Решение

а) Воспользуемся формулой для траектории полета, полученной в 1.3.6:

$$y(x) = x \tan\varphi-\frac{gx^2}{2v^2\cos^2 \varphi}\tag{1}$$

Воспользуемся подсказкой,

$$y(x) = x \tan\varphi-\frac{gx^2}{2v^2}(1+\tan^2 \varphi)\tag{2}$$

Откуда выражаем угол $\varphi$:

$$\tan\varphi=\frac{v^2\pm\sqrt{v^4-2gv^2y-g^2x^2}}{gx}\tag{3}$$

б) Изобразим множество траекторий, меняя угол $\varphi$ от $-\frac{\pi}{2}$ до $\frac{\pi}{2}$:

Видим, что все эти траектории имеют общую огибающую, за которую снаряд при данной скорости не может вылететь ни при каком угле. И эта огибающая подозрительно напоминает параболу... Попробуем найти ее уравнение

Проанализировав область определения функции $(2)$, заметим, что подкоренное выражение не отрицательное

$$v^4-2gv^2y-g^2x^2 \geq 0 \tag{4}$$
Другими словами, $(4)$ - это условие, при котором существует угол, направив пушку под которым, можно попасть в точку $(x, y)$. Либо это условие наличия корней $(2)$. Перепишем это:

$$y \leq \frac{v^2}{2g}-\frac{gx^2}{2v^2}\tag{5}$$

Уравнение
$$y = \frac{v^2}{2g}-\frac{gx^2}{2v^2}$$
называют "параболой безопасности", оно описывает зону досягаемости орудия

в)
Теперь мы сначала найдем зависимость необходимой для поражения цели скорости от угла выстрела, а потом - минимум этой функции.
Перепишем (1) в немного другом виде, домножив на $v^2\cos^2 \varphi$:

$$y v^2\cos^2 \varphi = x v^2 \sin\varphi\cos \varphi-\frac{gx^2}{2}$$

$$v^2 (\varphi)=\frac{gx^2}{2(x\sin\varphi\cos \varphi-y \cos^2 \varphi)}\tag{6}$$

В числителе константа, поэтому максимум знаменателя соответсвует минимуму функции (6). Ищем максимальное значение

$$x\sin\varphi\cos \varphi-y \cos^2 \varphi=\frac{1}{2}\left(x\sin2\varphi- y\cos2\varphi -y \right)$$
Задача сводится к нахождению максимального значения $x\sin2\varphi- y\cos2\varphi$. такое можно решать с помощью производной, но покажем для разнообразия тригонометрический метод (вспомогательного угла):
$$x \sin 2\varphi - y \cos 2\varphi = \sqrt{x^2+y^2} \left( \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\sin 2\varphi - \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\cos 2\varphi \right) = \sqrt{x^2+y^2} \sin(2\varphi - \alpha) \le \sqrt{x^2+y^2}$$

Подставляя все вместе:
$$v^{2}_{min}=\frac{\frac{1}{2}gx^2}{\frac{1}{2}(\sqrt{x^2+y^2}-y)}=\frac{gx(\sqrt{x^2+y^2}+y)}{x^2+y^2-y^2}$$
$$\fbox{$v_{min}=\sqrt{g(y+\sqrt{x^2+y^2})}$}$$