Edits to “Решение”, “Литература”

igor edited Mar 10, 2026, 7:14 AM

View solution History

revision #16177 parent #16176 ← older newer →

ru/6.4.8.md +39 −8

			### Условие

			$6.4.8^*.$ Плоский конденсатор изготовлен из двух лент ширины $a$ и длины $l$. Расстояние между лентами $d$. Определите емкость конденсатора, если его свернуть в многовитковый рулон радиуса $R\gg d$.


			### Решение

			Радиус $R$ рулона обычно считается внешним, а рулон является сплошным [1].
		@@ -9,39 +9,68 @@Решение

			![\|1149x672, 100%](../../img/6.4.8/Ð¡Ð½Ð¸Ð¼Ð¾Ðº ÑÐºÑÐ°Ð½Ð° 2026-03-10 083933.png)

		−	Сделаем рассуждения по возможности точными: рулонный конденсатор рассмотрим как множество цилиндрических конденсаторов с плавно меняющимся радиусом, учтем емкость зазора между основными слоями.
		+	Сделаем рассуждения по возможности точными: рулонный конденсатор (рулон) рассмотрим как множество цилиндрических конденсаторов (см. задачу [$6.4.7$](/ru/6.4.7)) с плавно меняющимся радиусом, учтем емкость зазора между основными слоями [2]. Зазор считаем постоянным, его величину обозначим $b$ (далее мы выразим ее через данные в задаче).

		−	~~Выделим произвольный цилиндрический конденсатор на расстоянии~~ $r$ от оси рулона (см. задачу [$6.4.7$](/ru/6.4.7)). Умножение емкости этого конденсатора на малое приращение $dn$ количества таких конденсаторов даст элементарную емкость рулонного конденсатора (рулона):
		+	Емкость рулона $C$ складывается из емкости $C_1$ основных слоев и емкости $C_2$ зазоров (в эквивалентной схеме они соединены параллельно [2]).

		+	- Емкость $C_1$ складывается из емкостей элементов цилиндрических конденсаторов (они соединены параллельно) с расстоянием $d$ между обкладками.
		+
		+	- Емкость $C_2$ аналогично складывается из емкостей элементов цилиндрических конденсаторов, но с расстоянием $b$ между обкладками.
		+
		+	Начнем с вычисления емкости $C_1$.
		+
		+	Представим произвольный цилиндрический конденсатор с толщиной $d$ на расстоянии $r$ от оси рулона. Умножение емкости этого конденсатора на малое приращение $dn$ количества таких конденсаторов даст элементарную емкость
		+
			$$
		−	dC=\frac{2\pi\varepsilon_0 a}{\ln\left(1+\dfrac{d}{r}\right)}dn.
		+	dC_1=\frac{2\pi\varepsilon_0 a}{\ln\left(1+\dfrac{d}{r}\right)}dn.\tag{1}
			$$

			Величина $dn$ удобно выражается через приращение $dr$ расстояния от оси рулона:

			$$
		−	dn=\frac{dr}{d}.
		+	dn=\frac{dr}{d+b}.
			$$

			Для удобства дальнейшего интегрирования обозначим

			$$
			x=\frac{r}{d}.
			$$

		−	~~Теперь емкость рулона переписывается~~:
		+	После этих замен интегрирование $(1)$ дает:

			$$
		−	~~dC=~~2\pi\varepsilon_0 a~~\frac~~{dx}{\ln(1+\frac{1}{x})}.
		+	C_1=\frac{2\pi\varepsilon_0 ad}{d+b}\int\limits_0^{R/d}\frac{dx}{\ln\left(1+\dfrac{1}{x}\right)}.
			$$

			Таким образом, нужно найти интеграл

			$$
		+	\boxed{I=\int\limits_0^{R/d}\frac{dx}{\ln\left(1+\dfrac{1}{x}\right)}.}
		+	$$

		+	(Определенный интеграл будет удобней, как выяснится позже.)
		+
		+
		+	Введем временную переменную $u=1/x$ и начнем приводить подынтегральную функцию
		+
			$$
		+	\frac{1}{\ln\left(1+u\right)}
		+	$$

		+	к удобному для интегрирования виду через разложение в ряд логарифма:

		+	$$
		+	\frac{1}{u-\dfrac{u^2}{2}+\dfrac{u^3}{3}-\ldots}.
		+	$$
		+
		+	Нужно избавиться от ряда в знаменателе. Приведем
		+
		+	$$
		+	\frac{1}{\left(u-\dfrac{u^2}{2}+\dfrac{u^3}{3}-\ldots\right)}.
		+	$$
		+
		+
			Рулон представляем как свиток, где $R$ есть его внутренний радиус, как это предложено в задаче с решением в аналогичной постановке в пособии [1]. Полями и емкостями в зазорах между основными слоями пренебрегаем [2]. Разрежем мысленно рулон вдоль радиуса.

