| ### Условие | | ### Условие |
| | | |
| $3.3.35.$ Поверхность тел, колеблющихся с ультразвуковой частотой, кажется скользкой на ощупь, а предметы, помещенные на эту поверхность, «плывут» по ней от малейшего приложенного к ним усилия. Объясните это. | | $3.3.35.$ Поверхность тел, колеблющихся с ультразвуковой частотой, кажется скользкой на ощупь, а предметы, помещенные на эту поверхность, «плывут» по ней от малейшего приложенного к ним усилия. Объясните это. |
| | | |
| | | |
| ### Решение | | ### Решение |
| | | |
| Пусть имеется горизонтальная поверхность с коэффициентом трения скольжения $\mu$, которая колеблется вдоль прямой, проходящей через нее, с большой частотой $\omega$. Указанную прямую назовем $y$, прямую, перпендикулярную ей и лежащую на поверхности, назовем $x$. | | Пусть имеется горизонтальная поверхность с коэффициентом трения скольжения $\mu$, которая колеблется вдоль прямой, проходящей через нее, с большой частотой $\omega$. Указанную прямую назовем $y$, прямую, перпендикулярную ей и лежащую на поверхности, назовем $x$. |
| | | |
| Далее, на поверхности в соприкосновении оказывается тело, движущееся в плоскости, параллельной колеблющейся поверхности. Обозначим скорость тела $\vec V$; проекции этой скорости на оси $x,y$ равны $V_x,V_y$ соответственно. | | Далее, на поверхности в соприкосновении оказывается тело, движущееся в плоскости, параллельной колеблющейся поверхности. Обозначим скорость тела $\vec V$; проекции этой скорости на оси $x,y$ равны $V_x,V_y$ соответственно. |
| | | |
| Кроме того, действие на тело усилия моделируется внешней силой $\vec F$, лежащей в плоскости, параллельной колеблющейся поверхности. Ее проекции на оси $x,y$ равны $F_x,F_y$. | | Кроме того, действие на тело усилия моделируется внешней силой $\vec F$, лежащей в плоскости, параллельной колеблющейся поверхности. Ее проекции на оси $x,y$ равны $F_x,F_y$. |
| | | |
| Скорость колеблющейся плоскости $\vec v$. Ее проекция на ось $y$ меняется по закону | | Скорость колеблющейся плоскости $\vec v$. Ее проекция на ось $y$ меняется по закону |
| | | |
| $$ | | $$ |
| v_y=v_0\sin(\omega t), | | v_y=v_0\sin(\omega t), |
| $$ | | $$ |
| | | |
| где $v_0$ есть амплитуда скорости, разумеется ($v_x=0$). | | где $v_0$ есть амплитуда скорости, разумеется ($v_x=0$). |
| | | |
| Рассмотрим случай | | Рассмотрим случай |
| | | |
| $$ | | $$ |
| V\ll v_0,\quad V_x\sim V_y,\quad F_x\sim F_y. | | V\ll v_0,\quad V_x\sim V_y,\quad F_x\sim F_y. |
| $$ | | $$ |
| | | |
| | | |
| #### Движение вдоль оси колебаний | | #### Движение вдоль оси колебаний |
| | | |
| Изобразим качественный рисунок для определения силы трения скольжения $\vec f$, действующей на тело в плоскости его движения. Начнем с момента времени $t=0$. | | Изобразим качественный рисунок для определения силы трения скольжения $\vec f$, действующей на тело в плоскости его движения. Начнем с момента времени $t=0$. |
| | | |
|  | |  |
| | | |
| Сила $\vec f$, как можно показать, направлена вдоль скорости $\vec v-\vec V$ (это скорость плоскости относительно тела!). | | Сила $\vec f$, как можно показать, направлена вдоль скорости $\vec v-\vec V$ (это скорость плоскости относительно тела!). |
| | | |
| Рассмотрим приближение постоянной скорости тела в течение одного периода $T$ колебаний плоскости — то есть будем интересовать законом движения тела в элементах времени, равных $T$. Сам закон движения будем выводить из уравнения изменения импульса тела за время $T$ [1,2]. | | Рассмотрим приближение постоянной скорости тела в течение одного периода $T$ колебаний плоскости — то есть будем интересовать законом движения тела в элементах времени, равных $T$. Сам закон движения будем выводить из уравнения изменения импульса тела за время $T$ [1,2]. |
