд дает:

			$$
		@@ -111,13 +111,79 @@Зависимость $t(x)$
			e^{t^2}=\sum_{n=0}^\infty\frac{t^{2n}}{n!}.
			$$

		+	Теперь в терминах суммы:

		+	$$
		+	I=2\int \sum_{n=0}^\infty\frac{t^{2n}}{n!}dt=\sum_{n=0}^\infty\frac{2}{n!}\int t^{2n}dt.
		+	$$

		+	Интеграл берется. Получаем после упрощающих преобразований

		+	$$
		+	I=2t\sum_{n=0}^\infty\frac{t^{2n}}{n!(2n+1)}+C
		+	$$

		+	и в терминах $x$ записываем

		+	$$
		+	2\sqrt{\ln x}\sum_{n=0}^\infty\frac{(\ln x)^{n}}{n!(2n+1)}+C,
		+	$$

		+	где $C$ есть постоянная интегрирования.

		+	Итак, для $t(x)$
		+
		+	$$
		+	t=\sqrt{\frac{m_er_0^2}{2be}}\left(2\sqrt{\ln x}\sum_{n=0}^\infty\frac{(\ln x)^{n}}{n!(2n+1)}+C\right).
		+	$$
		+
		+	Постоянная $C$ находится из условия, что при $t=0$ имеем $x=1$. Это дает $C=0$.
		+
		+	Окончательно для $t(x)$
		+
		+	$$
		+	t=\sqrt{\frac{m_er_0^2}{2be}}\left(2\sqrt{\ln x}\sum_{n=0}^\infty\frac{(\ln x)^{n}}{n!(2n+1)}\right).
		+	$$
		+
		+	Искомое смещение:
		+
		+	$$
		+	\boxed{L=\sqrt{\frac{m_er_0^2v^2}{2be}}\left(2\sqrt{\ln x}\sum_{n=0}^\infty\frac{(\ln x)^{n}}{n!(2n+1)}\right).}
		+	$$
		+
		+	где $b=I/2\pi\varepsilon_0v$ и $x=r/r_0$.
		+
		+	Смещение за время расширения радиуса пучка от $r_0$ до $2r_0$ дается подстановкой $x=2$:
		+
		+	$$
		+	L=\sqrt{\frac{m_er_0^2v^2}{2be}}\left(2\sqrt{\ln 2}\sum_{n=0}^\infty\frac{(\ln 2)^{n}}{n!(2n+1)}\right).
		+	$$
		+
		+	Значение суммы прямым расчетом удобно оценить как
		+
		+	$$
		+	\sum_{n=0}^\infty\frac{(\ln 2)^{n}}{n!(2n+1)}\approx\sqrt2.
		+	$$
		+
		+	А для натурального логарифма положить
		+
		+	$$
		+	\ln2=\frac{2}{3}.
		+	$$
		+
		+	После этого получаем ответ в терминах данных
		+
		+	$$
		+	L=\sqrt{\frac{8m_er_0^2v^2}{3be}},
		+	$$
		+
		+	а в терминах данных
		+
		+	$$
		+	L=\sqrt{\frac{8m_er_0v^2}{3Ee}}.
		+	$$
		+
		+
			#### Литература

			[1] Физика пучков заряженных частиц, Лоусон Дж., 1977.

			[2] On the Space-Charge Divergence of an Axially Symmetric Beam. E. R. Harrison. 1958.

			[3] Physics of high-intensity high-energy particle beam propagation in open air and outer-space plasmas. Andre Gsponer. 2009.


		@@ -130,5 +196,5 @@Литература
			#### Ответ

			$$
		−	E_0=\frac{I}{2\pi\varepsilon_0 vr_0},\quad L\approx\sqrt{\frac{~~32\ln(2)~~}{9}\frac{m_er_0v^2}{E_0e}}.
		+	E_0=\frac{I}{2\pi\varepsilon_0 vr_0},\quad L\approx\sqrt{\frac{8}{3}\frac{m_er_0v^2}{E_0e}}.
			$$

