| @@ -1,239 +1,211 @@ |
| | − | <html> |
| | − | <head> |
| | − | <title>Решебник Савченко</title> |
| | − | |
| | − | <meta name="keywords" content="решение, савченко, оливер, яковлевич, о.я., сборник задач по физике, решебник"> |
| | − | <meta name="description" content="Решение задачника Савенко О.Я."> |
| | − | <meta http-equiv="content-language" content="ru"> |
| | − | <meta charset="utf-8"> |
| | − | <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0"> |
| | − | <meta property="og:title" content="Решебник Савченко"/> |
| | − | <meta property="og:image" content="img/logo.png"> |
| | − | <meta property="og:description" content="Сайт с решениями задач из сбоника задач Савенко О.Я."> |
| | − | <meta name="yandex-verification" content="6cfda41f74038368" /> |
| | + | <!DOCTYPE html> |
| | + | <html lang="ru"> |
| | | |
| | − | <link rel="stylesheet" type="text/css" href="../../css/bootstrap.css"> |
| | − | <link rel="stylesheet" media="screen and (max-width: 769px)" type="text/css" href="../../css/StyleMobile.css"> |
| | − | <link rel="stylesheet" media="screen and (min-width: 769px)" type="text/css" href="../../css/style.css"> |
| | − | <link rel="stylesheet" type="text/css" href="../../css/fonts.css"> |
| | − | <link rel="stylesheet" type="text/css" href="../../css/banner-styles.css"> |
| | − | <link rel="icon" href="../../img/logo.png" type="image/png" /> |
| | + | <head> |
| | + | <meta charset="utf-8"> |
| | + | <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0"> |
| | + | <meta http-equiv="content-language" content="ru"> |
| | + | <meta name="keywords" content="решение, савченко, оливер, яковлевич, о.я., сборник задач по физике, решебник"> |
| | + | <meta name="description" content="Решение задачника Савенко О.Я."> |
| | + | <meta property="og:title" content="Решебник Савченко"> |
| | + | <meta property="og:image" content="img/logo.png"> |
| | + | <meta property="og:description" content="Сайт с решениями задач из сборника задач Савенко О.Я."> |
| | + | <meta name="yandex-verification" content="6cfda41f74038368"> |
| | + | <title>Решебник Савченко</title> |
| | + | <link rel="stylesheet" href="../../css/css-latex/style.css"> |
| | + | <link rel="icon" href="../../img/logo.png" type="image/png"> |
| | + | <script src="../../js/jquery-1.10.1.min.js"></script> |
| | + | <script async src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.7/MathJax.js?config=TeX-MML-AM_CHTML"></script> |
| | + | <script type="text/x-mathjax-config"> |
| | + | MathJax.Hub.Config({ |
| | + | extensions: ['tex2jax.js'], |
| | + | jax: ['input/TeX', 'output/HTML-CSS'], |
| | + | tex2jax: { |
| | + | inlineMath: [['$', '$'], ['$', '$']], |
| | + | processEscapes: true, |
| | + | processClass: 'tex2jax', |
| | + | ignoreClass: 'html' |
| | + | }, |
| | + | showProcessingMessages: false, |
| | + | messageStyle: 'none' |
| | + | }); |
| | + | </script> |
| | + | </head> |
| | + | <body style=""> |
| | + | <header style="text-align:center;"> |
| | + | <h2>Решение задач из Савченко О.Я.</h2> |
| | + | <p class="author"> |
| | + | Aliaksandr Melnichenka <br/> |
| | + | October 2023 |
| | + | </p> |
| | + | </header> |
| | | |
| | − | <script src="../../js/jquery-1.10.1.min.js"></script> |
