Edits to “Решение”, “Ответ”

igor edited Mar 6, 2026, 9:45 AM

View solution History

revision #16163 parent #16162 ← older newer →

ru/6.4.8.md +13 −25

			### Условие

			$6.4.8^*.$ Плоский конденсатор изготовлен из двух лент ширины $a$ и длины $l$. Расстояние между лентами $d$. Определите емкость конденсатора, если его свернуть в многовитковый рулон радиуса $R\gg d$.

		@@ -5,7 +5,7 @@Условие

			### Решение

		−	Рулон предсталяем как свиток, где $R$ есть его внутренний радиус [1]. Разрежем мысленно рулон вдоль радиуса.
		+	Рулон представляем как свиток, где $R$ есть его внутренний радиус, как это предложено в пособии [1]. Разрежем мысленно рулон вдоль радиуса.

			![\|935x601, 50%](../../img/6.4.8/ÐÐµÐ· Ð¸Ð¼ÐµÐ½Ð¸.png)

			Мы получили как бы множество цилиндрических конденсаторов, соединенных параллельно (сумма их емкостей есть емкость рулона).

			Выберем один из цилиндрических конденсаторов с произвольным внутренним радиусом $r>R$ и, используя результат решения предыдущей задачи [$6.4.7$](/ru/6.4.7), запишем его емкость

			$$
			C_\text{ц}=\frac{2\pi\varepsilon_0a}{\ln\left(1+\dfrac{d}{r}\right)}.
			$$

			Так как $\dfrac{d}{r}\ll1$, разложим логарифм в ряд до первого члена

			$$
			\ln\left(1+\frac{d}{r}\right)\approx\frac{d}{r}.
			$$

			Тогда емкость одного цилиндрического конденсатора для этой задачи переписывается:

			$$
			C_\text{ц}=\frac{2\pi\varepsilon_0a}{d}r.
			$$

			Метод индукции [2]. Пронумеруем цилиндрические конденсаторы (кратко — конденсаторы), начиная с внутреннего (радиус которого $R$).

			Для первого, второго, третьего конденсаторов имеем

			\begin{gather*}
			C_1=\frac{2\pi\varepsilon_0a}{d}R,\\\\
			C_2=\frac{2\pi\varepsilon_0a}{d}\left(R+d\right),\\\\
			C_3=\frac{2\pi\varepsilon_0a}{d}\left(R+2d\right).
			\end{gather*}

			Соответственно, для $n$-го конденсатора:

			$$
			C_n=\frac{2\pi\varepsilon_0a}{d}\left(R+(n-1)d\right).
			$$

			Итак, сложим емкости отдельных конденсаторов $C_1$, $C_2$, $C_3$, $\ldots$ , $C_n$ и получим емкость рулонного конденсатора

			$$
			C=\sum_i^nC_i=\frac{2\pi\varepsilon_0a}{d}\left(Rn+d\frac{(n-1)n}{2}\right);
			$$

			здесь использовали формулу суммы арифметической прогрессии:

			$$
		@@ -57,46 +57,34 @@Решение
			1+2+3+\ldots+n=\frac{n(n+1)}{2}.
			$$

		−	Количество конденсаторов в рулоне ~~примерно равно~~
		+	Количество конденсаторов $n$ в рулоне вычислим также по методу индукции

			$$
		−	n\approx\frac{l}{2\pi R}.
		+	l=2\pi R+2\pi (R+d)+2\pi (R+2d)+\ldots+2\pi \left(R+(n-1)d\right)
			$$

		−	Подставим это в формулу для $C$ и упростим:
		+	и компактно

			$$
		−	~~C=\frac{\varepsilon_0al}{d}~~\left(1+\frac{~~ld}{4\pi R^~~2}\right).
		+	l=2\pi\left(Rn+d\frac{(n-1)n}{2}\right);
			$$

		−	Примечание: решение задачи предлагается в пособии [1]; также остается вопрос об учете емкости промежуточного слоя, на дающего соприкасаться лентам при сворачивании (в промежуточном слое должно образовываться поле, так как он разделяет проводники разного потенциала) [3–6].
		+	здесь опять использовали формулу суммы арифметической прогрессии.