	### Условие		### Условие

	$8.1.11.$ В электронном пучке круглого сечения с начальным радиусом $r_0 = 3~\text{см}$ скорость электронов $v = 10^8~\text{м/с}$ при полном токе в пучке $I = 100~\text{А}$. Оцените начальную напряженность электрического поля на поверхности пучка и расстояние, на котором радиус пучка под действием собственного электрического поля увеличится вдвое.		$8.1.11.$ В электронном пучке круглого сечения с начальным радиусом $r_0 = 3~\text{см}$ скорость электронов $v = 10^8~\text{м/с}$ при полном токе в пучке $I = 100~\text{А}$. Оцените начальную напряженность электрического поля на поверхности пучка и расстояние, на котором радиус пучка под действием собственного электрического поля увеличится вдвое.


	### Решение		### Решение


	#### Начальная напряженность		#### Начальная напряженность

	Перейдем в систему пучка. В ней заряды тока неподвижны. При равномерном распределении зарядов в пучке эти заряды создают электростатическое поле, нахождение которого является стандартной задачей.		Перейдем в систему пучка. В ней заряды тока неподвижны. При равномерном распределении зарядов в пучке эти заряды создают электростатическое поле, нахождение которого является стандартной задачей.

	Воспользуемся результатом решения задачи [$6.2.6$](/ru/6.2.6). Поле $E$ на поверхности пучка		Воспользуемся результатом решения задачи [$6.2.6$](/ru/6.2.6). Поле $E$ на поверхности пучка

	$$		$$
	E_0=\frac{\rho r_0}{2\varepsilon_0},		E_0=\frac{\rho r_0}{2\varepsilon_0},
	$$		$$

	где $\rho$ есть объемная плотность заряда внутри пучка.		где $\rho$ есть объемная плотность заряда внутри пучка.

	Выразим $\rho$ с помощью стандартных определений для начала через концентрацию $n$ электронов в пучке:		Выразим $\rho$ с помощью стандартных определений для начала через концентрацию $n$ электронов в пучке:

	$$		$$
	\rho=\frac{q}{V}=\frac{eN}{V}=en.		\rho=\frac{q}{V}=\frac{eN}{V}=en.
	$$		$$

	Теперь с помощью определения тока $I=nevS=nev\pi r_0^2$ перепишем предыдущее:		Теперь с помощью определения тока $I=nevS=nev\pi r_0^2$ перепишем предыдущее:

	$$		$$
	\rho=\frac{I}{v\pi r_0^2}.		\rho=\frac{I}{v\pi r_0^2}.
	$$		$$

	Полученное выражение для $\rho$ подставим в формулу напряженности		Полученное выражение для $\rho$ подставим в формулу напряженности

	$$		$$
	\boxed{E_0=\frac{I}{2\pi\varepsilon_0 vr_0}.}		\boxed{E_0=\frac{I}{2\pi\varepsilon_0 vr_0}.}
	$$		$$


	#### Зависимость $u(r)$		#### Зависимость $u(r)$

	Теперь найдем расстояние $L$, которое успеют пройти электроны вдоль оси пучка за время $T$ расширения пучка вдвое.		Теперь найдем расстояние $L$, которое успеют пройти электроны вдоль оси пучка за время $T$ расширения пучка вдвое.

	Считаем, что в начальный момент скорости всех электронов направлены вдоль оси пучка и равны $v$.		Считаем, что в начальный момент скорости всех электронов направлены вдоль оси пучка и равны $v$.

	Продолжим рассуждения в системе отсчета пучка. Считаем, что электроны начинают расталкиваться под действием только сил Кулона из состояния покоя в радиальном направлении.		Продолжим рассуждения в системе отсчета пучка. Считаем, что электроны начинают расталкиваться под действием только сил Кулона из состояния покоя в радиальном направлении.

	По теореме Гаусса и симметрии расталкивания можно заключить, что напряженность поля принимает наибольшее значение всегда на поверхности пучка. Это значит, что сила и, следовательно, ускорение приповерхностных электронов определяет расширение пучка. Далее рассматриваем движение одного из таких электронов.		По теореме Гаусса и симметрии расталкивания можно заключить, что напряженность поля принимает наибольшее значение всегда на поверхности пучка. Это значит, что сила и, следовательно, ускорение приповерхностных электронов определяет расширение пучка. Далее рассматриваем движение одного из таких электронов.