			![\|935x601, 50%](../../img/6.4.8/ÐÐµÐ· Ð¸Ð¼ÐµÐ½Ð¸.png)

			Мы получили как бы множество цилиндрических конденсаторов, соединенных параллельно (сумма их емкостей есть емкость рулона).

			Пронумеруем цилиндрические конденсаторы (кратко — конденсаторы), начиная с внутреннего (радиус которого $R$):

			$$
			C_1, C_2, \ldots, C_n.
			$$

			Выберем $i$-й конденсатор с внутренним радиусом $r_i$ и, используя результат решения предыдущей задачи [$6.4.7$](/ru/6.4.7), запишем его емкость

			$$
			C_i=\frac{2\pi\varepsilon_0a}{\ln\left(1+\dfrac{d}{r_i}\right)}.
			$$

			Так как $\dfrac{d}{r_i}\ll1$, разложим логарифм в ряд до первого члена

			$$
			\ln\left(1+\frac{d}{r_i}\right)\approx\frac{d}{r_i}.
			$$

			Тогда емкость одного конденсатора для этой задачи переписывается:

			$$
			C_i=\frac{2\pi\varepsilon_0a}{d}r_i.
			$$

			Заметим, что можно записать и короче

			$$
			C_i=\frac{\varepsilon_0a}{d}l_i,
			$$

			где $l_i=2\pi r_i$ есть длина окружности основания, накотором стоит $i$-й конденсатор.

			Емкость рулона:

			$$
			C=\sum_iC_i=\frac{\varepsilon_0a}{d}\sum_il_i,
			$$

			откуда в силу равенства $l=\sum_il_i$ следует

			$$
			C=\frac{\varepsilon_0al}{d}.
			$$


			У Савченко ответ другой: $C=\frac{\varepsilon_0al}{d}\left(1+\frac{ld}{2\pi R^2}\right)$.

			В этом решении считаем, что Савченко под $R$ подразумевал именно внутренний радиус рулона. Если это так, то расстояние зазора между основными слоями найти не получается. Если считать, что радиус $R$ есть внешний радиус, то можно найти расстояние зазора и учесть емкость зазора.


			#### Комментарии к решению из [1]

			Решение аналогичной задачи из пособия [1] непоследовательно, что дает разные ответы. Вот отрывок конца этого решения.

			![\|1202x912, 100%](../../img/6.4.8/Ð¡Ð½Ð¸Ð¼Ð¾Ðº ÑÐºÑÐ°Ð½Ð° 2026-03-07 092938.png)

			Некорректность появилась ранее. Авторы до этого нашли предел интегрирования (конечный угол) по формуле

			$$
			\Phi\approx\frac{l}{R},
			$$

			не учитывают многовитковость. Хотя до этого они получили точную связь радиуса и угла

			$$
			r=R+\frac{\varphi(d+b)}{2\pi}.
			$$

			Таким образом, есть два варианта

			- не забывать про многовитковость;

			- везде полагать, что витков не так много и радиус сохраняется (что не подходит к формулировке задачи).

			И вот, что получается. Элементарную емкость авторы пишут как

			$$
			dC=\frac{\varepsilon\varepsilon_0ar}{d}d\varphi,
			$$

			но заметим, что $r\,d\varphi=dl$, так что

			$$
			dC=\frac{\varepsilon\varepsilon_0a}{d}dl,
			$$

			а это приводит к ответу $C=\dfrac{\varepsilon\varepsilon_0al}{d}$.


			#### Литература
		@@ -141,10 +170,12 @@Литература

			[1] Борисов В.Г., Отряшенков Ю.М. Юный радиолюбитель. 1966. C. 111.

		+	[2] С. М. Козел. Парадоксы плоского конденсатора. «Квант», 1985, №8.

		−	[1] "Принципы и практика решения задач по общей физике". Ч.2: Электромагнетизм. А.Н. Паршаков. Изд. 2010 г (стр.104–107).

