Edit to “Альтернативное понимание условия задачи”

emixter edited Apr 27, 2026, 8:50 PM

View solution History

revision #17989 parent #17988 ← older newer →

ru/3.3.35.md +3 −0

			### Условие

			$3.3.35.$ Поверхность тел, колеблющихся с ультразвуковой частотой, кажется скользкой на ощупь, а предметы, помещенные на эту поверхность, «плывут» по ней от малейшего приложенного к ним усилия. Объясните это.


			### Решение

			Пусть имеется горизонтальная поверхность с коэффициентом трения скольжения $\mu$, которая колеблется вдоль прямой, проходящей через нее, с большой частотой $\omega$. Указанную прямую назовем $y$, прямую, перпендикулярную ей и лежащую на поверхности, назовем $x$.

			Далее, на поверхности в соприкосновении оказывается тело, движущееся в плоскости, параллельной колеблющейся поверхности. Обозначим скорость тела $\vec V$; проекции этой скорости на оси $x,y$ равны $V_x,V_y$ соответственно.

			Кроме того, действие на тело усилия моделируется внешней силой $\vec F$, лежащей в плоскости, параллельной колеблющейся поверхности. Ее проекции на оси $x,y$ равны $F_x,F_y$.

			Скорость колеблющейся плоскости $\vec v$. Ее проекция на ось $y$ меняется по закону

			$$
			v_y=v_0\sin(\omega t),
			$$

			где $v_0$ есть амплитуда скорости, разумеется ($v_x=0$).

			Рассмотрим случай

			$$
			\boxed{V\ll v_0,\quad V_x\sim V_y,\quad F_x\sim F_y.}
			$$


			#### Движение вдоль оси колебаний

			Изобразим качественный рисунок для определения силы трения скольжения $\vec f$, действующей на тело в плоскости его движения. Начнем с момента времени $t=0$.

			![К задаче $3.3.35$\|596x435, 70%](../../img/3.3.35/Ð¡Ð½Ð¸Ð¼Ð¾Ðº ÑÐºÑÐ°Ð½Ð° 2026-04-27 112344.png)

			Сила $\vec f$, как можно показать, направлена вдоль скорости $\vec v-\vec V$ (это скорость плоскости относительно тела!).

			Рассмотрим приближение постоянной скорости тела в течение одного периода $T$ колебаний плоскости — то есть будем интересовать законом движения тела в элементах времени, равных $T$. Сам закон движения будем выводить из уравнения изменения импульса тела за время $T$ [1,2].

			В пределах одного периода начиная с момента $t=0$ сила $\vec f$ будет меняться по направлению. Можно убедиться, что проекция этой силы на ось $y$ будет равна

			$$
			f_y=\mu mg\frac{v_0\sin\omega t-V_y}{\sqrt{V_x^2+\left(v_0\sin\omega t-V_y\right)^2}}.\tag{1}
			$$

			Можно заметить, что

			$$
			f_y>0\quad при\ \tau<t<T/2-\tau,
			$$

			а также

			$$
			f_y<0\quad при\ 0<t<\tau
			$$

			и

			$$
			f_y<0\quad при\ T/2-\tau<t<T,
			$$

			где $\tau=\dfrac{V_y}{v_0\omega}$ с учетом $V\ll v_0$ (это время, когда $f_y=0$ в первый раз).

			Упростим $(1)$, поделив числитель и знаменатель на $v_0\sin\omega t-V_y$; получим для модуля

			$$
			\|f_y\|=\mu mg\frac{1}{\sqrt{1+\frac{V_x^2}{\left(v_0\sin\omega t-V_y\right)^2}}}.
			$$

			При условии $V\ll v_0$ зависимость $\|f_y\|(t)$ достаточно прямоугольная и, конечно, периодическая. Вот пример для $V_x=V_y=0.03v_0$ (Asymptote графика).

			![К задаче $3.3.35$\|1720x784, 100%](../../img/3.3.35/Ð¡Ð½Ð¸Ð¼Ð¾Ðº ÑÐºÑÐ°Ð½Ð° 2026-04-27 122238.png)

			Величина $\|f_y\|$ очень быстро устанавливается на значении $\mu mg$, есть только кратковременные острые снижения до нуля. Случай $V_x\neq V_y$ не отличается принципиально. Красным цветом обозначено, когда проекция $f_y>0$, синим — когда $f_y<0$.

