Added 2.2.26-2.2.29,32-33,43,46-47;2.2.29(en)

astrosander edited
View solution History
revision #1752 GitHub e5744af newer →
ru/2.2.29.md +150 −0
@@ -0,0 +1,150 @@
+<!DOCTYPE html>
+<html lang="ru">
+
+<head>
+ <meta charset="utf-8">
+ <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0">
+ <meta http-equiv="content-language" content="ru">
+ <meta name="keywords" content="решение, савченко, оливер, яковлевич, о.я., сборник задач по физике, решебник">
+ <meta name="description" content="Решение задачника Савенко О.Я.">
+ <meta property="og:title" content="Решебник Савченко">
+ <meta property="og:image" content="img/logo.png">
+ <meta property="og:description" content="Сайт с решениями задач из сборника задач Савенко О.Я.">
+ <meta name="yandex-verification" content="6cfda41f74038368">
+ <title>Решебник Савченко</title>
+ <link rel="stylesheet" href="../../css/css-latex/style.css">
+ <link rel="icon" href="../../img/logo.png" type="image/png">
+ <script src="../../js/jquery-1.10.1.min.js"></script>
+ <script async src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.7/MathJax.js?config=TeX-MML-AM_CHTML"></script>
+ <script type="text/x-mathjax-config">
+ MathJax.Hub.Config({
+ extensions: ['tex2jax.js'],
+ jax: ['input/TeX', 'output/HTML-CSS'],
+ tex2jax: {
+ inlineMath: [['$', '$'], ['$', '$']],
+ processEscapes: true,
+ processClass: 'tex2jax',
+ ignoreClass: 'html'
+ },
+ showProcessingMessages: false,
+ messageStyle: 'none'
+ });
+ </script>
+</head>
+ <body style="">
+ <header style="text-align:center;">
+ <h2>Решение задач из Савченко О.Я.</h2>
+ <p class="author">
+ Aliaksandr Melnichenka <br/>
+ October 2023
+ </p>
+ </header>
+
+ <h3 id="back-link"><a href="../">$\leftarrow$Назад</a></h3>
+
+ <h3> Условие: </h3>
+
+ <p>
+ $2.2.29^*.$ Обезьяна массы $m$ уравновешена противовесом на блоке $A$. Блок $A$ уравновешен грузом массы $2m$ на блоке $B$. Система неподвижна. Как будет двигаться груз, если обезьяна начнет равномерно выбирать веревку со скоростью $u$ относительно себя? Массой блоков и трением пренебречь.
+ </p>
+ <center>
+ <figure>
+ <img src="statement.png"
+ loading="lazy" width="120" />
+ <figcaption>
+ К задаче 2.2.29
+ </figcaption>
+ </figure>
+ </center>
+
+ <h3> Решение: </h3>
+ <p>
+ Второй закон Ньютона для оси y:
+ $$
+ \begin{cases}
+ 2T - 2mg = 2ma_{1y} \\
+ T - mg = ma_{2y} \\
+ T - mg = ma_{3y}
+ \end{cases}
+ $$
+ Из этих трех уравнений следует, что:
+ $$
+ a_1 = a_{2y} = a_{3y}$$
+ $$\quad \int_0^{v_{1y}} dv_{1y} = \int_0^{v_{2y}} dv_{2y} = \int_0^{v_{3y}} dv_{3y}$$
+ $$v_{1y} = v_{2y} = v_{3y}
+ $$
+ Длины двух веревок:
+ $$
+ \begin{cases}
+ L_1 = 2y_b - y_1 - y_a \\
+ L_2 = 2y_A - y_2 - y_k
+ \end{cases}
+ $$
+ Взяв производную от длины каната по времени, мы получим эти зависимости:
+ $$
+ \begin{cases}
+ 0 = 2v_{by} - v_{1y} - v_{Ay} \\
+ 0 = 2v_{Ay} - v_{2y} - v_{ky}
+ \end{cases}
+ $$
+ Из формулы сложения скоростей:
+ $$
+ \vec{v} = \vec{v}^\prime + \vec{u}$$
+ Из условия задачи
+ $$v_{ky} = v_{3y} + u_y$$
+ </p>
+ <p>
+ В конечном счете:
+ $$
+ v_{1y} = -v_Ay \quad (v_{by} = 0)$$
+ $$
+ 2v_{1y} + v_{2y} + v_{ky} = 0$$
+ $$
+ 2v_{1y} + v_{2y} + v_{3y} + u_y = 0
+ $$
+ $$
+ 4v_{1y} = -u_y$$
+ $$
+ v_{1y} = -\frac{u_y}{4}
+ $$
+ </p>
+ <h4>
+ Ответ:
+ </h4>
+ <p>Со скоростью $u/4$ вверх</p>
+ <h3> Альтернавное решение: </h3>
+ <p>
+ Решение через импульс.
+</p>
+<p>
+ Сначала разбираемся со скоростью обезьяны относительно блока $ A $: т.к. массы одинаковы, то из симметрии следует, что скорости груза $ m $ и обезьяны равны, т.е. они равны $ v/2 $. На самом деле это верно только в том случае, если обезьяна начала ползти из положения равновесия, что, видимо, подразумевается в задаче.
+</p>
+
+<p>
+ Пусть теперь скорость груза $ 2m $ равна $ v $ и направлена вверх. Тогда скорость точки $ A $ относительно потолка равна $ v $ и направлена вниз, и скорости обезьяны и груза $ m $ относительно потолка равны $ v/2 - v $. Т.к. силы, действующие на блок $ A $ и груз $ 2m $ одинаковы, то и изменение импульса с двух сторон блока в одно и то же, следовательно
+ $$ 2m \cdot v = 2 \left[ \frac{m(v/2 - v)}{2} \right], $$
+ откуда получаем $ v = \frac{4}{3} g $.
+</p>
+
+<p>
+ Вторую часть задачи можно провести по-другому. Заметим, что центр масс системы "обезьяна-блок A-груз 2m" движется вверх со скоростью $ v/2 $. Фактически, заменив эту систему воображаемой обезьяной массы $ 2m $, ползущей вверх со скоростью $ v/2 $ мы сведём задачу к первой части. Из этого, повторяя рассуждения о симметрии, получим сразу ответ $ v = \frac{4}{3} g $.
+</p>
+ <h3> Альтернавное решение: </h3>
+
+ <div class="video-container">
+ <iframe class="video" src="https://www.youtube.com/embed/BuEBU8T4LE8" frameborder="0" allowfullscreen></iframe>
+ </div>
+
+<br>
+
+ <footer class="row container">
+ <p>
+ <small> © <strong>Решебник Савченко О.Я.</strong>, 2023-2024 <br></small>
+ </p>
+ <p>
+ <small>Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> astrosander01@gmail.com <br></small>
+ </p>
+ </footer>
+ </body>
+
+</html>