		−	[2] С. М. Козел. Парадоксы плоского конденсатора. «Квант», 1985, №8.
		+
		+	[4] "Принципы и практика решения задач по общей физике". Ч.2: Электромагнетизм. А.Н. Паршаков. Изд. 2010 г (стр.104–107).
		+


			#### Ответ

			$$
			C=\frac{\varepsilon_0al}{d}.
			$$
		unchanged lines 4

	### Условие		### Условие

	$6.4.8^*.$ Плоский конденсатор изготовлен из двух лент ширины $a$ и длины $l$. Расстояние между лентами $d$. Определите емкость конденсатора, если его свернуть в многовитковый рулон радиуса $R\gg d$.		$6.4.8^*.$ Плоский конденсатор изготовлен из двух лент ширины $a$ и длины $l$. Расстояние между лентами $d$. Определите емкость конденсатора, если его свернуть в многовитковый рулон радиуса $R\gg d$.


	### Решение		### Решение

	Радиус $R$ рулона обычно считается внешним, а рулон является сплошным [1].		Радиус $R$ рулона обычно считается внешним, а рулон является сплошным [1].
	@@ -9,39 +9,68 @@Решение

	![\|1149x672, 100%](../../img/6.4.8/Ð¡Ð½Ð¸Ð¼Ð¾Ðº ÑÐºÑÐ°Ð½Ð° 2026-03-10 083933.png)		![\|1149x672, 100%](../../img/6.4.8/Ð¡Ð½Ð¸Ð¼Ð¾Ðº ÑÐºÑÐ°Ð½Ð° 2026-03-10 083933.png)

	Сделаем рассуждения по возможности точными: рулонный конденсатор рассмотрим как множество цилиндрических конденсаторов с плавно меняющимся радиусом, учтем емкость зазора между основными слоями.		Сделаем рассуждения по возможности точными: рулонный конденсатор (рулон) рассмотрим как множество цилиндрических конденсаторов (см. задачу [$6.4.7$](/ru/6.4.7)) с плавно меняющимся радиусом, учтем емкость зазора между основными слоями [2]. Зазор считаем постоянным, его величину обозначим $b$ (далее мы выразим ее через данные в задаче).

	~~Выделим произвольный цилиндрический конденсатор на расстоянии~~ $r$ от оси рулона (см. задачу [$6.4.7$](/ru/6.4.7)). Умножение емкости этого конденсатора на малое приращение $dn$ количества таких конденсаторов даст элементарную емкость рулонного конденсатора (рулона):		Емкость рулона $C$ складывается из емкости $C_1$ основных слоев и емкости $C_2$ зазоров (в эквивалентной схеме они соединены параллельно [2]).

			- Емкость $C_1$ складывается из емкостей элементов цилиндрических конденсаторов (они соединены параллельно) с расстоянием $d$ между обкладками.

			- Емкость $C_2$ аналогично складывается из емкостей элементов цилиндрических конденсаторов, но с расстоянием $b$ между обкладками.

			Начнем с вычисления емкости $C_1$.

			Представим произвольный цилиндрический конденсатор с толщиной $d$ на расстоянии $r$ от оси рулона. Умножение емкости этого конденсатора на малое приращение $dn$ количества таких конденсаторов даст элементарную емкость

	$$		$$
	dC=\frac{2\pi\varepsilon_0 a}{\ln\left(1+\dfrac{d}{r}\right)}dn.		dC_1=\frac{2\pi\varepsilon_0 a}{\ln\left(1+\dfrac{d}{r}\right)}dn.\tag{1}
	$$		$$

	Величина $dn$ удобно выражается через приращение $dr$ расстояния от оси рулона:		Величина $dn$ удобно выражается через приращение $dr$ расстояния от оси рулона:

	$$		$$
	dn=\frac{dr}{d}.		dn=\frac{dr}{d+b}.
	$$		$$

	Для удобства дальнейшего интегрирования обозначим		Для удобства дальнейшего интегрирования обозначим

	$$		$$
	x=\frac{r}{d}.		x=\frac{r}{d}.
	$$		$$

	~~Теперь емкость рулона переписывается~~:		После этих замен интегрирование $(1)$ дает:

	$$		$$
	~~dC=~~2\pi\varepsilon_0 a~~\frac~~{dx}{\ln(1+\frac{1}{x})}.		C_1=\frac{2\pi\varepsilon_0 ad}{d+b}\int\limits_0^{R/d}\frac{dx}{\ln\left(1+\dfrac{1}{x}\right)}.
	$$		$$

	Таким образом, нужно найти интеграл		Таким образом, нужно найти интеграл

	$$		$$
			\boxed{I=\int\limits_0^{R/d}\frac{dx}{\ln\left(1+\dfrac{1}{x}\right)}.}
			$$

			(Определенный интеграл будет удобней, как выяснится позже.)


