Edits to “Решение”, “Начальная напряженность”, “Смещение”

igor edited
View solution History
revision #16086 parent #16073 ← older newer →
ru/8.1.11.md +46 −0
@@ -7,6 +7,7 @@Решение
Сделаем рассуждения на физическом уровне строгости с разумными приближениями.
+
#### Начальная напряженность
Перейдем в систему пучка. В ней заряды тока неподвижны. При равномерном распределении зарядов в пучке эти заряды создают электростатическое поле, нахождение которого является стандартной задачей.
@@ -31,7 +32,52 @@Начальная напряженность
\rho=\frac{I}{v\pi r^2}.
$$
+Полученное выражение для $\rho$ подставим в формулу напряженности
+$$
+\boxed{E=\frac{I}{2\pi\varepsilon_0 vr}.}
+$$
+
+
+#### Смещение
+
+Теперь найдем расстояние $L$, которое успеют пройти электроны вдоль оси пучка за время $T$ расширения пучка вдвое.
+
+Считаем, что в начальный момент скорости всех электронов направлены вдоль оси пучка и равны $v$.
+
+Продолжим рассуждения в системе отсчета пучка. Считаем, что электроны начинают расталкиваться под действием только сил Кулона из состояния покоя в радиальном направлении.
+
+По теореме Гаусса и симметрии расталкивания можно заключить, что напряженность поля принимает наибольшее значение всегда на поверхности пучка. Это значит, что сила и, следовательно, ускорение приповерхностных электронов определяет расширение пучка. Далее рассматриваем движение одного из таких электронов.
+
+Запишем для электрона второй закон Ньютона в радиальном направлении
+
+$$
+Ee=m_e\frac{du}{dt}
+$$
+
+где $u$ есть радиальная скорость электрона.
+
+При расширении осевые скорости электронов не меняются, ток не меняется. Поэтому напряженность $E$ можно представить функцией от $r$, полученной в первой части решения (теперь расстояние $r$ считаем переменным).
+
+$$
+\frac{b}{r}e=m_e\frac{du}{dt}
+$$
+
+где $b=I/2\pi\varepsilon_0v$.
+
+В этом уравнении удобно исключить время, так как $dt=dr/u$; после этого его можно переписать:
+
+$$
+be\frac{dr}{r}=m_eu\,du.
+$$
+
+Достаточно просто проинтегрировать и получить
+
+$$
+be\ln\left(\frac{r}{r_0}\right)=m_e\frac{u^2}{2},
+$$
+
+с учетом того, что $u=0$ при $r=r_0$.
#### Ответ
[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]