	Запишем для электрона второй закон Ньютона в радиальном направлении		Запишем для электрона второй закон Ньютона в радиальном направлении

	$$		$$
	Ee=m_e\frac{du}{dt},		Ee=m_e\frac{du}{dt},
	$$		$$

	где $u$ есть радиальная скорость электрона.		где $u$ есть радиальная скорость электрона.

	При расширении осевые скорости электронов не меняются, ток не меняется. Поэтому напряженность $E$ можно представить функцией от переменного радиуса $r$ по результатам первой части решения.		При расширении осевые скорости электронов не меняются, ток не меняется. Поэтому напряженность $E$ можно представить функцией от переменного радиуса $r$ по результатам первой части решения.

	$$		$$
	\frac{b}{r}e=m_e\frac{du}{dt},		\frac{b}{r}e=m_e\frac{du}{dt},
	$$		$$

	где $b=I/2\pi\varepsilon_0v$.		где $b=I/2\pi\varepsilon_0v$.

	В этом уравнении удобно исключить время, так как $dt=dr/u$; после этого его можно переписать:		В этом уравнении удобно исключить время, так как $dt=dr/u$; после этого его можно переписать:

	$$		$$
	be\frac{dr}{r}=m_eu\,du.		be\frac{dr}{r}=m_eu\,du.
	$$		$$

	Достаточно просто проинтегрировать и получить		Достаточно просто проинтегрировать и получить

	$$		$$
	\boxed{be\ln\left(\frac{r}{r_0}\right)=m_e\frac{u^2}{2},}\tag{1}		\boxed{be\ln\left(\frac{r}{r_0}\right)=m_e\frac{u^2}{2},}\tag{1}
	$$		$$

	@@ -78,19 +78,19 @@Зависимость $u(r)$
	с учетом того, что $u=0$ при $r=r_0$.		с учетом того, что $u=0$ при $r=r_0$.


	#### Зависимость $t(r)$		#### Зависимость $t(x)$


	Перепишем уравнение $(1)$ с учетом $u=dr/dt$, обозначая $x=r/r_0$		Перепишем уравнение $(1)$ с учетом $u=dr/dt$, обозначая $x=r/r_0$

	$$		$$
	\sqrt{\frac{m_er_0^2}{2be}}\frac{dx}{\sqrt{\ln x}}=dt.		\sqrt{\frac{m_er_0^2}{2be}}\frac{dx}{\sqrt{\ln x}}=dt.
	$$		$$

	Предварительный результат для зависимости времени от параметра $x$		Предварительный результат для зависимости времени $t$ от параметра $x$, характеризующего расширение пучка,

	$$		$$
	T=\sqrt{\frac{m_er_0^2}{2be}}\int\frac{dx}{\sqrt{\ln x}}.		t=\sqrt{\frac{m_er_0^2}{2be}}\int\frac{dx}{\sqrt{\ln x}}.
	$$		$$

	Следующая задача вычислить интеграл		Следующая задача вычислить интеграл

	$$		$$
	\boxed{I=\int\frac{1}{\sqrt{\ln x}}dx.}		\boxed{I=\int\frac{1}{\sqrt{\ln x}}dx.}
	$$		$$

	Введем параметр $t$, который является просто обозначением для $\sqrt{\ln x}$ и не связан с временем, а нужен для расчета интеграла. Из $t=\sqrt{\ln x}$ имеем $x=e^{t^2}$, так что $dx/dt=2te^{t^2}$, то есть дифференциал $dx=2te^{t^2}dt$. Тогда перепишем интеграл		Введем параметр $t$, который является просто обозначением для $\sqrt{\ln x}$ и не связан с временем, а нужен для расчета интеграла. Из $t=\sqrt{\ln x}$ имеем $x=e^{t^2}$, так что $dx/dt=2te^{t^2}$, то есть дифференциал $dx=2te^{t^2}dt$. Тогда перепишем интеграл

	$$		$$
	I=2\int e^{t^2}dt.		I=2\int e^{t^2}dt.
	$$		$$

	Разложение экспоненты в ряд дает:		Разложение экспоненты в ряд дает:

	$$		$$
	@@ -111,13 +111,79 @@Зависимость $t(x)$
	e^{t^2}=\sum_{n=0}^\infty\frac{t^{2n}}{n!}.		e^{t^2}=\sum_{n=0}^\infty\frac{t^{2n}}{n!}.
	$$		$$