		−	У Савченко ответ немного другой: $C=\frac{\varepsilon_0al}{d}\left(1+\frac{ld}{2\pi R^2}\right)$.
		+	Подскобочное выражение в предыдущей формуле равно подскобочному выражению в формуле емкости и при подстановке эта самая емкость получается как полное приближение плоского конденсатора

		−	В этом решении считаем что Савченко под $R$ подразумевал именно внутренний радиус рулона
		−
		−
		−	#### Задача остается открытой
		−
		−	Количество конденсаторов $n$ в рулоне нужно вычислить точнее. По методу индукции ясно, что
		−
			$$
		−	~~l=2\pi R+2\pi (R+d)+2\pi (R+2d)+\ldots+2\pi \left(R+(n-1)d\right)~~
		+	C=\frac{2\pi\varepsilon_0a}{d}\frac{l}{2\pi}=\frac{\varepsilon_0al}{d}.
			$$

		−	и компактно
		+	Примечание: решение задачи в несколько измененной формулировке предлагается в пособии [1]; также остается вопрос об учете емкости промежуточного слоя, на дающего соприкасаться лентам при сворачивании (в промежуточном слое должно образовываться поле, так как он разделяет проводники разного потенциала) [3–6].

		−	$$
		−	~~l=2\pi~~\left(Rn+\frac{~~dn^2}{2~~}\right);
		−	$$
		+	У Савченко ответ другой: $C=\frac{\varepsilon_0al}{d}\left(1+\frac{ld}{2\pi R^2}\right)$.

		−	~~здесь использовали формулу суммы арифмети~~ческой п~~рогрессии и условие многовитковости $n\gg1$~~.
		+	В этом решении считаем, что Савченко под $R$ подразумевал именно внутренний радиус рулона.

		−	~~Но теперь подскобочное выражение тут равно подскобочному выражению в формуле емкости и при подстановк~~е эта ~~самая емкость получается как полное приближение плоского конденсатора~~
		+	Припоминается, что решение задачи о сплошном рулоне также давало приближение плоского конденсатора даже при интегрировании элементарных цилиндрических емкостей.

		−	$$
		−	C=\frac{2\pi\varepsilon_0a}{d}\frac{l}{2\pi}=\frac{2\pi\varepsilon_0al}{d}.
		−	$$

			#### Литература

			[1] "Принципы и практика решения задач по общей физике". Ч.2: Электромагнетизм. А.Н. Паршаков. Изд. 2010 г (стр.104–107).

			[2] Б. Мукушев. Решение физических задач с помощью метода индукции. «Квант», 2025, № 8.

			[3] Д. А. Александров. Поле заряженной плоскости. «Квант», 1998, №3.

			[4] С. М. Козел. Парадоксы плоского конденсатора. «Квант», 1985, №8.

			[5] Е. Ромишевский. Конденсатор в коробке и потенциальность кулоновского поля. «Квант»,
			1998, №1.

			[6] А. И. Черноуцан. Осторожно: магнитное поле. «Квант», 1999, №3.


		@@ -117,5 +105,5 @@Литература
			#### Ответ

			$$
		−	C=\frac{\varepsilon_0al}{d}~~\left(1+\frac{ld}{4\pi R^2}\right)~~.
		+	C=\frac{\varepsilon_0al}{d}.
			$$

	### Условие		### Условие

	$6.4.8^*.$ Плоский конденсатор изготовлен из двух лент ширины $a$ и длины $l$. Расстояние между лентами $d$. Определите емкость конденсатора, если его свернуть в многовитковый рулон радиуса $R\gg d$.		$6.4.8^*.$ Плоский конденсатор изготовлен из двух лент ширины $a$ и длины $l$. Расстояние между лентами $d$. Определите емкость конденсатора, если его свернуть в многовитковый рулон радиуса $R\gg d$.

	@@ -5,7 +5,7 @@Условие

	### Решение		### Решение

	Рулон предсталяем как свиток, где $R$ есть его внутренний радиус [1]. Разрежем мысленно рулон вдоль радиуса.		Рулон представляем как свиток, где $R$ есть его внутренний радиус, как это предложено в пособии [1]. Разрежем мысленно рулон вдоль радиуса.

	![\|935x601, 50%](../../img/6.4.8/ÐÐµÐ· Ð¸Ð¼ÐµÐ½Ð¸.png)		![\|935x601, 50%](../../img/6.4.8/ÐÐµÐ· Ð¸Ð¼ÐµÐ½Ð¸.png)

	Мы получили как бы множество цилиндрических конденсаторов, соединенных параллельно (сумма их емкостей есть емкость рулона).		Мы получили как бы множество цилиндрических конденсаторов, соединенных параллельно (сумма их емкостей есть емкость рулона).

