Edit to “Решение”

Valter edited Aug 4, 2026, 6:28 PM

View solution History

revision #19842 parent #19836 ← older

ru/2.2.32.md +6 −6

			### Условие:

			$2.2.32^*.$ В цилиндре под поршнем массы $M$ прыгают, упруго ударяясь о поршень и дно цилиндра, $N$ шариков массы $m$ каждый. Сила тяжести, действующая на поршень, уравновешена ударами шариков. Расстояние между дном цилиндра и поршнем равно $h$. Полная энергия каждого шарика одинакова. На какую высоту будут подскакивать шарики, если поршень быстро убрать? $N \gg 1$.

			![ К задаче 2.2.32 \|386x266, 39%](../../img/2.2.32/statement.png)

			### Решение:

			NO: Эта задача была в одном из туров отборочных испытаний в Национальную сборную Республики Беларусь на Международную Физическую Олимпиаду

			Поршень не падает, потому что импульс, который передают ударяющиеся каждые $\Delta t$ секунд шарики, компенсирует силу тяжести, действующую на поршень

			$$
			Mg = N \frac{dp}{dt} \tag{1}
			$$

			Т.к. удар абсолютно упругий, скорость шарика по модулю при ударе сохраняется, а по направлению меняется на противоположную

			$$
			dp = m(v - (-v)) = 2mv \tag{2}
			$$

			Время между двумя последовательными соударениями одного шарика $\Delta t$ найдем из кинематических соображений

			$$
			v_0t - \frac{gt^2}{2} = H \tag{3}
			$$

			$$
			v_0 - gt = v \tag{4}
			$$

			$$
			v= \sqrt{v_0^2 - 2gh} \tag{5}
			$$

			Из $\text{(3)}$ выразим $t$

			$$
			t = \frac{v_0 - \sqrt{v^2_0-2gh}}{g} \tag{6}
			$$

			Найденное $t$ — это время полета только в одну сторону. Время между двумя последовательными ударами шарика о поршень равно $\Delta t = 2t$. Подставляя $\Delta p = 2mv$ и $\Delta t = 2t$ в уравнение (1), получаем:

			$$
			Mg = N \frac{2m\sqrt{v_0^2 - 2gh}}{2\frac{v_0 - \sqrt{v^2_0-2gh}}{g}} \tag{7}
		@@ -47,33 +47,33 @@Решение:
			$$

			$$
		−	M(v_0 - \sqrt{v^2_0-2gh}) = N m\sqrt{v_0^2 - 2gh} \tag{5}
		+	M(v_0 - \sqrt{v^2_0-2gh}) = N m\sqrt{v_0^2 - 2gh} \tag{8}
			$$

			$$
		−	Mv_0 = (M+N m)\sqrt{v_0^2 - 2gh} \tag{8}
		+	Mv_0 = (M+N m)\sqrt{v_0^2 - 2gh} \tag{9}
			$$

			Возводим обе части в квадрат

			$$
		−	M^2v_0^2 = (M+N m)^2(v_0^2 - 2gh) \tag{9}
		+	M^2v_0^2 = (M+N m)^2(v_0^2 - 2gh) \tag{10}
			$$

			Откуда находим скорость:

			$$
		−	v_0 = \sqrt{2gh\frac{(M+Nm)^2}{Nm(Nm+2M)}} \tag{10}
		+	v_0 = \sqrt{2gh\frac{(M+Nm)^2}{Nm(Nm+2M)}} \tag{11}
			$$

			Из закона сохранения энергии, шарик запущенный со скоростью $v_0$ с поверхности земли достигнет максиму своего полета на высоте

			$$
		−	H=\frac{v_0^2}{2g} \tag{11}
		+	H=\frac{v_0^2}{2g} \tag{12}
			$$

			$$
		−	\boxed{H=h\frac{(M+Nm)^2}{Nm(Nm+2M)}} \tag{12}
		+	\boxed{H=h\frac{(M+Nm)^2}{Nm(Nm+2M)}} \tag{13}
			$$

			#### Ответ:

			$$
			H=h\frac{(M+Nm)^2}{Nm(Nm+2M)}
			$$
		unchanged lines 4

	### Условие:		### Условие:

	$2.2.32^*.$ В цилиндре под поршнем массы $M$ прыгают, упруго ударяясь о поршень и дно цилиндра, $N$ шариков массы $m$ каждый. Сила тяжести, действующая на поршень, уравновешена ударами шариков. Расстояние между дном цилиндра и поршнем равно $h$. Полная энергия каждого шарика одинакова. На какую высоту будут подскакивать шарики, если поршень быстро убрать? $N \gg 1$.		$2.2.32^*.$ В цилиндре под поршнем массы $M$ прыгают, упруго ударяясь о поршень и дно цилиндра, $N$ шариков массы $m$ каждый. Сила тяжести, действующая на поршень, уравновешена ударами шариков. Расстояние между дном цилиндра и поршнем равно $h$. Полная энергия каждого шарика одинакова. На какую высоту будут подскакивать шарики, если поршень быстро убрать? $N \gg 1$.