			Теперь в терминах суммы:

			$$
			I=2\int \sum_{n=0}^\infty\frac{t^{2n}}{n!}dt=\sum_{n=0}^\infty\frac{2}{n!}\int t^{2n}dt.
			$$

			Интеграл берется. Получаем после упрощающих преобразований

			$$
			I=2t\sum_{n=0}^\infty\frac{t^{2n}}{n!(2n+1)}+C
			$$

			и в терминах $x$ записываем

			$$
			2\sqrt{\ln x}\sum_{n=0}^\infty\frac{(\ln x)^{n}}{n!(2n+1)}+C,
			$$

			где $C$ есть постоянная интегрирования.

			Итак, для $t(x)$

			$$
			t=\sqrt{\frac{m_er_0^2}{2be}}\left(2\sqrt{\ln x}\sum_{n=0}^\infty\frac{(\ln x)^{n}}{n!(2n+1)}+C\right).
			$$

			Постоянная $C$ находится из условия, что при $t=0$ имеем $x=1$. Это дает $C=0$.

			Окончательно для $t(x)$

			$$
			t=\sqrt{\frac{m_er_0^2}{2be}}\left(2\sqrt{\ln x}\sum_{n=0}^\infty\frac{(\ln x)^{n}}{n!(2n+1)}\right).
			$$

			Искомое смещение:

			$$
			\boxed{L=\sqrt{\frac{m_er_0^2v^2}{2be}}\left(2\sqrt{\ln x}\sum_{n=0}^\infty\frac{(\ln x)^{n}}{n!(2n+1)}\right).}
			$$

			где $b=I/2\pi\varepsilon_0v$ и $x=r/r_0$.

			Смещение за время расширения радиуса пучка от $r_0$ до $2r_0$ дается подстановкой $x=2$:

			$$
			L=\sqrt{\frac{m_er_0^2v^2}{2be}}\left(2\sqrt{\ln 2}\sum_{n=0}^\infty\frac{(\ln 2)^{n}}{n!(2n+1)}\right).
			$$

			Значение суммы прямым расчетом удобно оценить как

			$$
			\sum_{n=0}^\infty\frac{(\ln 2)^{n}}{n!(2n+1)}\approx\sqrt2.
			$$

			А для натурального логарифма положить

			$$
			\ln2=\frac{2}{3}.
			$$

			После этого получаем ответ в терминах данных

			$$
			L=\sqrt{\frac{8m_er_0^2v^2}{3be}},
			$$

			а в терминах данных

			$$
			L=\sqrt{\frac{8m_er_0v^2}{3Ee}}.
			$$


	#### Литература		#### Литература

	[1] Физика пучков заряженных частиц, Лоусон Дж., 1977.		[1] Физика пучков заряженных частиц, Лоусон Дж., 1977.

	[2] On the Space-Charge Divergence of an Axially Symmetric Beam. E. R. Harrison. 1958.		[2] On the Space-Charge Divergence of an Axially Symmetric Beam. E. R. Harrison. 1958.

	[3] Physics of high-intensity high-energy particle beam propagation in open air and outer-space plasmas. Andre Gsponer. 2009.		[3] Physics of high-intensity high-energy particle beam propagation in open air and outer-space plasmas. Andre Gsponer. 2009.


	@@ -130,5 +196,5 @@Литература
	#### Ответ		#### Ответ

	$$		$$
	E_0=\frac{I}{2\pi\varepsilon_0 vr_0},\quad L\approx\sqrt{\frac{~~32\ln(2)~~}{9}\frac{m_er_0v^2}{E_0e}}.		E_0=\frac{I}{2\pi\varepsilon_0 vr_0},\quad L\approx\sqrt{\frac{8}{3}\frac{m_er_0v^2}{E_0e}}.
	$$		$$