Added 2.2.26-2.2.29,32-33,43,46-47;2.2.29(en)

astrosander edited
View solution History
revision #1747 GitHub e5744af newer →
ru/2.2.32.md +104 −0
@@ -0,0 +1,104 @@
+<!DOCTYPE html>
+<html lang="ru">
+
+<head>
+ <meta charset="utf-8">
+ <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0">
+ <meta http-equiv="content-language" content="ru">
+ <meta name="keywords" content="решение, савченко, оливер, яковлевич, о.я., сборник задач по физике, решебник">
+ <meta name="description" content="Решение задачника Савенко О.Я.">
+ <meta property="og:title" content="Решебник Савченко">
+ <meta property="og:image" content="img/logo.png">
+ <meta property="og:description" content="Сайт с решениями задач из сборника задач Савенко О.Я.">
+ <meta name="yandex-verification" content="6cfda41f74038368">
+ <title>Решебник Савченко</title>
+ <link rel="stylesheet" href="../../css/css-latex/style.css">
+ <link rel="icon" href="../../img/logo.png" type="image/png">
+ <script src="../../js/jquery-1.10.1.min.js"></script>
+ <script async src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.7/MathJax.js?config=TeX-MML-AM_CHTML"></script>
+ <script type="text/x-mathjax-config">
+ MathJax.Hub.Config({
+ extensions: ['tex2jax.js'],
+ jax: ['input/TeX', 'output/HTML-CSS'],
+ tex2jax: {
+ inlineMath: [['$', '$'], ['$', '$']],
+ processEscapes: true,
+ processClass: 'tex2jax',
+ ignoreClass: 'html'
+ },
+ showProcessingMessages: false,
+ messageStyle: 'none'
+ });
+ </script>
+</head>
+ <body style="">
+ <header style="text-align:center;">
+ <h2>Решение задач из Савченко О.Я.</h2>
+ <p class="author">
+ Aliaksandr Melnichenka <br/>
+ October 2023
+ </p>
+ </header>
+
+ <h3 id="back-link"><a href="../">$\leftarrow$Назад</a></h3>
+
+ <h3> Условие: </h3>
+
+ <p>
+ $2.2.32^*.$ В цилиндре под поршнем массы $M$ прыгают, упруго ударяясь о поршень и дно цилиндра, $N$ шариков массы $m$ каждый. Сила тяжести, действующая на поршень, уравновешена ударами шариков. Расстояние между дном цилиндра и поршнем равно $h$. Полная энергия каждого шарика одинакова. На какую высоту будут подскакивать шарики, если поршень быстро убрать? $N \gg 1$.
+ </p>
+ <center>
+ <figure>
+ <img src="statement.png"
+ loading="lazy" width="230" />
+ <figcaption>
+ К задаче 2.2.32
+ </figcaption>
+ </figure>
+ </center>
+
+ <h3> Решение: </h3>
+ <p style="font-style: italic;">
+ NO: Эта задача была в одном из туров отборочных испытаний в Национальную сборную Республики Беларусь на Международную Физическую Олимпиаду
+ </p>
+ <p>
+ Поршень не падает, потому что импульс, который передают ударяющиеся каждые $\Delta t$ секунд шарики, компенсирует силу тяжести, действующую на поршень
+ $$Mg = N \frac{dp}{dt} \quad\text{(1)}$$
+ Т.к. удар абсолютно упругий, скорость шарика по модулю при ударе сохраняется, а по направлению меняется на противоположную
+ $$dp = m(v - (-v)) = 2mv \quad\text{(2)}$$
+ Время между двумя последовательными соударениями одного шарика $\Delta t$ найдем из кинематических соображений
+ $$v_0t - \frac{gt^2}{2} = H \quad\text{(3)}$$
+ $$v_0 - gt = v \quad\text{(4)}$$
+ $$v= \sqrt{v_0^2 - 2gh} \quad\text{(5)}$$
+ Из $\text{(3)}$ выразим $t$
+ $$t = \frac{v_0 - \sqrt{v^2_0-2gh}}{g} \quad\text{(6)}$$
+ Перепишем $\text{(1)}$
+ $$Mg = N \frac{2m\sqrt{v_0^2 - 2gh}}{2\frac{v_0 - \sqrt{v^2_0-2gh}}{g}} \quad\text{(7)}$$
+ $$M(v_0 - \sqrt{v^2_0-2gh}) = N m\sqrt{v_0^2 - 2gh} \quad\text{(5)}$$
+ $$Mv_0 = (M+N m)\sqrt{v_0^2 - 2gh} \quad\text{(8)}$$
+ Возводим обе части в квадрат
+ $$M^2v_0^2 = (M+N m)^2(v_0^2 - 2gh) \quad\text{(9)}$$
+ Откуда находим скорость:
+ $$v_0 = \sqrt{2gh\frac{(M+Nm)^2}{Nm(Nm+2M)}} \quad\text{(10)}$$
+ Из закона сохранения энергии, шарик запущенный со скоростью $v_0$ с поверхности земли достигнет максиму своего полета на высоте
+ $$H=\frac{v_0^2}{2g} \quad\text{(11)}$$
+ $$\boxed{H=h\frac{(M+Nm)^2}{Nm(Nm+2M)}} \quad\text{(12)}$$
+
+ </p>
+ <h4>
+ Ответ:
+ </h4>
+ <p>$$H=h\frac{(M+Nm)^2}{Nm(Nm+2M)}$$</p>
+<br>
+
+ <footer class="row container">
+ <p>
+ <small> © <strong>Решебник Савченко О.Я.</strong>, 2023-2024 <br></small>
+ </p>
+ <p>
+ <small>Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> astrosander01@gmail.com <br></small>
+ </p>
+ </footer>
+ </body>
+
+</html>