Edit to “Решение”
ru/2.8.31.md
+1 −1
| ### Условие | |||
| $2.8.31^*.$ На парту с углом наклона $\alpha > 30^\circ$ кладут шестигранный карандаш так, чтобы он не скатывался вниз и не скользил. При каком наименьшем угле между карандашом и горизонтальным краем парты это возможно? | |||
| ### Решение | |||
| Отсутствие скольжения выполняется при | |||
| $$ | |||
| @@ -11,7 +11,7 @@Решение | |||
| \mu\geqslant\operatorname{tg}\alpha | |||
| $$ | |||
| − | (см. задачу [$2.1.20$](/ru/ | ||
| + | (см. задачу [$2.1.20$](/ru/2.1.20)). | ||
| Условие отсутствия перекатывания запишем в терминах моментов сил. Разложим силу тяжести на составляющую, действующую перпендикулярно плоскости: | |||
| $$ | |||
| mg\cos\alpha | |||
| $$ | |||
| и составляющую, действующую вдоль плоскости: | |||
| $$ | |||
| mg\sin\alpha. | |||
| $$ | |||
| Они изображены на рисунке. | |||
|  | |||
| Установим карандаш под углом $\varphi$ к горизонтальному краю парты. Вынуждает выйти из равновесия сила $mg\sin\alpha\cos\varphi$, возвращает в равновесие сила $mg\cos\alpha$. | |||
| Правило моментов для отсутствия перекатывания относительно ребра: | |||
| $$ | |||
| mg\sin\alpha\cos\varphi\cdot a\cos(\pi/6)\leqslant mg\cos\alpha\cdot a\sin(\pi/6), | |||
| $$ | |||
| где $a$ есть сторона карандаша в поперечном сечении. | |||
| Откуда | |||
| $$ | |||
| \cos\varphi\leqslant\frac{\operatorname{ctg}\alpha}{\sqrt3}. | |||
| $$ | |||
| Минимальный угол достигается при | |||
| $$ | |||
| \cos\varphi_\text{min}=\frac{\operatorname{ctg}\alpha}{\sqrt3}. | |||
| $$ | |||
| Заметим, по условию $\operatorname{ctg}\alpha/\sqrt3<1$, поэтому $\varphi>0$. | |||
| #### Литература | |||
| [1] А. И. Черноуцан. Задачи на уравнение моментов сил. «Квант», 2010, №4. | |||
| #### Ответ | |||
| $$ | |||
| \cos\varphi_\text{min}=\frac{\operatorname{ctg}\alpha}{\sqrt3}, | |||
| $$ | |||
| считаем $\mu\geqslant\operatorname{tg}\alpha$. | |||
| unchanged lines 50 | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $2.8.31^*.$ На парту с углом наклона $\alpha > 30^\circ$ кладут шестигранный карандаш так, чтобы он не скатывался вниз и не скользил. При каком наименьшем угле между карандашом и горизонтальным краем парты это возможно? | $2.8.31^*.$ На парту с углом наклона $\alpha > 30^\circ$ кладут шестигранный карандаш так, чтобы он не скатывался вниз и не скользил. При каком наименьшем угле между карандашом и горизонтальным краем парты это возможно? | ||
| ### Решение | ### Решение | ||
| Отсутствие скольжения выполняется при | Отсутствие скольжения выполняется при | ||
| $$ | $$ | ||
| @@ -11,7 +11,7 @@Решение | |||
| \mu\geqslant\operatorname{tg}\alpha | \mu\geqslant\operatorname{tg}\alpha | ||
| $$ | $$ | ||
| (см. задачу [$2.1.20$](/ru/ |
(см. задачу [$2.1.20$](/ru/2.1.20)). | ||
| Условие отсутствия перекатывания запишем в терминах моментов сил. Разложим силу тяжести на составляющую, действующую перпендикулярно плоскости: | Условие отсутствия перекатывания запишем в терминах моментов сил. Разложим силу тяжести на составляющую, действующую перпендикулярно плоскости: | ||
| $$ | $$ | ||
| mg\cos\alpha | mg\cos\alpha | ||
| $$ | $$ | ||
| и составляющую, действующую вдоль плоскости: | и составляющую, действующую вдоль плоскости: | ||
| $$ | $$ | ||
| mg\sin\alpha. | mg\sin\alpha. | ||
| $$ | $$ | ||
| Они изображены на рисунке. | Они изображены на рисунке. | ||
|  |  | ||
| Установим карандаш под углом $\varphi$ к горизонтальному краю парты. Вынуждает выйти из равновесия сила $mg\sin\alpha\cos\varphi$, возвращает в равновесие сила $mg\cos\alpha$. | Установим карандаш под углом $\varphi$ к горизонтальному краю парты. Вынуждает выйти из равновесия сила $mg\sin\alpha\cos\varphi$, возвращает в равновесие сила $mg\cos\alpha$. | ||
| Правило моментов для отсутствия перекатывания относительно ребра: | Правило моментов для отсутствия перекатывания относительно ребра: | ||
| $$ | $$ | ||
| mg\sin\alpha\cos\varphi\cdot a\cos(\pi/6)\leqslant mg\cos\alpha\cdot a\sin(\pi/6), | mg\sin\alpha\cos\varphi\cdot a\cos(\pi/6)\leqslant mg\cos\alpha\cdot a\sin(\pi/6), | ||
| $$ | $$ | ||
| где $a$ есть сторона карандаша в поперечном сечении. | где $a$ есть сторона карандаша в поперечном сечении. | ||
| Откуда | Откуда | ||
| $$ | $$ | ||
| \cos\varphi\leqslant\frac{\operatorname{ctg}\alpha}{\sqrt3}. | \cos\varphi\leqslant\frac{\operatorname{ctg}\alpha}{\sqrt3}. | ||
| $$ | $$ | ||
| Минимальный угол достигается при | Минимальный угол достигается при | ||
| $$ | $$ | ||
| \cos\varphi_\text{min}=\frac{\operatorname{ctg}\alpha}{\sqrt3}. | \cos\varphi_\text{min}=\frac{\operatorname{ctg}\alpha}{\sqrt3}. | ||
| $$ | $$ | ||
| Заметим, по условию $\operatorname{ctg}\alpha/\sqrt3<1$, поэтому $\varphi>0$. | Заметим, по условию $\operatorname{ctg}\alpha/\sqrt3<1$, поэтому $\varphi>0$. | ||
| #### Литература | #### Литература | ||
| [1] А. И. Черноуцан. Задачи на уравнение моментов сил. «Квант», 2010, №4. | [1] А. И. Черноуцан. Задачи на уравнение моментов сил. «Квант», 2010, №4. | ||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| $$ | $$ | ||
| \cos\varphi_\text{min}=\frac{\operatorname{ctg}\alpha}{\sqrt3}, | \cos\varphi_\text{min}=\frac{\operatorname{ctg}\alpha}{\sqrt3}, | ||
| $$ | $$ | ||
| считаем $\mu\geqslant\operatorname{tg}\alpha$. | считаем $\mu\geqslant\operatorname{tg}\alpha$. | ||
| unchanged lines 50 | |||