| | − | <script src="https://polyfill.io/v3/polyfill.min.js?features=es6"></script> |
| | − | <script id="MathJax-script" async |
| | − | src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/mathjax@3/es5/tex-mml-chtml.js"> |
| | − | </script> |
| | − | </head> |
| | + | <h3 id="back-link"><a href="../">$\leftarrow$Назад</a></h3> |
| | | |
| | − | <body style=""> |
| | − | <div class="container row"> |
| | − | <div class="col flash"> |
| | − | <header> |
| | − | <h1>Решение задач из Савченко О.Я.</h1> |
| | − | </header> |
| | − | </div> |
| | − | <aside class="col col-lg-3"> |
| | − | <nav> |
| | − | <ul class="nav"> |
| | + | <h3> Условие: </h3> |
| | | |
| | + | <p> |
| | + | $2.1.26^*.$ По деревянным сходням, образующим угол $\alpha$ с горизонтом, втаскивают за привязанную к нему веревку ящик. Коэффициент трения ящика о сходни $\mu$. Под каким углом к горизонту следует тянуть веревку, чтобы с наименьшим усилием втащить ящик? |
| | + | </p> |
| | + | <center> |
| | + | <figure> |
| | + | <img src="statement.png" |
| | + | loading="lazy" width="250" /> |
| | + | <figcaption> |
| | + | К задаче 2.1.26 |
| | + | </figcaption> |
| | + | </figure> |
| | + | </center> |
| | | |
| | − | <li> |
| | − | <a href="../../#1">1.Кинематика</a> |
| | − | </li> |
| | + | <h3> Решение: </h3> |
| | | |
| | + | <center> |
| | + | <figure> |
| | + | <img src="phys11917.png" |
| | + | loading="lazy" width="250" /> |
| | + | <figcaption> |
| | + | Схема задачи |
| | + | </figcaption> |
| | + | </figure> |
| | + | </center> |
| | | |
| | − | <li> |
| | − | <a href="../../#2">2.Динамика</a> |
| | − | </li> |
| | + | <p>Рассмотрим силы, действующие на ящик (рис.). Это - сила тяжести $ m \vec{g} $, сила натяжения веревки $ \vec{F} $, сила реакции соударения $ \vec{N} $ и сила трения $ \vec{F}_{тр} $, величина которой $ \vec{F}_{тр} = \mu N $. Спроктируем все силы на направление вдоль схождения и перпендикулярно к ним и запишем соответственные уравнения движения.</p> |
| | | |
| | + | <p>Так как ящик не перемещается в направлении, перпендикулярном схождению, то сумма проекций сил на это направление должна быть равна нулю, то есть</p> |
| | | |
| | − | |
| | + | \[ |
| | + | N + F \sin ( \beta - \alpha) - mg \cos \alpha = 0, \tag{1} |
| | + | \] |
| | | |
| | − | <li> |
| | − | <a href="../../#3">3.Колебания</a> |
| | − | </li> |
| | + | <p>Вдоль схождения ящик движется с ускорением $ a $ (в частном случае при равномерном движении $ a = 0 $), поэтому сумма проекций сил должна быть равна $ ma $:</p> |
| | | |
| | + | \[ |
| | + | F \cos( \beta - \alpha) - mg \sin \alpha - \mu N = ma. \tag{2} |
| | + | \] |
| | | |
| | − | |
| | + | <p>Из уравнений (1) и (2) получаем:</p> |
| | | |
| | − | <li> |
| | − | <a href="../../#4">4.Гидростатика</a> |
| | − | </li> |
| | + | \[ |
| | + | F = \frac{ma + mg ( \sin \alpha + \mu \cos \alpha)}{ \cos ( \beta - \alpha) + \mu \sin ( \beta - \alpha) }. \tag{3} |
| | + | \] |
| | | |
| | + | <p>В полученное выражение для силы $ F $ угол $ \beta $ входит только знаменатель. Следовательно, величина силы $ F $ будет минимальной при таком значении угла $ \beta $, при котором знаменатель в формуле (3) максимален, то есть максимальна величина</p> |
| | | |
| | − | |
| | − | <li> |