	![ К задаче 2.2.32 \|386x266, 39%](../../img/2.2.32/statement.png)		![ К задаче 2.2.32 \|386x266, 39%](../../img/2.2.32/statement.png)

	### Решение:		### Решение:

	NO: Эта задача была в одном из туров отборочных испытаний в Национальную сборную Республики Беларусь на Международную Физическую Олимпиаду		NO: Эта задача была в одном из туров отборочных испытаний в Национальную сборную Республики Беларусь на Международную Физическую Олимпиаду

	Поршень не падает, потому что импульс, который передают ударяющиеся каждые $\Delta t$ секунд шарики, компенсирует силу тяжести, действующую на поршень		Поршень не падает, потому что импульс, который передают ударяющиеся каждые $\Delta t$ секунд шарики, компенсирует силу тяжести, действующую на поршень

	$$		$$
	Mg = N \frac{dp}{dt} \tag{1}		Mg = N \frac{dp}{dt} \tag{1}
	$$		$$

	Т.к. удар абсолютно упругий, скорость шарика по модулю при ударе сохраняется, а по направлению меняется на противоположную		Т.к. удар абсолютно упругий, скорость шарика по модулю при ударе сохраняется, а по направлению меняется на противоположную

	$$		$$
	dp = m(v - (-v)) = 2mv \tag{2}		dp = m(v - (-v)) = 2mv \tag{2}
	$$		$$

	Время между двумя последовательными соударениями одного шарика $\Delta t$ найдем из кинематических соображений		Время между двумя последовательными соударениями одного шарика $\Delta t$ найдем из кинематических соображений

	$$		$$
	v_0t - \frac{gt^2}{2} = H \tag{3}		v_0t - \frac{gt^2}{2} = H \tag{3}
	$$		$$

	$$		$$
	v_0 - gt = v \tag{4}		v_0 - gt = v \tag{4}
	$$		$$

	$$		$$
	v= \sqrt{v_0^2 - 2gh} \tag{5}		v= \sqrt{v_0^2 - 2gh} \tag{5}
	$$		$$

	Из $\text{(3)}$ выразим $t$		Из $\text{(3)}$ выразим $t$

	$$		$$
	t = \frac{v_0 - \sqrt{v^2_0-2gh}}{g} \tag{6}		t = \frac{v_0 - \sqrt{v^2_0-2gh}}{g} \tag{6}
	$$		$$

	Найденное $t$ — это время полета только в одну сторону. Время между двумя последовательными ударами шарика о поршень равно $\Delta t = 2t$. Подставляя $\Delta p = 2mv$ и $\Delta t = 2t$ в уравнение (1), получаем:		Найденное $t$ — это время полета только в одну сторону. Время между двумя последовательными ударами шарика о поршень равно $\Delta t = 2t$. Подставляя $\Delta p = 2mv$ и $\Delta t = 2t$ в уравнение (1), получаем:

	$$		$$
	Mg = N \frac{2m\sqrt{v_0^2 - 2gh}}{2\frac{v_0 - \sqrt{v^2_0-2gh}}{g}} \tag{7}		Mg = N \frac{2m\sqrt{v_0^2 - 2gh}}{2\frac{v_0 - \sqrt{v^2_0-2gh}}{g}} \tag{7}
	@@ -47,33 +47,33 @@Решение:
	$$		$$

	$$		$$
	M(v_0 - \sqrt{v^2_0-2gh}) = N m\sqrt{v_0^2 - 2gh} \tag{5}		M(v_0 - \sqrt{v^2_0-2gh}) = N m\sqrt{v_0^2 - 2gh} \tag{8}
	$$		$$

	$$		$$
	Mv_0 = (M+N m)\sqrt{v_0^2 - 2gh} \tag{8}		Mv_0 = (M+N m)\sqrt{v_0^2 - 2gh} \tag{9}
	$$		$$

	Возводим обе части в квадрат		Возводим обе части в квадрат

	$$		$$
	M^2v_0^2 = (M+N m)^2(v_0^2 - 2gh) \tag{9}		M^2v_0^2 = (M+N m)^2(v_0^2 - 2gh) \tag{10}
	$$		$$

	Откуда находим скорость:		Откуда находим скорость:

	$$		$$
	v_0 = \sqrt{2gh\frac{(M+Nm)^2}{Nm(Nm+2M)}} \tag{10}		v_0 = \sqrt{2gh\frac{(M+Nm)^2}{Nm(Nm+2M)}} \tag{11}
	$$		$$

	Из закона сохранения энергии, шарик запущенный со скоростью $v_0$ с поверхности земли достигнет максиму своего полета на высоте		Из закона сохранения энергии, шарик запущенный со скоростью $v_0$ с поверхности земли достигнет максиму своего полета на высоте

	$$		$$
	H=\frac{v_0^2}{2g} \tag{11}		H=\frac{v_0^2}{2g} \tag{12}
	$$		$$

	$$		$$
	\boxed{H=h\frac{(M+Nm)^2}{Nm(Nm+2M)}} \tag{12}		\boxed{H=h\frac{(M+Nm)^2}{Nm(Nm+2M)}} \tag{13}
	$$		$$

	#### Ответ:		#### Ответ:

	$$		$$
	H=h\frac{(M+Nm)^2}{Nm(Nm+2M)}		H=h\frac{(M+Nm)^2}{Nm(Nm+2M)}
	$$		$$
	unchanged lines 4