| | | |
| В пределах одного периода начиная с момента $t=0$ сила $\vec f$ будет меняться по направлению. Можно убедиться, что проекция этой силы на ось $y$ будет равна | | В пределах одного периода начиная с момента $t=0$ сила $\vec f$ будет меняться по направлению. Можно убедиться, что проекция этой силы на ось $y$ будет равна |
| | | |
| $$ | | $$ |
| f_y=\mu mg\frac{v_0\sin\omega t-V_y}{\sqrt{V_x^2+\left(v_0\sin\omega t-V_y\right)^2}}.\tag{1} | | f_y=\mu mg\frac{v_0\sin\omega t-V_y}{\sqrt{V_x^2+\left(v_0\sin\omega t-V_y\right)^2}}.\tag{1} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Можно заметить, что | | Можно заметить, что |
| | | |
| $$ | | $$ |
| f_y>0\quad при\ \tau<t<T/2-\tau, | | f_y>0\quad при\ \tau<t<T/2-\tau, |
| $$ | | $$ |
| | | |
| а также | | а также |
| | | |
| $$ | | $$ |
| f_y<0\quad при\ 0<t<\tau | | f_y<0\quad при\ 0<t<\tau |
| $$ | | $$ |
| | | |
| и | | и |
| | | |
| $$ | | $$ |
| f_y<0\quad при\ T/2-\tau<t<T, | | f_y<0\quad при\ T/2-\tau<t<T, |
| $$ | | $$ |
| | | |
| где $\tau=\dfrac{V_y}{v_0\omega}$ с учетом $V\ll v_0$ (это время, когда $f_y=0$ в первый раз). | | где $\tau=\dfrac{V_y}{v_0\omega}$ с учетом $V\ll v_0$ (это время, когда $f_y=0$ в первый раз). |
| | | |
| Упростим $(1)$, поделив числитель и знаменатель на $v_0\sin\omega t-V_y$; получим для модуля | | Упростим $(1)$, поделив числитель и знаменатель на $v_0\sin\omega t-V_y$; получим для модуля |
| | | |
| $$ | | $$ |
| |f_y|=\mu mg\frac{1}{\sqrt{1+\frac{V_x^2}{\left(v_0\sin\omega t-V_y\right)^2}}}. | | |f_y|=\mu mg\frac{1}{\sqrt{1+\frac{V_x^2}{\left(v_0\sin\omega t-V_y\right)^2}}}. |
| $$ | | $$ |
| | | |
| При условии $V\ll v_0$ зависимость $|f_y|(t)$ достаточно прямоугольная и, конечно, периодическая. Вот пример для $V_x=V_y=0.03v_0$ (Asymptote графика). | | При условии $V\ll v_0$ зависимость $|f_y|(t)$ достаточно прямоугольная и, конечно, периодическая. Вот пример для $V_x=V_y=0.03v_0$ (Asymptote графика). |
| | | |
|  | |  |
| | | |
| Величина $|f_y|$ очень быстро устанавливается на значении $\mu mg$, есть только кратковременные острые снижения до нуля. Случай $V_x\neq V_y$ не отличается принципиально. Красным цветом обозначено, когда проекция $f_y>0$, синим — когда $f_y<0$. | | Величина $|f_y|$ очень быстро устанавливается на значении $\mu mg$, есть только кратковременные острые снижения до нуля. Случай $V_x\neq V_y$ не отличается принципиально. Красным цветом обозначено, когда проекция $f_y>0$, синим — когда $f_y<0$. |
| | | |
| Теперь не будет большой ошибкой записать уравнение изменения импульса по оси $y$ за время $T$: | | Теперь не будет большой ошибкой записать уравнение изменения импульса по оси $y$ за время $T$: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| F_yT+\left(\mu mg(T/2-2\tau)-\mu mg(T/2+2\tau)\right)=m\Delta V_y, | | F_yT+\left(\mu mg(T/2-2\tau)-\mu mg(T/2+2\tau)\right)=m\Delta V_y, |
| $$ | | $$ |
| | | |
| что превращается в | | что превращается в |
| | | |
| $$ | | $$ |
| F_y-4\mu mg\dfrac{V_y}{v_0\omega}=m\frac{dV_y}{dt} | | F_y-4\mu mg\dfrac{V_y}{v_0\omega}=m\frac{dV_y}{dt} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| при рассмотрении $T\equiv dt$ для наблюдателя, не замечающего, что происходит со скоростью тела в течении периода $T$. | | при рассмотрении $T\equiv dt$ для наблюдателя, не замечающего, что происходит со скоростью тела в течении периода $T$. |
| | | |
| Величина $4\mu mg\dfrac{V_y}{v_0\omega}$ эквивалентна силе сопротивления, зависящей от скорости $V_y$. Итак, для указанного наблюдателя по оси $y$ скорость меняется так, как будто вдоль этого направления телу препятствует сила вязкого трения (как по воде). | | Величина $4\mu mg\dfrac{V_y}{v_0\omega}$ эквивалентна силе сопротивления, зависящей от скорости $V_y$. Итак, для указанного наблюдателя по оси $y$ скорость меняется так, как будто вдоль этого направления телу препятствует сила вязкого трения (как по воде). |
