Решение

а) Воспользуемся формулой для траектории полета, полученной в 1.3.6:

$$y(x) = x \tan\varphi-\frac{gx^2}{2v^2\cos^2 \varphi}$$

Воспользуемся подсказкой,

$$y(x) = x \tan\varphi-\frac{gx^2}{2v^2}(1+\tan^2 \varphi)\quad(1)$$

Откуда выражаем угол $\varphi$:

$$\tan\varphi=\frac{v^2\pm\sqrt{v^4-2gv^2y-g^2x^2}}{gx}$$

б) Изобразим множество траекторий, меняя угол $\varphi$ от $-\frac{\pi}{2}$ до $\frac{\pi}{2}$:

Проанализировав область определения функции $(1)$, подчеркнем, что подкоренное выражение не отрицательное

$$v^4-2gv^2y-g^2x^2 \geq 0$$

$$y \leq \frac{v^2}{2g}-\frac{gx^2}{2v^2}$$

в) Из $(1)$, получаем:

$$v_{x}v_{y}x-\frac{1}{2}gx^{2}=v_{x}^{2}y$$

Воспользуемся формулой для горизонтальной и вертикальной координат, полученной в 1.3.6:

$$y(t) = vt \cdot \sin{\varphi} - \frac{gt^2}{2}$$

$$x(t) = vt \cdot \cos{\varphi}$$

Пусть $\xi =\cos{\varphi}$,

$$v_y = v \xi$$

$$v_x = v \sqrt{1-\xi^2}$$

Получаем функцию

$$v(\xi )=\frac{\sqrt{g}x}{\sqrt{2 \xi\sqrt{1-\xi^{2}}x-\xi^{2}y}} \quad(2)$$

Максимум подкоренного значения соответсвует минимуму функции (2)

$$(\sqrt{x^{2}+y^{2}-y})/2 \rightarrow \max$$

Минимум функции $(2)$

$$\fbox{$v^{2}=\frac{gx}{\sqrt{1+(\frac{y}{x})^{2}}-\frac{y}{x}}$}$$