Альтернативное решение

Эпиграф: "Бусинка была ещё той кокеткой: по оси х она осциллировала, а по оси у дрейфовала".

Запишем второй закон Ньютона для нашей бусинки в проекции на оси $0x$ и $0y$ (смотри рисунок):

$$m\frac{d\upsilon_{x}}{dt}=N_{x} \tag{1}$$
$$m\frac{d\upsilon_{y}}{dt}=mg-N_{y} \tag{2}$$

Проинтегрируем по времени (1):

$$m(\upsilon_{x}(T)-\upsilon_{x}(0))=\int_{0}^{T}N_{x}dt$$

Разделим обе части на $T$ - время прохождения шаблонного участка:

$$m\frac{(\upsilon_{x}(T)-\upsilon_{x}(0))}{T}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}N_{x}dt$$

По определению среднего значения:

$$\left\langle N_{x} \right\rangle=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}N_{x}dt$$

Проволока «толкает» бусинку то в одну сторону, то в другую, но из-за симметрии и большого числа волн эти импульсы компенсируются. Можно считать, что проекции скорости на ось х в начале и в конце шаблонного участка одинаковы по модулю, но разнонаправленны: $\upsilon_{x}(T)-\upsilon_{x}(0)\approx 0$. Тогда:

$$\left\langle N_{x} \right\rangle=0 \tag{3}$$

Теперь проинтегрируем по времени (2):

$$m(\upsilon_{y}(T)-\upsilon_{y}(0))=mgT-\int_{0}^{T}N_{y}dt$$

Разделив на $T$ и воспользовавшись определением среднего, получим:

$$\left\langle N_{y} \right\rangle=mg-m\frac{(\upsilon_{y}(T)-\upsilon_{y}(0))}{T} \tag{4}$$

Связь проекции скорости на ось у с полной скоростью:

$$\upsilon_{y}(t)=\upsilon(t)\sin\alpha(t)=\upsilon(t)\frac{d y}{dl}|_{t}$$

где $dl$ - это малое перемещение вдоль проволоки. Подставим в (4):

$$\left\langle N_{y} \right\rangle=mg-\frac{m}{T}\left( \upsilon(T)\frac{d y}{dl}|_{T}-\upsilon(0)\frac{d y}{dl}|_{0} \right) \tag{5}$$

Угол наклона бусинки в начале движения вдоль шаблонного участка и в конце - одинаков, поэтому:

$$\frac{d y}{dl}|_{T}=\frac{d y}{dl}|_{0}$$

По условию задачи длина проволоки на участке в $k$ раз больше его протяженности:

$$l=kh\Rightarrow \frac{h}{l}=\frac{1}{k}$$

Но это и есть синус угла наклона нашего шаблонного участка в начале движения бусинки и в конце:

$$\frac{d y}{dl}|_{T}=\frac{d y}{dl}|_{0}=\frac{1}{k}$$

Перепишим (5):

$$\left\langle N_{y} \right\rangle=mg-\frac{m}{k}\cdot\frac{\upsilon(T)-\upsilon(0)}{T} \tag{6}$$

Запишем закон сохранения энергии для нашего шаблонного участка:

$$\frac{m\upsilon^{2}(T)}{2}-\frac{m\upsilon^{2}(0)}{2}=mgh\Longrightarrow (\upsilon(T)-\upsilon(0))\cdot\frac{\upsilon(T)+\upsilon(0)}{2}=gh \tag{7}$$

Второй множитель это средняя скорость на шаблонном участке. С другой стороны при условии, что длина волны много меньше длины участка, средняя скорость равна:

$$\upsilon_{ср}=\frac{l}{T}\Longrightarrow \frac{\upsilon(T)+\upsilon(0)}{2}=\frac{l}{T}$$

Тогда (7) можно переписать:

$$(\upsilon(T)-\upsilon(0))\cdot\frac{l}{T}=gh\Longrightarrow \frac{\upsilon(T)-\upsilon(0)}{T}=g\frac{h}{l}=\frac{g}{k} \tag{8}$$

Подставим (8) в (6):

$$\left\langle N_{y} \right\rangle=mg-\frac{m}{k}\cdot\frac{g}{k}=mg\left( 1-\frac{1}{k^{2}} \right) \tag{9}$$

Итак, средняя сила, с которой бусинка действует на проволоку:

$$\vec N_{ср}=(\left\langle N_{x} \right\rangle, \left\langle N_{y} \right\rangle)=\left( 0, mg\left( 1-\frac{1}{k^{2}} \right)\right)$$

сила направлена вертикально.