	Выберем один из цилиндрических конденсаторов с произвольным внутренним радиусом $r>R$ и, используя результат решения предыдущей задачи [$6.4.7$](/ru/6.4.7), запишем его емкость		Выберем один из цилиндрических конденсаторов с произвольным внутренним радиусом $r>R$ и, используя результат решения предыдущей задачи [$6.4.7$](/ru/6.4.7), запишем его емкость

	$$		$$
	C_\text{ц}=\frac{2\pi\varepsilon_0a}{\ln\left(1+\dfrac{d}{r}\right)}.		C_\text{ц}=\frac{2\pi\varepsilon_0a}{\ln\left(1+\dfrac{d}{r}\right)}.
	$$		$$

	Так как $\dfrac{d}{r}\ll1$, разложим логарифм в ряд до первого члена		Так как $\dfrac{d}{r}\ll1$, разложим логарифм в ряд до первого члена

	$$		$$
	\ln\left(1+\frac{d}{r}\right)\approx\frac{d}{r}.		\ln\left(1+\frac{d}{r}\right)\approx\frac{d}{r}.
	$$		$$

	Тогда емкость одного цилиндрического конденсатора для этой задачи переписывается:		Тогда емкость одного цилиндрического конденсатора для этой задачи переписывается:

	$$		$$
	C_\text{ц}=\frac{2\pi\varepsilon_0a}{d}r.		C_\text{ц}=\frac{2\pi\varepsilon_0a}{d}r.
	$$		$$

	Метод индукции [2]. Пронумеруем цилиндрические конденсаторы (кратко — конденсаторы), начиная с внутреннего (радиус которого $R$).		Метод индукции [2]. Пронумеруем цилиндрические конденсаторы (кратко — конденсаторы), начиная с внутреннего (радиус которого $R$).

	Для первого, второго, третьего конденсаторов имеем		Для первого, второго, третьего конденсаторов имеем

	\begin{gather*}		\begin{gather*}
	C_1=\frac{2\pi\varepsilon_0a}{d}R,\\\\		C_1=\frac{2\pi\varepsilon_0a}{d}R,\\\\
	C_2=\frac{2\pi\varepsilon_0a}{d}\left(R+d\right),\\\\		C_2=\frac{2\pi\varepsilon_0a}{d}\left(R+d\right),\\\\
	C_3=\frac{2\pi\varepsilon_0a}{d}\left(R+2d\right).		C_3=\frac{2\pi\varepsilon_0a}{d}\left(R+2d\right).
	\end{gather*}		\end{gather*}

	Соответственно, для $n$-го конденсатора:		Соответственно, для $n$-го конденсатора:

	$$		$$
	C_n=\frac{2\pi\varepsilon_0a}{d}\left(R+(n-1)d\right).		C_n=\frac{2\pi\varepsilon_0a}{d}\left(R+(n-1)d\right).
	$$		$$

	Итак, сложим емкости отдельных конденсаторов $C_1$, $C_2$, $C_3$, $\ldots$ , $C_n$ и получим емкость рулонного конденсатора		Итак, сложим емкости отдельных конденсаторов $C_1$, $C_2$, $C_3$, $\ldots$ , $C_n$ и получим емкость рулонного конденсатора

	$$		$$
	C=\sum_i^nC_i=\frac{2\pi\varepsilon_0a}{d}\left(Rn+d\frac{(n-1)n}{2}\right);		C=\sum_i^nC_i=\frac{2\pi\varepsilon_0a}{d}\left(Rn+d\frac{(n-1)n}{2}\right);
	$$		$$

	здесь использовали формулу суммы арифметической прогрессии:		здесь использовали формулу суммы арифметической прогрессии:

	$$		$$
	@@ -57,46 +57,34 @@Решение
	1+2+3+\ldots+n=\frac{n(n+1)}{2}.		1+2+3+\ldots+n=\frac{n(n+1)}{2}.
	$$		$$

	Количество конденсаторов в рулоне ~~примерно равно~~		Количество конденсаторов $n$ в рулоне вычислим также по методу индукции

	$$		$$
	n\approx\frac{l}{2\pi R}.		l=2\pi R+2\pi (R+d)+2\pi (R+2d)+\ldots+2\pi \left(R+(n-1)d\right)
	$$		$$

	Подставим это в формулу для $C$ и упростим:		и компактно

	$$		$$
	~~C=\frac{\varepsilon_0al}{d}~~\left(1+\frac{~~ld}{4\pi R^~~2}\right).		l=2\pi\left(Rn+d\frac{(n-1)n}{2}\right);
	$$		$$

	Примечание: решение задачи предлагается в пособии [1]; также остается вопрос об учете емкости промежуточного слоя, на дающего соприкасаться лентам при сворачивании (в промежуточном слое должно образовываться поле, так как он разделяет проводники разного потенциала) [3–6].		здесь опять использовали формулу суммы арифметической прогрессии.

