Решение

Радиус $R$ рулона обычно считается внешним, а рулон является сплошным [1].

Сделаем рассуждения по возможности точными: рулонный конденсатор (рулон) рассмотрим как множество цилиндрических конденсаторов (см. задачу $6.4.7$) с плавно меняющимся радиусом, учтем емкость зазора между основными слоями [2]. Зазор считаем постоянным, его величину обозначим $b$ (далее мы выразим ее через данные в задаче).

Емкость рулона $C$ складывается из емкости $C_1$ основных слоев и емкости $C_2$ зазоров (в эквивалентной схеме они соединены параллельно [2]).

• Емкость $C_1$ складывается из емкостей элементов цилиндрических конденсаторов (они соединены параллельно) с расстоянием $d$ между обкладками.

• Емкость $C_2$ аналогично складывается из емкостей элементов цилиндрических конденсаторов, но с расстоянием $b$ между обкладками.

Начнем с вычисления емкости $C_1$.

Представим произвольный цилиндрический конденсатор с толщиной $d$ на расстоянии $r$ от оси рулона. Умножение емкости этого конденсатора на малое приращение $dn$ количества таких конденсаторов даст элементарную емкость

$$dC_1=\frac{2\pi\varepsilon_0 a}{\ln\left(1+\dfrac{d}{r}\right)}dn.\tag{1}$$

Величина $dn$ удобно выражается через приращение $dr$ расстояния от оси рулона:

$$dn=\frac{dr}{d+b}.$$

Для удобства дальнейшего интегрирования обозначим

$$x=\frac{r}{d}.$$

После этих замен интегрирование $(1)$ дает:

$$C_1=\frac{2\pi\varepsilon_0 ad}{d+b}\int\limits_0^{R/d}\frac{dx}{\ln\left(1+\dfrac{1}{x}\right)}.$$

Таким образом, нужно найти интеграл

$$\boxed{I=\int\limits_0^{R/d}\frac{dx}{\ln\left(1+\dfrac{1}{x}\right)}.}\tag{2}$$

(Определенный интеграл будет удобней, как выяснится позже.)

Введем временную переменную $u=1/x$ и начнем приводить подынтегральную функцию

$$\frac{1}{\ln\left(1+u\right)}$$

к удобному для интегрирования виду через разложение в ряд логарифма:

$$\frac{1}{u-\dfrac{u^2}{2}+\dfrac{u^3}{3}-\ldots}.$$

Нужно избавиться от ряда в знаменателе. Будем использовать формулу геометрической прогрессии

$$\frac{1}{1-q}=1+q+q^2+q^3+\ldots.\tag{3}$$

Выделим в нашей функции выражение вида $\dfrac{1}{1-q}$:

$$\frac{1}{u}\frac{1}{\left(1-\left(\dfrac{u}{2}-\dfrac{u^2}{3}+\dfrac{u^3}{4}-\ldots\right)\right)}$$

и используем разложение $(3)$:

$$\frac{1}{u}\left(1+\dfrac{u}{2}-\dfrac{u^2}{3}+\dfrac{u^3}{4}-\ldots\right)$$

и далее

$$\frac{1}{u}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{u}{3}+\dfrac{u^2}{4}-\ldots$$

Так как $x=1/u$, то

$$x+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3x}+\dfrac{1}{4x^2}-\ldots$$

Вот эту функцию уже можем интегрировать по $x$, используя формулу $(2)$:

$$I=\frac{R^2}{2d^2}+\frac{1}{2}\frac{R}{d}-\frac{1}{3}\ln\left(\frac{R}{d}\right)-\frac{1}{4}\frac{d}{R}+\ldots$$

Вынесем тут множитель $\dfrac{R^2}{2d^2}$:

$$I=\frac{R^2}{2d^2}\left(1+\frac{d}{R}-\frac{1}{3}\frac{2d^2}{R^2}\ln\left(\frac{R}{d}\right)-\frac{1}{4}\frac{2d^3}{R^3}+\ldots\right)$$

и увидим, что в скобках все члены ряда после первого много меньше единицы.

Таким образом

$$I\approx\frac{R^2}{2d^2}.$$

Рулон представляем как свиток, где $R$ есть его внутренний радиус, как это предложено в задаче с решением в аналогичной постановке в пособии [1]. Полями и емкостями в зазорах между основными слоями пренебрегаем [2]. Разрежем мысленно рулон вдоль радиуса.

Мы получили как бы множество цилиндрических конденсаторов, соединенных параллельно (сумма их емкостей есть емкость рулона).

Пронумеруем цилиндрические конденсаторы (кратко — конденсаторы), начиная с внутреннего (радиус которого $R$):

$$C_1, C_2, \ldots, C_n.$$

Выберем $i$-й конденсатор с внутренним радиусом $r_i$ и, используя результат решения предыдущей задачи $6.4.7$, запишем его емкость

$$C_i=\frac{2\pi\varepsilon_0a}{\ln\left(1+\dfrac{d}{r_i}\right)}.$$

Так как $\dfrac{d}{r_i}\ll1$, разложим логарифм в ряд до первого члена

$$\ln\left(1+\frac{d}{r_i}\right)\approx\frac{d}{r_i}.$$

Тогда емкость одного конденсатора для этой задачи переписывается:

$$C_i=\frac{2\pi\varepsilon_0a}{d}r_i.$$

Заметим, что можно записать и короче

$$C_i=\frac{\varepsilon_0a}{d}l_i,$$

где $l_i=2\pi r_i$ есть длина окружности основания, накотором стоит $i$-й конденсатор.

Емкость рулона:

$$C=\sum_iC_i=\frac{\varepsilon_0a}{d}\sum_il_i,$$

откуда в силу равенства $l=\sum_il_i$ следует

$$C=\frac{\varepsilon_0al}{d}.$$

У Савченко ответ другой: $C=\frac{\varepsilon_0al}{d}\left(1+\frac{ld}{2\pi R^2}\right)$.

В этом решении считаем, что Савченко под $R$ подразумевал именно внутренний радиус рулона. Если это так, то расстояние зазора между основными слоями найти не получается. Если считать, что радиус $R$ есть внешний радиус, то можно найти расстояние зазора и учесть емкость зазора.

Комментарии к решению из [1]

Решение аналогичной задачи из пособия [1] непоследовательно, что дает разные ответы. Вот отрывок конца этого решения.

Некорректность появилась ранее. Авторы до этого нашли предел интегрирования (конечный угол) по формуле

$$\Phi\approx\frac{l}{R},$$

не учитывают многовитковость. Хотя до этого они получили точную связь радиуса и угла

$$r=R+\frac{\varphi(d+b)}{2\pi}.$$

Таким образом, есть два варианта

• не забывать про многовитковость;

• везде полагать, что витков не так много и радиус сохраняется (что не подходит к формулировке задачи).

И вот, что получается. Элементарную емкость авторы пишут как

$$dC=\frac{\varepsilon\varepsilon_0ar}{d}d\varphi,$$

но заметим, что $r\,d\varphi=dl$, так что

$$dC=\frac{\varepsilon\varepsilon_0a}{d}dl,$$

а это приводит к ответу $C=\dfrac{\varepsilon\varepsilon_0al}{d}$.