			Теперь не будет большой ошибкой записать уравнение изменения импульса по оси $y$ за время $T$:

			$$
			F_yT+\left(\mu mg(T/2-2\tau)-\mu mg(T/2+2\tau)\right)=m\Delta V_y,
			$$

			что превращается в

			$$
			F_y-4\mu mg\dfrac{V_y}{v_0\omega}=m\frac{dV_y}{dt}
			$$

			при рассмотрении $T\equiv dt$ для наблюдателя, не замечающего, что происходит со скоростью тела в течение периода $T$.

			Величина $4\mu mg\dfrac{V_y}{v_0\omega}$ эквивалентна силе сопротивления, зависящей от скорости $V_y$. Итак, для указанного наблюдателя по оси $y$ скорость меняется так, как будто вдоль этого направления телу препятствует сила вязкого трения (как по воде).


			#### Движение перпендикулярно оси колебаний

			Учитывая предыдущее, проекция силы трения на ось $x$:

			$$
			f_x=-\mu mg\frac{V_x}{\sqrt{v_x^2+\left(v_0\sin\omega t-V_y\right)^2}}
			$$

			или

			$$
			f_x=-\mu mg\frac{1}{\sqrt{1+\frac{\left(v_0\sin\omega t-V_y\right)^2}{V_x^2}}}.
			$$

			Посмотрим на качественный график $\|f_x\|(t)$, допустим, для $V_x=V_y=0.03v_0$.

			![К задаче $3.3.35$\|1718x784, 100%](../../img/3.3.35/Ð¡Ð½Ð¸Ð¼Ð¾Ðº ÑÐºÑÐ°Ð½Ð° 2026-04-27 133515.png)

			Величина $\|f_x\|$ за период $T$ практически постоянно держится на уровне малом по сравнению с $\mu mg$. Лишь два раза за это время она испытывает кратковременные скачки до значения $\mu mg$. Случай $V_x\neq V_y$ не отличается принципиально.

			Уравнение изменения импульса за время $T$ по оси $x$ можно записать так:

			$$
			F_xT+\Delta p_x=m\Delta V_x,\tag{2}
			$$

			где $\Delta p_x$ есть импульс проекции силы $f_x$ за время $T$, равный отрицательной площади под графиком на рисунке зависимости $\|f_x\|(t)$ на интервале $T$.

			Оценивая график указанной зависимости, говорим: практически $\Delta p_x\ll\mu mgT$. Можно представить, что $\Delta p_x$ набирается некоторой эквивалентной постоянной проекцией силы трения на ось $x$, обозначим ее $\tilde f_x$, так что

			$$
			\Delta p_x=\tilde f_xT,
			$$

			и для этой проекции силы ввести эквивалентный коэффициент трения $\tilde \mu$ такой, что

			$$
			\Delta p_x=-\tilde \mu mgT.
			$$

			Тогда из вышесказанного $\tilde\mu\ll\mu$. Для наблюдателя, не замечающего, что происходит со скоростью тела в течении периода $T\equiv dt$, формула $(2)$ переходит во второй закон Ньютона:

			$$
			F_x-\tilde \mu mg=m\frac{dV_x}{dt},
			$$

			где $\tilde\mu mg$ есть эквивалент силы трения скольжения с малым коэффициентом трения. Движение по оси $x$ для указанного наблюдателя напоминает движение по неподвижной поверхности, но с малым коэффициентом трения.

			Связанные темы: маятник Капицы, быстрые и медленные движения, вибрация.

			#### Литература

			[1] Вибрация против трения. Г.О. Патрушев, В.И. Якушевич. Потенциал, 2019, № 4.

			[2] Павел Виктор. Решение задачи Савченко 3.3.36. youtube.com.

			[3] Блехман И. И. Вибрационная механика. 1994. § 8.1. "Об эффекте вибрационного перемещения, его теории и приложениях".

			[4] Мицкевич А.М. «Движение тела по тангенциально колеблющейся поверхности с учетом трения». Акустический журнал, 13, 3, с. 411-416 (1967).

			[5] Ю.М. Волченко. Научная графика на языке Asymptote. 2018.

