$3.3.35.$ Поверхность тел, колеблющихся с ультразвуковой частотой, кажется скользкой на ощупь, а предметы, помещенные на эту поверхность, «плывут» по ней от малейшего приложенного к ним усилия. Объясните это.
### Решение
Пусть имеется горизонтальная поверхность с коэффициентом трения скольжения $\mu$, которая колеблется вдоль прямой, проходящей через нее, с большой частотой $\omega$. Указанную прямую назовем $y$, прямую, перпендикулярную ей и лежащую на поверхности, назовем $x$.
Далее, на поверхности в соприкосновении оказывается тело, движущееся в плоскости, параллельной колеблющейся поверхности. Обозначим скорость тела $\vec V$; проекции этой скорости на оси $x,y$ равны $V_x,V_y$ соответственно.
Кроме того, действие на тело усилия моделируется внешней силой $\vec F$, лежащей в плоскости, параллельной колеблющейся поверхности. Ее проекции на оси $x,y$ равны $F_x,F_y$.
Скорость колеблющейся плоскости $\vec v$. Ее проекция на ось $y$ меняется по закону
$$
v_y=v_0\sin(\omega t),
$$
где $v_0$ есть амплитуда скорости, разумеется ($v_x=0$).
Рассмотрим случай
$$
V\ll v_0,\quad V_x\sim V_y,\quad F_x\sim F_y.
$$
#### Движение вдоль оси колебаний
Изобразим качественный рисунок для определения силы трения скольжения $\vec f$, действующей на тело в плоскости его движения. Начнем с момента времени $t=0$.
Сила $\vec f$, как можно показать, направлена вдоль скорости $\vec v-\vec V$ (это скорость плоскости относительно тела!).
Рассмотрим приближение постоянной скорости тела в течение одного периода $T$ колебаний плоскости — то есть будем интересовать законом движения тела в элементах времени, равных $T$. Сам закон движения будем выводить из уравнения изменения импульса тела за время $T$ [1,2].
В пределах одного периода начиная с момента $t=0$ сила $\vec f$ будет меняться по направлению. Можно убедиться, что проекция этой силы на ось $y$ будет равна
При условии $V\ll v_0$ зависимость $|f_y|(t)$ достаточно прямоугольная и, конечно, периодическая. Вот пример для $V_x=V_y=0.03v_0$ (Asymptote-графика).
+
При условии $V\ll v_0$ зависимость $|f_y|(t)$ достаточно прямоугольная и, конечно, периодическая. Вот пример для $V_x=V_y=0.03v_0$ (Asymptote графика).
Величина $|f_y|$ очень быстро устанавливается на значении $\mu mg$, есть только кратковременные острые снижения до нуля. Случай $V_x\neq V_y$ не отличается принципиально. Красным цветом обозначено, когда проекция $f_y>0$, синим — когда $f_y<0$.
Теперь не будет большой ошибкой записать уравнение изменения импульса по оси $y$ за время $T$:
при рассмотрении $T\equiv dt$ для наблюдателя, не замечающего, что происходит со скоростью тела в течении периода $T$.
Величина $4\mu mg\dfrac{V_y}{v_0\omega}$ эквивалентна силе сопротивления, зависящей от скорости $V_y$. Итак, для указанного наблюдателя по оси $y$ скорость меняется так, как будто вдоль этого направления телу препятствует сила вязкого трения (как по воде).
#### Движение перпендикулярно оси колебаний
Учитывая предыдущее, проекция силы трения на ось $x$:
Величина $|f_x|$ за период $T$ практически постоянно держится на уровне малом по сравнению с $\mu mg$. Лишь два раза за это время она испытывает кратковременные скачки до значения $\mu mg$. Случай $V_x\neq V_y$ не отличается принципиально.
@@ -114,29 +114,32 @@Движение перпендикулярно оси колебаний
Уравнение изменения импульса за время $T$ по оси $x$ можно записать так:
$$
−
F_xT+\Delta p_x=m\Delta V_x,
+
F_xT+\Delta p_x=m\Delta V_x,\tag{2}
$$
−
где $\Delta p_x$ есть импульс проекции силы $f_x$ за время $T$, равный площади под графиком на рисунке зависимости $|f_x|(t)$ на интервале $T$.
+
где $\Delta p_x$ есть импульс проекции силы $f_x$ за время $T$, равный отрицательной площади под графиком на рисунке зависимости $|f_x|(t)$ на интервале $T$.
−
Оценивая график указанной зависимостию, говорим: практически $\Delta p_x\ll\mu mgT$. Можно представить, что $\Delta p_x$ набирается некоторой эквивалентной постоянной проекцией силы трения на ось $x$, обозначим ее $\tilde f_x$, так что
+
Оценивая график указанной зависимости, говорим: практически $\Delta p_x\ll\mu mgT$. Можно представить, что $\Delta p_x$ набирается некоторой эквивалентной постоянной проекцией силы трения на ось $x$, обозначим ее $\tilde f_x$, так что
$$
−
\Delta p_x=\tilde f_xT
+
\Delta p_x=\tilde f_xT,
$$
−
и для этой силы ввести
+
и для этой силы ввести эквивалентный коэффициент трения $\tilde\mu$ такой, что
+
$$
+
\Delta p_x=-\tilde\mu mgT.
