Edit to “Решение”

igor edited Mar 10, 2026, 7:54 AM

View solution History

revision #16180 parent #16179 ← older newer →

ru/6.4.8.md +43 −0

			### Условие

			$6.4.8^*.$ Плоский конденсатор изготовлен из двух лент ширины $a$ и длины $l$. Расстояние между лентами $d$. Определите емкость конденсатора, если его свернуть в многовитковый рулон радиуса $R\gg d$.


			### Решение

			Радиус $R$ рулона обычно считается внешним, а рулон является сплошным [1].

			![\|1149x672, 100%](../../img/6.4.8/Ð¡Ð½Ð¸Ð¼Ð¾Ðº ÑÐºÑÐ°Ð½Ð° 2026-03-10 083933.png)

			Сделаем рассуждения по возможности точными: рулонный конденсатор (рулон) рассмотрим как множество цилиндрических конденсаторов (см. задачу [$6.4.7$](/ru/6.4.7)) с плавно меняющимся радиусом, учтем емкость зазора между основными слоями [2]. Зазор считаем постоянным, его величину обозначим $b$ (далее мы выразим ее через данные в задаче).

			Емкость рулона $C$ складывается из емкости $C_1$ основных слоев и емкости $C_2$ зазоров (в эквивалентной схеме они соединены параллельно [2]).

			- Емкость $C_1$ складывается из емкостей элементов цилиндрических конденсаторов (они соединены параллельно) с расстоянием $d$ между обкладками.

			- Емкость $C_2$ аналогично складывается из емкостей элементов цилиндрических конденсаторов, но с расстоянием $b$ между обкладками.

			Начнем с вычисления емкости $C_1$.

			Представим произвольный цилиндрический конденсатор с толщиной $d$ на расстоянии $r$ от оси рулона. Умножение емкости этого конденсатора на малое приращение $dn$ количества таких конденсаторов даст элементарную емкость

			$$
			dC_1=\frac{2\pi\varepsilon_0 a}{\ln\left(1+\dfrac{d}{r}\right)}dn.\tag{1}
			$$

			Величина $dn$ удобно выражается через приращение $dr$ расстояния от оси рулона:

			$$
			dn=\frac{dr}{d+b}.
			$$

			Для удобства дальнейшего интегрирования обозначим

			$$
			x=\frac{r}{d}.
			$$

			После этих замен интегрирование $(1)$ дает:

			$$
			C_1=\frac{2\pi\varepsilon_0 ad}{d+b}\int\limits_0^{R/d}\frac{dx}{\ln\left(1+\dfrac{1}{x}\right)}.
			$$

			Таким образом, нужно найти интеграл

			$$
			\boxed{I=\int\limits_0^{R/d}\frac{dx}{\ln\left(1+\dfrac{1}{x}\right)}.}\tag{2}
			$$

			(Определенный интеграл будет удобней, как выяснится позже.)


			Введем временную переменную $u=1/x$ и начнем приводить подынтегральную функцию

			$$
			\frac{1}{\ln\left(1+u\right)}
			$$

			к удобному для интегрирования виду через разложение в ряд логарифма:

			$$
			\frac{1}{u-\dfrac{u^2}{2}+\dfrac{u^3}{3}-\ldots}.
			$$

			Нужно избавиться от ряда в знаменателе. Будем использовать формулу геометрической прогрессии

			$$
			\frac{1}{1-q}=1+q+q^2+q^3+\ldots.\tag{3}
			$$

			Выделим в нашей функции выражение вида $\dfrac{1}{1-q}$:

			$$
			\frac{1}{u}\frac{1}{\left(1-\left(\dfrac{u}{2}-\dfrac{u^2}{3}+\dfrac{u^3}{4}-\ldots\right)\right)}
			$$

			и используем разложение $(3)$:

			$$
			\frac{1}{u}\left(1+\dfrac{u}{2}-\dfrac{u^2}{3}+\dfrac{u^3}{4}-\ldots\right)
			$$

			и далее

			$$
			\frac{1}{u}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{u}{3}+\dfrac{u^2}{4}-\ldots
			$$

			Так как $x=1/u$, то

			$$
			x+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3x}+\dfrac{1}{4x^2}-\ldots
			$$

			Вот эту функцию уже можем интегрировать по $x$, используя формулу $(2)$:

			$$
			I=\frac{R^2}{2d^2}+\frac{1}{2}\frac{R}{d}-\frac{1}{3}\ln\left(\frac{R}{d}\right)-\frac{1}{4}\frac{d}{R}+\ldots
			$$

			Вынесем тут множитель $\dfrac{R^2}{2d^2}$:

			$$
			I=\frac{R^2}{2d^2}\left(1+\frac{d}{R}-\frac{1}{3}\frac{2d^2}{R^2}\ln\left(\frac{R}{d}\right)-\frac{1}{4}\frac{2d^3}{R^3}+\ldots\right)
			$$

			и увидим, что в скобках все члены ряда после первого много меньше единицы.