| | | |
| | | |
| #### Движение перпендикулярно оси колебаний | | #### Движение перпендикулярно оси колебаний |
| | | |
| Учитывая предыдущее, проекция силы трения на ось $x$: | | Учитывая предыдущее, проекция силы трения на ось $x$: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| f_x=-\mu mg\frac{V_x}{\sqrt{v_x^2+\left(v_0\sin\omega t-V_y\right)^2}} | | f_x=-\mu mg\frac{V_x}{\sqrt{v_x^2+\left(v_0\sin\omega t-V_y\right)^2}} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| или | | или |
| | | |
| $$ | | $$ |
| f_x=-\mu mg\frac{1}{\sqrt{1+\frac{\left(v_0\sin\omega t-V_y\right)^2}{V_x^2}}}. | | f_x=-\mu mg\frac{1}{\sqrt{1+\frac{\left(v_0\sin\omega t-V_y\right)^2}{V_x^2}}}. |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Посмотрим на качественный график $|f_x|(t)$, допустим, для $V_x=V_y=0.03v_0$. | | Посмотрим на качественный график $|f_x|(t)$, допустим, для $V_x=V_y=0.03v_0$. |
| | | |
|  | |  |
| | | |
| Величина $|f_x|$ за период $T$ практически постоянно держится на уровне малом по сравнению с $\mu mg$. Лишь два раза за это время она испытывает кратковременные скачки до значения $\mu mg$. Случай $V_x\neq V_y$ не отличается принципиально. | | Величина $|f_x|$ за период $T$ практически постоянно держится на уровне малом по сравнению с $\mu mg$. Лишь два раза за это время она испытывает кратковременные скачки до значения $\mu mg$. Случай $V_x\neq V_y$ не отличается принципиально. |
| | | |
| Уравнение изменения импульса за время $T$ по оси $x$ можно записать так: | | Уравнение изменения импульса за время $T$ по оси $x$ можно записать так: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| F_xT+\Delta p_x=m\Delta V_x,\tag{2} | | F_xT+\Delta p_x=m\Delta V_x,\tag{2} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| где $\Delta p_x$ есть импульс проекции силы $f_x$ за время $T$, равный отрицательной площади под графиком на рисунке зависимости $|f_x|(t)$ на интервале $T$. | | где $\Delta p_x$ есть импульс проекции силы $f_x$ за время $T$, равный отрицательной площади под графиком на рисунке зависимости $|f_x|(t)$ на интервале $T$. |
| | | |
| Оценивая график указанной зависимости, говорим: практически $\Delta p_x\ll\mu mgT$. Можно представить, что $\Delta p_x$ набирается некоторой эквивалентной постоянной проекцией силы трения на ось $x$, обозначим ее $\tilde f_x$, так что | | Оценивая график указанной зависимости, говорим: практически $\Delta p_x\ll\mu mgT$. Можно представить, что $\Delta p_x$ набирается некоторой эквивалентной постоянной проекцией силы трения на ось $x$, обозначим ее $\tilde f_x$, так что |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \Delta p_x=\tilde f_xT, | | \Delta p_x=\tilde f_xT, |
| $$ | | $$ |
| | | |
| и для этой силы ввести эквивалентный коэффициент трения $\tilde \mu$ такой, что | | и для этой силы ввести эквивалентный коэффициент трения $\tilde \mu$ такой, что |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \Delta p_x=-\tilde \mu mgT. | | \Delta p_x=-\tilde \mu mgT. |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Тогда из вышесказанного $\tilde\mu\ll\mu$. Для наблюдателя, не замечающего, что происходит со скоростью тела в течении периода $T\equiv dt$, формула $(2)$ переходит во второй закон Ньютона: | | Тогда из вышесказанного $\tilde\mu\ll\mu$. Для наблюдателя, не замечающего, что происходит со скоростью тела в течении периода $T\equiv dt$, формула $(2)$ переходит во второй закон Ньютона: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| F_x-\tilde \mu mg=m\frac{dV_x}{dt}, | | F_x-\tilde \mu mg=m\frac{dV_x}{dt}, |
| $$ | | $$ |
| | | |