+
$$
+
Тогда из вышесказанного $\tilde\mu\ll\mu$. Для наблюдателя, не замечающего, что происходит со скоростью тела в течении периода $T\equiv dt$, формула $(2)$ переходит во второй закон Ньютона:
+
$$
+
F_x-\tilde\mu mg=m\frac{dV_x}{dt},
+
$$
−
−
−
−
−
[продолжение следует...]
+
где $\tilde\mu mg$ есть эквивалент силы трения с малым коэффициентом трения. Движение по оси $x$ для указанного наблюдателя происходит с малым трением.
#### Ответ
[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]
### Условие
### Условие
$3.3.35.$ Поверхность тел, колеблющихся с ультразвуковой частотой, кажется скользкой на ощупь, а предметы, помещенные на эту поверхность, «плывут» по ней от малейшего приложенного к ним усилия. Объясните это.
$3.3.35.$ Поверхность тел, колеблющихся с ультразвуковой частотой, кажется скользкой на ощупь, а предметы, помещенные на эту поверхность, «плывут» по ней от малейшего приложенного к ним усилия. Объясните это.
### Решение
### Решение
Пусть имеется горизонтальная поверхность с коэффициентом трения скольжения $\mu$, которая колеблется вдоль прямой, проходящей через нее, с большой частотой $\omega$. Указанную прямую назовем $y$, прямую, перпендикулярную ей и лежащую на поверхности, назовем $x$.
Пусть имеется горизонтальная поверхность с коэффициентом трения скольжения $\mu$, которая колеблется вдоль прямой, проходящей через нее, с большой частотой $\omega$. Указанную прямую назовем $y$, прямую, перпендикулярную ей и лежащую на поверхности, назовем $x$.
Далее, на поверхности в соприкосновении оказывается тело, движущееся в плоскости, параллельной колеблющейся поверхности. Обозначим скорость тела $\vec V$; проекции этой скорости на оси $x,y$ равны $V_x,V_y$ соответственно.
Далее, на поверхности в соприкосновении оказывается тело, движущееся в плоскости, параллельной колеблющейся поверхности. Обозначим скорость тела $\vec V$; проекции этой скорости на оси $x,y$ равны $V_x,V_y$ соответственно.
Кроме того, действие на тело усилия моделируется внешней силой $\vec F$, лежащей в плоскости, параллельной колеблющейся поверхности. Ее проекции на оси $x,y$ равны $F_x,F_y$.
Кроме того, действие на тело усилия моделируется внешней силой $\vec F$, лежащей в плоскости, параллельной колеблющейся поверхности. Ее проекции на оси $x,y$ равны $F_x,F_y$.
Скорость колеблющейся плоскости $\vec v$. Ее проекция на ось $y$ меняется по закону
Скорость колеблющейся плоскости $\vec v$. Ее проекция на ось $y$ меняется по закону
$$
$$
v_y=v_0\sin(\omega t),
v_y=v_0\sin(\omega t),
$$
$$
где $v_0$ есть амплитуда скорости, разумеется ($v_x=0$).
где $v_0$ есть амплитуда скорости, разумеется ($v_x=0$).
Рассмотрим случай
Рассмотрим случай
$$
$$
V\ll v_0,\quad V_x\sim V_y,\quad F_x\sim F_y.
V\ll v_0,\quad V_x\sim V_y,\quad F_x\sim F_y.
$$
$$
#### Движение вдоль оси колебаний
#### Движение вдоль оси колебаний
Изобразим качественный рисунок для определения силы трения скольжения $\vec f$, действующей на тело в плоскости его движения. Начнем с момента времени $t=0$.
Изобразим качественный рисунок для определения силы трения скольжения $\vec f$, действующей на тело в плоскости его движения. Начнем с момента времени $t=0$.
Сила $\vec f$, как можно показать, направлена вдоль скорости $\vec v-\vec V$ (это скорость плоскости относительно тела!).
Сила $\vec f$, как можно показать, направлена вдоль скорости $\vec v-\vec V$ (это скорость плоскости относительно тела!).
Рассмотрим приближение постоянной скорости тела в течение одного периода $T$ колебаний плоскости — то есть будем интересовать законом движения тела в элементах времени, равных $T$. Сам закон движения будем выводить из уравнения изменения импульса тела за время $T$ [1,2].
Рассмотрим приближение постоянной скорости тела в течение одного периода $T$ колебаний плоскости — то есть будем интересовать законом движения тела в элементах времени, равных $T$. Сам закон движения будем выводить из уравнения изменения импульса тела за время $T$ [1,2].