			Введем временную переменную $u=1/x$ и начнем приводить подынтегральную функцию

	$$		$$
			\frac{1}{\ln\left(1+u\right)}
			$$

			к удобному для интегрирования виду через разложение в ряд логарифма:

			$$
			\frac{1}{u-\dfrac{u^2}{2}+\dfrac{u^3}{3}-\ldots}.
			$$

			Нужно избавиться от ряда в знаменателе. Приведем

			$$
			\frac{1}{\left(u-\dfrac{u^2}{2}+\dfrac{u^3}{3}-\ldots\right)}.
			$$


	Рулон представляем как свиток, где $R$ есть его внутренний радиус, как это предложено в задаче с решением в аналогичной постановке в пособии [1]. Полями и емкостями в зазорах между основными слоями пренебрегаем [2]. Разрежем мысленно рулон вдоль радиуса.		Рулон представляем как свиток, где $R$ есть его внутренний радиус, как это предложено в задаче с решением в аналогичной постановке в пособии [1]. Полями и емкостями в зазорах между основными слоями пренебрегаем [2]. Разрежем мысленно рулон вдоль радиуса.

	![\|935x601, 50%](../../img/6.4.8/ÐÐµÐ· Ð¸Ð¼ÐµÐ½Ð¸.png)		![\|935x601, 50%](../../img/6.4.8/ÐÐµÐ· Ð¸Ð¼ÐµÐ½Ð¸.png)

	Мы получили как бы множество цилиндрических конденсаторов, соединенных параллельно (сумма их емкостей есть емкость рулона).		Мы получили как бы множество цилиндрических конденсаторов, соединенных параллельно (сумма их емкостей есть емкость рулона).

	Пронумеруем цилиндрические конденсаторы (кратко — конденсаторы), начиная с внутреннего (радиус которого $R$):		Пронумеруем цилиндрические конденсаторы (кратко — конденсаторы), начиная с внутреннего (радиус которого $R$):

	$$		$$
	C_1, C_2, \ldots, C_n.		C_1, C_2, \ldots, C_n.
	$$		$$

	Выберем $i$-й конденсатор с внутренним радиусом $r_i$ и, используя результат решения предыдущей задачи [$6.4.7$](/ru/6.4.7), запишем его емкость		Выберем $i$-й конденсатор с внутренним радиусом $r_i$ и, используя результат решения предыдущей задачи [$6.4.7$](/ru/6.4.7), запишем его емкость

	$$		$$
	C_i=\frac{2\pi\varepsilon_0a}{\ln\left(1+\dfrac{d}{r_i}\right)}.		C_i=\frac{2\pi\varepsilon_0a}{\ln\left(1+\dfrac{d}{r_i}\right)}.
	$$		$$

	Так как $\dfrac{d}{r_i}\ll1$, разложим логарифм в ряд до первого члена		Так как $\dfrac{d}{r_i}\ll1$, разложим логарифм в ряд до первого члена

	$$		$$
	\ln\left(1+\frac{d}{r_i}\right)\approx\frac{d}{r_i}.		\ln\left(1+\frac{d}{r_i}\right)\approx\frac{d}{r_i}.
	$$		$$

	Тогда емкость одного конденсатора для этой задачи переписывается:		Тогда емкость одного конденсатора для этой задачи переписывается:

	$$		$$
	C_i=\frac{2\pi\varepsilon_0a}{d}r_i.		C_i=\frac{2\pi\varepsilon_0a}{d}r_i.
	$$		$$

	Заметим, что можно записать и короче		Заметим, что можно записать и короче

	$$		$$
	C_i=\frac{\varepsilon_0a}{d}l_i,		C_i=\frac{\varepsilon_0a}{d}l_i,
	$$		$$

	где $l_i=2\pi r_i$ есть длина окружности основания, накотором стоит $i$-й конденсатор.		где $l_i=2\pi r_i$ есть длина окружности основания, накотором стоит $i$-й конденсатор.

	Емкость рулона:		Емкость рулона:

	$$		$$
	C=\sum_iC_i=\frac{\varepsilon_0a}{d}\sum_il_i,		C=\sum_iC_i=\frac{\varepsilon_0a}{d}\sum_il_i,
	$$		$$

	откуда в силу равенства $l=\sum_il_i$ следует		откуда в силу равенства $l=\sum_il_i$ следует

	$$		$$
	C=\frac{\varepsilon_0al}{d}.		C=\frac{\varepsilon_0al}{d}.
	$$		$$


	У Савченко ответ другой: $C=\frac{\varepsilon_0al}{d}\left(1+\frac{ld}{2\pi R^2}\right)$.		У Савченко ответ другой: $C=\frac{\varepsilon_0al}{d}\left(1+\frac{ld}{2\pi R^2}\right)$.