			[6] Charles Staats III. Пособие по Asymptote. 2022. (англ.)

			### Альтернативное понимание условия задачи

			Эпиграф: «Вингардиум Левиоса» (Гарри Поттер).

			В моём понимании поверхность тела колеблется с ультразвуковой частотой $\omega$ в вертикальном направлении! И если на тело поставить предмет, то это своего рода подбрасывание тела плитой, которая колеблется. В задаче $3.3.30.$ было показано, что предмет будет отрываться от тела на высоте $y=\frac{g}{\omega^{2}}$. Поскольку для ультразвука $\omega$ очень большое, то высота отрыва очень маленькая. Предмет, как бы постоянно парит (левитирует) над телом - между телом и предметом есть воздушная подушка. Через очень быстрое изменение высоты воздушного пространства воздух не успевает выходить из областей сжатия и разрежения, возникает подъёмная сила избыточного давления. Так как паря предмет не касается тела, то нет и силы трения, поэтому тело легко скользит без сопротивления.

			Пусть поверхность совершает гармонические колебания:

			$$z(t)=A\sin\omega t$$

			При малом зазоре $h(t)$ воздух сжимается. Давление можно оценить адиабатически:

			$$P(t)=P_{0}\left( \frac{h_{0}}{h(t)} \right)^{\gamma}=P_{0}\left( \frac{h_{0}}{h_{0}-z(t)} \right)^{\gamma}$$

			где $P_{0}$ - атмосферное давление, $h_{0}$ - средний зазор между предметом и вибрирующей поверхностью, $\gamma$ - показатель адиабаты для воздуха (воздух можно считать двухатомным газом $\gamma=7/5$).

			Среднее давление даёт подъёмную силу:

			$$F_{под}=\left\langle P(t)-P_{0} \right\rangle S$$

			где $S$ — площадь контакта.

			Сила реакции опоры: $N=mg-F_{под}$, тогда сила трения: $F_{тр}=\mu N=\mu(mg-F_{под})$. Когда подъёмная сила сравняется с силой тяжести, сила трения устремится к 0.

			На мой взгляд это и есть объяснение эффекта описанного в задаче. Можно пойти дальше и оценить подъёмную силу.

			$$P(t)=P_{0}\left( \frac{h_{0}}{h_{0}-A\sin\omega t} \right)^{\gamma}=P_{0}\left( 1-\frac{A}{h_{0}}\sin\omega t \right)^{-\gamma}$$

			Разложим в ряд при $\frac{A}{h_{0}}\ll 1$:

			$$P(t)\approx P_{0}\left[ 1+\gamma\frac{A}{h_{0}}\sin\omega t+\frac{\gamma(\gamma+1)}{2}\left( \frac{A}{h_{0}} \right)^{2}\sin^{2}\omega t \right]$$

			Усредняя по времени, воспользуемся известными соотношениями: $\left\langle \sin\omega t \right\rangle=0$ и $\left\langle \sin^{2}\omega t \right\rangle=\frac{1}{2}$, тогда:

			$$\left\langle P \right\rangle-P_{0}=P_{0}\frac{\gamma(\gamma+1)}{4}\left( \frac{A}{h_{0}} \right)^{2}$$

			При $\gamma=7/5$ получим:

			$$\left\langle P \right\rangle-P_{0}=\frac{21}{25}P_{0}\left( \frac{A}{h_{0}} \right)^{2}$$

			Подъёмная сила:
		@@ -199,5 +199,8 @@Альтернативное понимание условия задачи

			$$\boxed{F_{под}=\frac{21}{25}P_{0}S\left( \frac{A}{h_{0}} \right)^{2}}$$

		+	Теперь представим меня - мужчину в расцвете сил с доской площадью $1,8*0,56=1\text{ м}^{2}$ и общей массой 90 кг. Амплитуда колебаний 1 мм. На какой высоте я буду парить? Подъёмная сила должна быть не меньше моего веса:

		+	$$Mg=\frac{21}{25}P_{0}S\left( \frac{A}{h_{0}} \right)^{2}\Longrightarrow h_{0}=A\sqrt{\frac{21P_{0}S}{25Mg}}\approx 9.8\text{ мм}$$

		+	![\|1536x1024, 50%](../../img/3.3.35/3.3.35.png)