Edits to “Условие”, “Решение”, “Ответ”

emixter edited
View solution History
revision #18008 parent #18007 ← older newer →
ru/3.9.26.md +92 −3
@@ -1,11 +1,100 @@
### Условие
−$3.9.26.$ [Вставьте условие задачи]
+$3.9.26.$ Определите массу тела, связанного через упругую подставку жесткости $k$ и массы $m$ с жестким полом, если первая резонансная частота продольных колебаний этой системы равна $\omega$.
+
### Решение
−asd
+Смоделируем нашу упругую подставку как однородный стержень длиной $L$, массой $m$ и жесткостью $k$. В такой моделе продольные колебания сечений стержня $u(x,t)$ описываются волновым уравнением:
+$$\frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}=c^{2}\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} \tag{1}$$
+
+где $c$ - скорость распространения продольных волн в стержне:
+
+$$c=\sqrt{\frac{E}{\rho}} \tag{2}$$
+
+где $E$ - модуль Юнга стержня, $\rho$ - його плотность. (Формула для скорости выведена в Post Scriptum).
+
+Пусть $S$ - площадь сечения, тогда плотность стержня можна выразить:
+
+$$\rho=\frac{m}{SL} \tag{3}$$
+
+Согласно закону Гука:
+
+$$k\Delta L=\sigma S=E\varepsilon S=ES\frac{\Delta L}{L}$$
+
+где $\sigma$ - напряжение деформации, $\varepsilon$ - относительная деформация. Отсюда:
+
+$$E=\frac{kL}{S} \tag{4}$$
+
+Подставим (3) и (4) в (2):
+
+$$c=\sqrt{\frac{\frac{kL}{S}}{\frac{m}{SL}}}=L\sqrt{\frac{k}{m}} \tag{5}$$
+
+Запишу граничные условия на концах стержня. По условию у нас пол жёсткий, это означает, что смещение равно 0:
+
+$$u(0,t)=0 \tag{6}$$
+
+Согласно второму закону Ньютона для груза $M$ (искомая масса тела), который находится в точке $x=L$:
+
+$$Ma=F_{внеш} \tag{7}$$
+
+Ускорение груза:
+
+$$a=\frac{\partial^{2} u(L,t)}{\partial t^{2}} \tag{8}$$
+
+Сила, с которой стержень действует на груз, направлена противоположно направлению деформации:
+
+$$F_{внеш}=-k\Delta L=-kL\varepsilon=-kL\frac{\partial u(L,t)}{\partial x} \tag{9}$$
+
+Подставим (8) и (9) в (7) и получим второе граничное условие:
+
+$$M\frac{\partial^{2} u(L,t)}{\partial t^{2}}=-kL\frac{\partial u(L,t)}{\partial x} \tag{10}$$
+
+Буду искать решение волнового уравнения в виде гармонических колебаний:
+
+$$u(x,t)=D(x)\cos(\omega t)$$
+
+Подставим в (1):
+
+$$-\omega^{2}D(x)\cos(\omega t)=c^{2}D^{''}(x)\cos(\omega t)$$
+
+Получаем уравнение гармонического осциллятора:
+
+$$D^{''}(x)+\frac{\omega^{2}}{c^{2}}D(x)=0$$
+
+Его решением будет:
+
+$$D(x)=A\sin\left( \frac{\omega x}{c} \right)+B\cos\left( \frac{\omega x}{c} \right)$$
+
+Используем первое граничное условие (6):
+
+$$0=u(0,t)=D(0)=A\sin\left( 0 \right)+B\cos\left( 0 \right)=B$$
+
+Значит:
+
+$$D(x)=A\sin\left( \frac{\omega x}{c} \right)$$
+
+Решение волнового уравнения можно перезаписать:
+
+$$u(x,t)=A\sin\left( \frac{\omega x}{c} \right)\cos(\omega t) \tag{11}$$
+
+Подставим это решение во второе граничное условие (10) и взяв частные производные второго порядка в точке $x=L$, получим:
+
+$$-M\omega^{2}A\sin\left( \frac{\omega L}{c} \right)\cos(\omega t)=-kLA\frac{\omega}{c}\cos\left( \frac{\omega L}{c} \right)\cos(\omega t)$$
+
+Упраздняя, получим:
+
+$$M\omega\sin\left( \frac{\omega L}{c} \right)=\frac{kL}{c}\cos\left( \frac{\omega L}{c} \right)$$
+
+Выражаем массу $M$:
+
+$$M=\frac{kL}{\omega c}\cot\left( \frac{\omega L}{c} \right) \tag{12}$$
+
+Подставим в (12) формулу для скорости распространения волн (5):
+
+$$M=\frac{kL}{\omega L\sqrt{\frac{k}{m}}}\cot\left( \frac{\omega L}{L\sqrt{\frac{k}{m}}} \right)=\frac{\sqrt{mk}}{\omega}\cot\left( \omega\sqrt{\frac{m}{k}} \right)$$
+
#### Ответ
−[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]
+$$M=\frac{\sqrt{mk}}{\omega}\cot\left( \omega\sqrt{\frac{m}{k}} \right)$$