Edits to “Условие”, “Решение”, “Литература”

igor edited
View solution History
revision #17728 parent #17726 ← older newer →
ru/2.8.31.md +58 −3
@@ -1,11 +1,66 @@
### Условие
−$2.8.31.$ [Вставьте условие задачи]
+$2.8.31^*.$ На парту с углом наклона $\alpha > 30^\circ$ кладут шестигранный карандаш так, чтобы он не скатывался вниз и не скользил. При каком наименьшем угле между карандашом и горизонтальным краем парты это возможно?
+
### Решение
−11
+Отсутствие скольжения выполняется при
+$$
+\mu\geqslant\operatorname{tg}\alpha
+$$
+
+(см. задачу [$2.1.20$](/ru/11.5.18)).
+
+Условие отсутствия перекатывания запишем в терминах моментов сил. Разложим силу тяжести на составляющую, действующую перпендикулярно плоскости:
+
+$$
+mg\cos\alpha
+$$
+
+и составляющую, действующую вдоль плоскости:
+
+$$
+mg\sin\alpha.
+$$
+
+Они изображены на рисунке.
+
+![|1688x584, 100%](../../img/2.8.31/Снимок экрана 2026-03-23 102038.png)
+
+Установим карандаш под углом $\varphi$ к горизонтальному краю парты. Вынуждает выйти из равновесия сила $mg\sin\alpha\cos\varphi$, возвращает в равновесие сила $mg\cos\alpha$.
+
+Правило моментов для отсутствия перекатывания относительно ребра:
+
+$$
+mg\sin\alpha\cos\varphi\cdot a\cos(\pi/6)\leqslant mg\cos\alpha\cdot a\sin(\pi/6),
+$$
+
+где $a$ есть сторона карандаша в поперечном сечении.
+
+Откуда
+
+$$
+\cos\varphi\leqslant\frac{\operatorname{ctg}\alpha}{\sqrt3}.
+$$
+
+Минимальный угол достигается при
+
+$$
+\cos\varphi_\text{min}=\frac{\operatorname{ctg}\alpha}{\sqrt3}.
+$$
+
+
+#### Литература
+
+[1] А. И. Черноуцан. Задачи на уравнение моментов сил. «Квант», 2010, №4.
+
+
#### Ответ
−[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]
+$$
+\cos\varphi_\text{min}=\frac{\operatorname{ctg}\alpha}{\sqrt3},
+$$
+
+считаем $\mu\geqslant\operatorname{tg}\alpha$.