| | − | <a href="../../#5">5.Молекулярная</a> |
| | − | </li> |
| | + | \[ |
| | + | \cos ( \beta - \alpha) + \mu \sin ( \beta - \alpha). |
| | + | \] |
| | | |
| | + | <p>Сделаем некоторые преобразования. Представим коэффициент трения $ \mu $ как тангенс некоторого угла $ \gamma $:</p> |
| | | |
| | − | |
| | − | <li> |
| | − | <a href="../../#6">6.Электростатика</a> |
| | − | </li> |
| | + | \[ |
| | + | \tan \gamma = \mu; \quad \gamma = \arctan \mu; |
| | + | \] |
| | | |
| | + | \[ |
| | + | \sin \gamma = \frac{ \mu}{ \sqrt{1 + \mu^{2} } }; \quad \cos \gamma = \frac{1}{ \sqrt{1 + \mu^{2} } }. |
| | + | \] |
| | | |
| | − | |
| | − | <li> |
| | − | <a href="../../#7">7.Движение в электрическом поле</a> |
| | − | </li> |
| | + | <p>Тогда можно записать:</p> |
| | | |
| | + | \[ |
| | + | \cos ( \beta - \alpha) + \mu \sin ( \beta - \alpha) = \sqrt{1 + \mu^{2} } \cos ( \beta - \alpha - \gamma). |
| | + | \] |
| | | |
| | − | |
| | − | <li> |
| | − | <a href="../../#8">8.Электрический ток</a> |
| | − | </li> |
| | + | <p>Последнее выражение максимально и равно</p> |
| | | |
| | + | \[ |
| | + | \sqrt{1 + \mu^{2}} \quad \text{при} \quad \beta - \alpha - \gamma = 0, \quad \text{то есть при} \quad \beta = \alpha + \gamma = \alpha + \arctan \mu. \tag{4} |
| | + | \] |
| | | |
| | − | |
| | − | <li> |
| | − | <a href="../../#9">9.Магнитное поле</a> |
| | − | </li> |
| | + | <p>При таком значении угла $ \beta $ и минимальна сила $ F $. Причем, если ящик движется равномерно ($ a = 0 $), то</p> |
| | | |
| | + | \[ |
| | + | F_{min} = \frac{mg( \sin \alpha + \mu \cos \alpha) }{ \sqrt{1 + \mu^{2} } }. |
| | + | \] |
| | | |
| | − | |
| | − | <li> |
| | − | <a href="../../#10">10.Движение в сложных полях</a> |
| | − | </li> |
| | + | <p>а при движении с ускорением $ a $</p> |
| | | |
| | + | \[ |
| | + | F_{min} = \frac{ma + mg ( \sin \alpha + \mu \cos \alpha ) }{ \sqrt{1 + \mu^{2} } }. |
| | + | \] |
| | | |
| | − | |
| | − | <li> |
| | − | <a href="../../#11">11.Электромагнитная индукция</a> |
| | − | </li> |
| | + | <p> |
| | | |
| | + | Однако, это решение верно не для любого ускорения. Так как направление силы $ \vec{F} $ не зависит от $a$, а абсолютная величина силы $ \vec{F} $ увеличивается с увеличением ускорения, то при некотором значении ускорения $ a = a_0 $ сила $ \vec{F} $ станет такой, что ее составляющая $ F \sin (\beta - \alpha) $, перпендикулярная к наклонной плоскости, будет равна по абсолютной величине составляющей силы тяжести $ mg \cos \alpha $. При этом обратится в нуль как сила $ \vec{N} $, так и сила $ \vec{F}_{тр} $. В дальнейшем (при $ a > a_0 $) для того чтобы ящик не оторвался от полозьев, направление силы $ \vec{F} $ должно меняться с увеличением ускорения так, чтобы составляющая силы $ \vec{F} $, перпендикулярная к наклонной плоскости, оставалась равной составляющей силы тяжести, то есть |
| | + | \[ F \sin (\beta - \alpha) = mg \cos \alpha \] |
| | | |
| | − | |
| | − | <li> |
| | − | <a href="../../#12">12.Электромагнитные волны</a> |
| | − | </li> |
| | + | Для составляющих этих сил, параллельных наклонной плоскости, можно записать |
| | + | \[ F \cos (\beta - \alpha) - mg \sin \alpha = ma \] |
| | | |
| | + | Из двух последних равенств найдем |
| | + | \[ \tan (\beta - \alpha) = \frac{g \cos \alpha}{g \sin \alpha + a} \] |