В пределах одного периода начиная с момента $t=0$ сила $\vec f$ будет меняться по направлению. Можно убедиться, что проекция этой силы на ось $y$ будет равна
В пределах одного периода начиная с момента $t=0$ сила $\vec f$ будет меняться по направлению. Можно убедиться, что проекция этой силы на ось $y$ будет равна
При условии $V\ll v_0$ зависимость $|f_y|(t)$ достаточно прямоугольная и, конечно, периодическая. Вот пример для $V_x=V_y=0.03v_0$ (Asymptote-графика).
При условии $V\ll v_0$ зависимость $|f_y|(t)$ достаточно прямоугольная и, конечно, периодическая. Вот пример для $V_x=V_y=0.03v_0$ (Asymptote графика).
Величина $|f_y|$ очень быстро устанавливается на значении $\mu mg$, есть только кратковременные острые снижения до нуля. Случай $V_x\neq V_y$ не отличается принципиально. Красным цветом обозначено, когда проекция $f_y>0$, синим — когда $f_y<0$.
Величина $|f_y|$ очень быстро устанавливается на значении $\mu mg$, есть только кратковременные острые снижения до нуля. Случай $V_x\neq V_y$ не отличается принципиально. Красным цветом обозначено, когда проекция $f_y>0$, синим — когда $f_y<0$.
Теперь не будет большой ошибкой записать уравнение изменения импульса по оси $y$ за время $T$:
Теперь не будет большой ошибкой записать уравнение изменения импульса по оси $y$ за время $T$:
при рассмотрении $T\equiv dt$ для наблюдателя, не замечающего, что происходит со скоростью тела в течении периода $T$.
при рассмотрении $T\equiv dt$ для наблюдателя, не замечающего, что происходит со скоростью тела в течении периода $T$.
Величина $4\mu mg\dfrac{V_y}{v_0\omega}$ эквивалентна силе сопротивления, зависящей от скорости $V_y$. Итак, для указанного наблюдателя по оси $y$ скорость меняется так, как будто вдоль этого направления телу препятствует сила вязкого трения (как по воде).
Величина $4\mu mg\dfrac{V_y}{v_0\omega}$ эквивалентна силе сопротивления, зависящей от скорости $V_y$. Итак, для указанного наблюдателя по оси $y$ скорость меняется так, как будто вдоль этого направления телу препятствует сила вязкого трения (как по воде).
#### Движение перпендикулярно оси колебаний
#### Движение перпендикулярно оси колебаний
Учитывая предыдущее, проекция силы трения на ось $x$:
Учитывая предыдущее, проекция силы трения на ось $x$:
Величина $|f_x|$ за период $T$ практически постоянно держится на уровне малом по сравнению с $\mu mg$. Лишь два раза за это время она испытывает кратковременные скачки до значения $\mu mg$. Случай $V_x\neq V_y$ не отличается принципиально.
Величина $|f_x|$ за период $T$ практически постоянно держится на уровне малом по сравнению с $\mu mg$. Лишь два раза за это время она испытывает кратковременные скачки до значения $\mu mg$. Случай $V_x\neq V_y$ не отличается принципиально.
@@ -114,29 +114,32 @@Движение перпендикулярно оси колебаний
Уравнение изменения импульса за время $T$ по оси $x$ можно записать так:
Уравнение изменения импульса за время $T$ по оси $x$ можно записать так:
$$
$$
F_xT+\Delta p_x=m\Delta V_x,
F_xT+\Delta p_x=m\Delta V_x,\tag{2}
$$
$$
где $\Delta p_x$ есть импульс проекции силы $f_x$ за время $T$, равный площади под графиком на рисунке зависимости $|f_x|(t)$ на интервале $T$.
где $\Delta p_x$ есть импульс проекции силы $f_x$ за время $T$, равный отрицательной площади под графиком на рисунке зависимости $|f_x|(t)$ на интервале $T$.
Оценивая график указанной зависимостию, говорим: практически $\Delta p_x\ll\mu mgT$. Можно представить, что $\Delta p_x$ набирается некоторой эквивалентной постоянной проекцией силы трения на ось $x$, обозначим ее $\tilde f_x$, так что
Оценивая график указанной зависимости, говорим: практически $\Delta p_x\ll\mu mgT$. Можно представить, что $\Delta p_x$ набирается некоторой эквивалентной постоянной проекцией силы трения на ось $x$, обозначим ее $\tilde f_x$, так что
$$
$$
\Delta p_x=\tilde f_xT
\Delta p_x=\tilde f_xT,
$$
$$
и для этой силы ввести
и для этой силы ввести эквивалентный коэффициент трения $\tilde\mu$ такой, что
$$
\Delta p_x=-\tilde\mu mgT.
$$
Тогда из вышесказанного $\tilde\mu\ll\mu$. Для наблюдателя, не замечающего, что происходит со скоростью тела в течении периода $T\equiv dt$, формула $(2)$ переходит во второй закон Ньютона:
$$
F_x-\tilde\mu mg=m\frac{dV_x}{dt},
$$
где $\tilde\mu mg$ есть эквивалент силы трения с малым коэффициентом трения. Движение по оси $x$ для указанного наблюдателя происходит с малым трением.