			Таким образом

			$$
		@@ -114,6 +114,49 @@Решение
			I\approx\frac{R^2}{2d^2}.
			$$

		+	Отсюда пока получаем
		+
		+	$$
		+	C_1\approx\frac{\pi\varepsilon_0 a}{d+b}\frac{R^2}{d}.
		+	$$
		+
		+	Рассуждения для нахождения $C_2$ аналогичны. Из симметрии предыдущей формулы относительно $d$ и $b$ можем сразу написать
		+
		+	$$
		+	C_2\approx\frac{\pi\varepsilon_0 a}{b+d}\frac{R^2}{b}.
		+	$$
		+
		+	Итак, емкость рулона
		+
		+	$$
		+	C=C_1+C_2,
		+	$$
		+
		+	значит:
		+
		+	$$
		+	C\approx\frac{\pi\varepsilon_0 aR^2}{b+d}\left(\frac{1}{d}+\frac{1}{b}\right).\tag{4}
		+	$$
		+
		+	Из геометрии рулона
		+
		+	$$
		+	b=\frac{\pi R^2-ld}{l}
		+	$$
		+
		+	и
		+
		+	$$
		+	\pi R^2=l(d+b).
		+	$$
		+
		+	Предыдыущие две формулы подставляем в $(4)$, упрощаем и получаем такой ответ
		+
		+	$$
		+	C\approx\frac{\varepsilon_0 al}{d}\left(1+\frac{ld}{\pi R^2-ld}\right).
		+	$$
		+
		+
			Рулон представляем как свиток, где $R$ есть его внутренний радиус, как это предложено в задаче с решением в аналогичной постановке в пособии [1]. Полями и емкостями в зазорах между основными слоями пренебрегаем [2]. Разрежем мысленно рулон вдоль радиуса.

			![\|935x601, 50%](../../img/6.4.8/ÐÐµÐ· Ð¸Ð¼ÐµÐ½Ð¸.png)

			Мы получили как бы множество цилиндрических конденсаторов, соединенных параллельно (сумма их емкостей есть емкость рулона).

			Пронумеруем цилиндрические конденсаторы (кратко — конденсаторы), начиная с внутреннего (радиус которого $R$):

			$$
			C_1, C_2, \ldots, C_n.
			$$

			Выберем $i$-й конденсатор с внутренним радиусом $r_i$ и, используя результат решения предыдущей задачи [$6.4.7$](/ru/6.4.7), запишем его емкость

			$$
			C_i=\frac{2\pi\varepsilon_0a}{\ln\left(1+\dfrac{d}{r_i}\right)}.
			$$

			Так как $\dfrac{d}{r_i}\ll1$, разложим логарифм в ряд до первого члена

			$$
			\ln\left(1+\frac{d}{r_i}\right)\approx\frac{d}{r_i}.
			$$

			Тогда емкость одного конденсатора для этой задачи переписывается:

			$$
			C_i=\frac{2\pi\varepsilon_0a}{d}r_i.
			$$

			Заметим, что можно записать и короче

			$$
			C_i=\frac{\varepsilon_0a}{d}l_i,
			$$

			где $l_i=2\pi r_i$ есть длина окружности основания, накотором стоит $i$-й конденсатор.

			Емкость рулона:

			$$
			C=\sum_iC_i=\frac{\varepsilon_0a}{d}\sum_il_i,
			$$

			откуда в силу равенства $l=\sum_il_i$ следует

			$$
			C=\frac{\varepsilon_0al}{d}.
			$$


			У Савченко ответ другой: $C=\frac{\varepsilon_0al}{d}\left(1+\frac{ld}{2\pi R^2}\right)$.

			В этом решении считаем, что Савченко под $R$ подразумевал именно внутренний радиус рулона. Если это так, то расстояние зазора между основными слоями найти не получается. Если считать, что радиус $R$ есть внешний радиус, то можно найти расстояние зазора и учесть емкость зазора.


			#### Комментарии к решению из [1]

			Решение аналогичной задачи из пособия [1] непоследовательно, что дает разные ответы. Вот отрывок конца этого решения.

			![\|1202x912, 100%](../../img/6.4.8/Ð¡Ð½Ð¸Ð¼Ð¾Ðº ÑÐºÑÐ°Ð½Ð° 2026-03-07 092938.png)

			Некорректность появилась ранее. Авторы до этого нашли предел интегрирования (конечный угол) по формуле

			$$
			\Phi\approx\frac{l}{R},
			$$

			не учитывают многовитковость. Хотя до этого они получили точную связь радиуса и угла

			$$
			r=R+\frac{\varphi(d+b)}{2\pi}.
			$$

			Таким образом, есть два варианта

			- не забывать про многовитковость;

			- везде полагать, что витков не так много и радиус сохраняется (что не подходит к формулировке задачи).

			И вот, что получается. Элементарную емкость авторы пишут как

			$$
			dC=\frac{\varepsilon\varepsilon_0ar}{d}d\varphi,
			$$

			но заметим, что $r\,d\varphi=dl$, так что

			$$
			dC=\frac{\varepsilon\varepsilon_0a}{d}dl,
			$$

			а это приводит к ответу $C=\dfrac{\varepsilon\varepsilon_0al}{d}$.


			#### Литература

			[1] Борисов В.Г., Отряшенков Ю.М. Юный радиолюбитель. 1966. C. 111.

			[2] С. М. Козел. Парадоксы плоского конденсатора. «Квант», 1985, №8.



			[4] "Принципы и практика решения задач по общей физике". Ч.2: Электромагнетизм. А.Н. Паршаков. Изд. 2010 г (стр.104–107).



			#### Ответ

			$$
			C=\frac{\varepsilon_0al}{d}.
			$$
		unchanged lines 109