| | | |
| | − | |
| | − | <li> |
| | − | <a href="../../#13">13.Оптика</a> |
| | − | </li> |
| | + | откуда |
| | + | \[ \beta = \alpha + \arctan \frac{g \cos \alpha}{g \sin \alpha + a} \] |
| | | |
| | + | Величину $ a_0 $ можно найти из тех соображений, что при $ a = a_0 $ значение угла $ \beta $ из (4) и (5) совпадают: |
| | + | \[ \alpha + \arctan \frac{g \cos \alpha}{g \sin \alpha + a_0 } = \alpha + \arctan \mu \] |
| | | |
| | − | |
| | − | <li> |
| | − | <a href="../../#14">14.CTO</a> |
| | − | </li> |
| | − | |
| | − | </ul> |
| | − | </nav> |
| | − | </aside> |
| | − | <div id="main" class="col col-lg-9"> |
| | − | <div class="row"> |
| | − | <div class="col caption"> |
| | − | <h2> |
| | − | <a href="../">←Назад</a> |
| | − | </h2> |
| | − | </div> |
| | − | </div> |
| | + | откуда |
| | + | \[ a_0 = g \left( \frac{\cos \alpha}{\mu} - \sin \alpha \right) \] |
| | | |
| | + | Итак, при $ a \leq a_0 $ (следовательно, и при равномерном движении тоже) |
| | + | \[ \beta = \alpha + \arctan \mu \] |
| | | |
| | − | <div id="1" class="row odd"> |
| | + | При $ a > a_0 $ |
| | + | \[ \beta = \alpha + \arctan \frac{g \cos \alpha}{g \sin \alpha + a} \] |
| | | |
| | − | <div class="col col-lg-12"> |
| | − | <h3> |
| | − | Условие: |
| | − | </h3> |
| | − | <div class="task"> |
| | − | <p> |
| | − | \(2.1.26^{∗}.\) По деревянным сходням, образующим угол \(α\) с горизонтом, втаскивают за привязанную к нему веревку ящик. Коэффициент трения ящика о сходни \(µ\). Под каким углом к горизонту следует тянуть веревку, чтобы с наименьшим |
| | − | усилием втащить ящик? |
| | − | </p> |
| | − | <div class="StatementDiv"> |
| | − | <img class="Statement" src="statement.png"> |
| | − | </div> |
| | − | </div> |
| | − | <hr> |
| | − | <h3> |
| | − | Решение: |
| | − | </h3> |
| | − | <div class="video-container"> |
| | − | <iframe class="video" src="https://www.youtube.com/embed/Tw35KFitW-k" frameborder="0" allowfullscreen></iframe> |
| | − | </div> |
| | − | |
| | + | Мы решили задачу. Однако, приведем еще одно решение. Это - красивое геометрическое решение. |
| | | |
| | − | <div class="solutions"> |
| | − | <img class="ScreenS" src="00.png"> |
| | − | </div> |
| | + | При равномерном движении вдоль склонней сумма всех сил должна быть равна нулю. Заменим силы $ \vec{N} $ и $ \vec{F}_{тр} $ их равнодействующей $ \vec{Q} = \vec{N} + \vec{F}_{тр} $ (рис.) и будем складывать силы $ \vec{Q}, \vec{F} $ и $ m \vec{g} $. Они должны образовать замкнутый треугольник. |
| | | |
| | − | <div class="solutions"> |
| | − | <img class="ScreenS" src="01.png"> |
| | − | </div> |
| | + | Заменим, что направление силы $ \vec{Q} $ составляет с перпендикуляром к наклонной плоскости угол $ \delta $ такой, что |
| | + | \[ \tan \delta = \frac{F_{тр}}{N} = \frac{\mu N}{N} = \mu \] |
| | + | </p> |
| | | |
| | − | <div class="solutions"> |
| | − | <img class="ScreenS" src="02.png"> |
| | − | </div> |
| | + | <center> |
| | + | <figure> |
| | + | <img src="phys11917-1.png" |
| | + | loading="lazy" width="250" /> |
| | + | </figure> |
| | + | </center> |
| | + | <p> |