	В этом решении считаем, что Савченко под $R$ подразумевал именно внутренний радиус рулона. Если это так, то расстояние зазора между основными слоями найти не получается. Если считать, что радиус $R$ есть внешний радиус, то можно найти расстояние зазора и учесть емкость зазора.		В этом решении считаем, что Савченко под $R$ подразумевал именно внутренний радиус рулона. Если это так, то расстояние зазора между основными слоями найти не получается. Если считать, что радиус $R$ есть внешний радиус, то можно найти расстояние зазора и учесть емкость зазора.


	#### Комментарии к решению из [1]		#### Комментарии к решению из [1]

	Решение аналогичной задачи из пособия [1] непоследовательно, что дает разные ответы. Вот отрывок конца этого решения.		Решение аналогичной задачи из пособия [1] непоследовательно, что дает разные ответы. Вот отрывок конца этого решения.

	![\|1202x912, 100%](../../img/6.4.8/Ð¡Ð½Ð¸Ð¼Ð¾Ðº ÑÐºÑÐ°Ð½Ð° 2026-03-07 092938.png)		![\|1202x912, 100%](../../img/6.4.8/Ð¡Ð½Ð¸Ð¼Ð¾Ðº ÑÐºÑÐ°Ð½Ð° 2026-03-07 092938.png)

	Некорректность появилась ранее. Авторы до этого нашли предел интегрирования (конечный угол) по формуле		Некорректность появилась ранее. Авторы до этого нашли предел интегрирования (конечный угол) по формуле

	$$		$$
	\Phi\approx\frac{l}{R},		\Phi\approx\frac{l}{R},
	$$		$$

	не учитывают многовитковость. Хотя до этого они получили точную связь радиуса и угла		не учитывают многовитковость. Хотя до этого они получили точную связь радиуса и угла

	$$		$$
	r=R+\frac{\varphi(d+b)}{2\pi}.		r=R+\frac{\varphi(d+b)}{2\pi}.
	$$		$$

	Таким образом, есть два варианта		Таким образом, есть два варианта

	- не забывать про многовитковость;		- не забывать про многовитковость;

	- везде полагать, что витков не так много и радиус сохраняется (что не подходит к формулировке задачи).		- везде полагать, что витков не так много и радиус сохраняется (что не подходит к формулировке задачи).

	И вот, что получается. Элементарную емкость авторы пишут как		И вот, что получается. Элементарную емкость авторы пишут как

	$$		$$
	dC=\frac{\varepsilon\varepsilon_0ar}{d}d\varphi,		dC=\frac{\varepsilon\varepsilon_0ar}{d}d\varphi,
	$$		$$

	но заметим, что $r\,d\varphi=dl$, так что		но заметим, что $r\,d\varphi=dl$, так что

	$$		$$
	dC=\frac{\varepsilon\varepsilon_0a}{d}dl,		dC=\frac{\varepsilon\varepsilon_0a}{d}dl,
	$$		$$

	а это приводит к ответу $C=\dfrac{\varepsilon\varepsilon_0al}{d}$.		а это приводит к ответу $C=\dfrac{\varepsilon\varepsilon_0al}{d}$.


	#### Литература		#### Литература
	@@ -141,10 +170,12 @@Литература

	[1] Борисов В.Г., Отряшенков Ю.М. Юный радиолюбитель. 1966. C. 111.		[1] Борисов В.Г., Отряшенков Ю.М. Юный радиолюбитель. 1966. C. 111.

			[2] С. М. Козел. Парадоксы плоского конденсатора. «Квант», 1985, №8.

	[1] "Принципы и практика решения задач по общей физике". Ч.2: Электромагнетизм. А.Н. Паршаков. Изд. 2010 г (стр.104–107).

	[2] С. М. Козел. Парадоксы плоского конденсатора. «Квант», 1985, №8.
			[4] "Принципы и практика решения задач по общей физике". Ч.2: Электромагнетизм. А.Н. Паршаков. Изд. 2010 г (стр.104–107).



	#### Ответ		#### Ответ

	$$		$$
	C=\frac{\varepsilon_0al}{d}.		C=\frac{\varepsilon_0al}{d}.
	$$		$$
	unchanged lines 4