Решение

Радиус $R$ рулона обычно считается внешним, а рулон является сплошным [1].

Сделаем рассуждения по возможности точными: рулонный конденсатор рассмотрим как множество цилиндрических конденсаторов с плавно меняющимся радиусом, учтем емкость зазора между основными слоями.

Выделим произвольный цилиндрический конденсатор на расстоянии $r$ от оси рулона (см. задачу $6.4.7$). Умножение емкости этого конденсатора на малое приращение $dn$ количества таких конденсаторов даст элементарную емкость рулонного конденсатора (рулона):

$$dC=\frac{2\pi\varepsilon_0 a}{\ln\left(1+\dfrac{d}{r}\right)}dn.$$

Величина $dn$ удобно выражается через приращение $dr$ расстояния от оси рулона:

$$dn=\frac{dr}{d}.$$

Для удобства дальнейшего интегрирования обозначим

$$x=\frac{r}{d}.$$

Теперь емкость рулона переписывается:

$$dC=2\pi\varepsilon_0 a\frac{dx}{\ln(1+\frac{1}{x})}.$$

Таким образом, нужно найти интеграл

$$

$$

Рулон представляем как свиток, где $R$ есть его внутренний радиус, как это предложено в задаче с решением в аналогичной постановке в пособии [1]. Полями и емкостями в зазорах между основными слоями пренебрегаем [2]. Разрежем мысленно рулон вдоль радиуса.

Мы получили как бы множество цилиндрических конденсаторов, соединенных параллельно (сумма их емкостей есть емкость рулона).

Пронумеруем цилиндрические конденсаторы (кратко — конденсаторы), начиная с внутреннего (радиус которого $R$):

$$C_1, C_2, \ldots, C_n.$$

Выберем $i$-й конденсатор с внутренним радиусом $r_i$ и, используя результат решения предыдущей задачи $6.4.7$, запишем его емкость

$$C_i=\frac{2\pi\varepsilon_0a}{\ln\left(1+\dfrac{d}{r_i}\right)}.$$

Так как $\dfrac{d}{r_i}\ll1$, разложим логарифм в ряд до первого члена

$$\ln\left(1+\frac{d}{r_i}\right)\approx\frac{d}{r_i}.$$

Тогда емкость одного конденсатора для этой задачи переписывается:

$$C_i=\frac{2\pi\varepsilon_0a}{d}r_i.$$

Заметим, что можно записать и короче

$$C_i=\frac{\varepsilon_0a}{d}l_i,$$

где $l_i=2\pi r_i$ есть длина окружности основания, накотором стоит $i$-й конденсатор.

Емкость рулона:

$$C=\sum_iC_i=\frac{\varepsilon_0a}{d}\sum_il_i,$$

откуда в силу равенства $l=\sum_il_i$ следует

$$C=\frac{\varepsilon_0al}{d}.$$

У Савченко ответ другой: $C=\frac{\varepsilon_0al}{d}\left(1+\frac{ld}{2\pi R^2}\right)$.

В этом решении считаем, что Савченко под $R$ подразумевал именно внутренний радиус рулона. Если это так, то расстояние зазора между основными слоями найти не получается. Если считать, что радиус $R$ есть внешний радиус, то можно найти расстояние зазора и учесть емкость зазора.

Комментарии к решению из [1]

Решение аналогичной задачи из пособия [1] непоследовательно, что дает разные ответы. Вот отрывок конца этого решения.

Некорректность появилась ранее. Авторы до этого нашли предел интегрирования (конечный угол) по формуле

$$\Phi\approx\frac{l}{R},$$

не учитывают многовитковость. Хотя до этого они получили точную связь радиуса и угла

$$r=R+\frac{\varphi(d+b)}{2\pi}.$$

Таким образом, есть два варианта

• не забывать про многовитковость;

• везде полагать, что витков не так много и радиус сохраняется (что не подходит к формулировке задачи).

И вот, что получается. Элементарную емкость авторы пишут как

$$dC=\frac{\varepsilon\varepsilon_0ar}{d}d\varphi,$$

но заметим, что $r\,d\varphi=dl$, так что

$$dC=\frac{\varepsilon\varepsilon_0a}{d}dl,$$

а это приводит к ответу $C=\dfrac{\varepsilon\varepsilon_0al}{d}$.