	У Савченко ответ немного другой: $C=\frac{\varepsilon_0al}{d}\left(1+\frac{ld}{2\pi R^2}\right)$.		Подскобочное выражение в предыдущей формуле равно подскобочному выражению в формуле емкости и при подстановке эта самая емкость получается как полное приближение плоского конденсатора

	В этом решении считаем что Савченко под $R$ подразумевал именно внутренний радиус рулона


	#### Задача остается открытой

	Количество конденсаторов $n$ в рулоне нужно вычислить точнее. По методу индукции ясно, что

	$$		$$
	~~l=2\pi R+2\pi (R+d)+2\pi (R+2d)+\ldots+2\pi \left(R+(n-1)d\right)~~		C=\frac{2\pi\varepsilon_0a}{d}\frac{l}{2\pi}=\frac{\varepsilon_0al}{d}.
	$$		$$

	и компактно		Примечание: решение задачи в несколько измененной формулировке предлагается в пособии [1]; также остается вопрос об учете емкости промежуточного слоя, на дающего соприкасаться лентам при сворачивании (в промежуточном слое должно образовываться поле, так как он разделяет проводники разного потенциала) [3–6].

	$$		У Савченко ответ другой: $C=\frac{\varepsilon_0al}{d}\left(1+\frac{ld}{2\pi R^2}\right)$.
	~~l=2\pi~~\left(Rn+\frac{~~dn^2}{2~~}\right);
	$$

	~~здесь использовали формулу суммы арифмети~~ческой п~~рогрессии и условие многовитковости $n\gg1$~~.		В этом решении считаем, что Савченко под $R$ подразумевал именно внутренний радиус рулона.

	~~Но теперь подскобочное выражение тут равно подскобочному выражению в формуле емкости и при подстановк~~е эта ~~самая емкость получается как полное приближение плоского конденсатора~~		Припоминается, что решение задачи о сплошном рулоне также давало приближение плоского конденсатора даже при интегрировании элементарных цилиндрических емкостей.

	$$
	C=\frac{2\pi\varepsilon_0a}{d}\frac{l}{2\pi}=\frac{2\pi\varepsilon_0al}{d}.
	$$

	#### Литература		#### Литература

	[1] "Принципы и практика решения задач по общей физике". Ч.2: Электромагнетизм. А.Н. Паршаков. Изд. 2010 г (стр.104–107).		[1] "Принципы и практика решения задач по общей физике". Ч.2: Электромагнетизм. А.Н. Паршаков. Изд. 2010 г (стр.104–107).

	[2] Б. Мукушев. Решение физических задач с помощью метода индукции. «Квант», 2025, № 8.		[2] Б. Мукушев. Решение физических задач с помощью метода индукции. «Квант», 2025, № 8.

	[3] Д. А. Александров. Поле заряженной плоскости. «Квант», 1998, №3.		[3] Д. А. Александров. Поле заряженной плоскости. «Квант», 1998, №3.

	[4] С. М. Козел. Парадоксы плоского конденсатора. «Квант», 1985, №8.		[4] С. М. Козел. Парадоксы плоского конденсатора. «Квант», 1985, №8.

	[5] Е. Ромишевский. Конденсатор в коробке и потенциальность кулоновского поля. «Квант»,		[5] Е. Ромишевский. Конденсатор в коробке и потенциальность кулоновского поля. «Квант»,
	1998, №1.		1998, №1.

	[6] А. И. Черноуцан. Осторожно: магнитное поле. «Квант», 1999, №3.		[6] А. И. Черноуцан. Осторожно: магнитное поле. «Квант», 1999, №3.


	@@ -117,5 +105,5 @@Литература
	#### Ответ		#### Ответ

	$$		$$
	C=\frac{\varepsilon_0al}{d}~~\left(1+\frac{ld}{4\pi R^2}\right)~~.		C=\frac{\varepsilon_0al}{d}.
	$$		$$