| | + | Таким образом, при изменении величины и направления силы $ \vec{F} $ направление силы $ \vec{Q} $ остается неизменным. Следовательно, абсолютная величина силы $ \vec{F} $ будет минимальна, если он перпендикулярен к вектору $ \vec{Q} $ (рис.). (так как величина и направление вектора $ m \vec{g} $ неизменны), то минимальная сила будет равна: |
| | | |
| | − | <div class="solutions"> |
| | − | <img class="ScreenS" src="03.png"> |
| | − | </div> |
| | + | \[ F_{\min} = mg \sin \alpha + mg \mu \cos \alpha = mg (\sin \alpha + \mu \cos \alpha) \] |
| | | |
| | − | <div class="solutions"> |
| | − | <img class="ScreenS" src="04.png"> |
| | − | </div> |
| | + | Таким образом, величина минимальной силы, необходимой для подъема ящика с ускорением $ a \leq a_0 $ равна |
| | + | \[ F_{\min} = mg (\sin \alpha + \mu \cos \alpha) \] |
| | | |
| | − | <h3> |
| | − | Ответ: \(β = α + arctg \, \mu \) |
| | − | <h3> |
| | − | </h3> |
| | − | </div> |
| | − | |
| | + | Если ускорение $ a > a_0 $, то для минимальной силы $ \vec{F} $, направленной под углом $ \beta $ к горизонтали, имеем: |
| | + | \[ \beta = \alpha + \arctan \frac{g \cos \alpha}{g \sin \alpha + a} \]</p> |
| | | </div> |
| | | |
| | + | <h3> |
| | + | Ответ: |
| | + | </h3> |
| | + | <p> |
| | + | $$β = α + \arctan \mu$$ |
| | + | </p> |
| | + | <p style="text-align: right; font-style: italic; font-size: 16;"><a href="https://earthz.ru/solves/Zadacha-po-fizike-11917">earthz.ru</a></p> |
| | | |
| | + | <h3> |
| | + | Альтернативное решение: |
| | + | </h3> |
| | + | <div class="video-container"> |
| | + | <iframe class="video" src="https://www.youtube.com/embed/Tw35KFitW-k" frameborder="0" allowfullscreen></iframe> |
| | + | </div> |
| | + | |
| | + | <footer class="row container"> |
| | + | <br> |
| | | |
| | + | <p> |
| | + | <small> © <strong>Решебник Савченко О.Я.</strong>, 2023-2024 <br></small> |
| | + | </p> |
| | + | <p> |
| | + | <small>Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> astrosander01@gmail.com <br></small> |
| | + | </p> |
| | + | </footer> |
| | + | </body> |
| | | |
| | − | </div> |
| | − | <a href="#" class="back-to-top affix"> |
| | − | ↑ наверх |
| | − | </a> |
| | − | </div> |
| | − | </div> <footer class="row container"> |
| | − | <div class="col col-lg-3"> |
| | − | <div class="footer-left"> |
| | − | <p> |
| | − | <small> |
| | − | © <strong>Решебник Савченко О.Я.</strong>, 2023-2024<br> |
| | − | </small> |
| | − | </p> |
| | − | </div> |
| | − | </div> |
| | − | <div class="col col-lg-6"> |
| | − | <div class="footer-middle"> |
| | − | <p> |
| | − | <small> |
| | − | Все права принадлежат авторам.<br> |
| | − | Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов.<br> |
| | − | astrosander01@gmail.com<br> |
| | − | <i>E = mc<sup>2</sup></i>. |
| | − | </small> |
| | − | </p> |
| | − | </div> |
| | − | </div> |
| | − | <div class="col col-lg-3"> |
| | − | <div class="footer-right"> |
| | − | <div class="pull-right"> |
| | − | </div> |
| | − | </div> |
| | − | </div> |
| | − | </footer> |
| | − | |
| | − | <script type="text/javascript" src="../../js/bootstrap-affix.js"></script> |
| | − | <script type="text/javascript"> |
| | − | $(function(){ |
| | − | setTimeout(function () { |
| | − | $('.back-to-top').affix(); |
| | − | }, 100); |
| | − | |
| | − | }); |
| | − | </script> |
| | − | |
| | − | |
| | − | </body> |
| | | </html> |
