Edits to “Ответ”, “Post Scriptum”, “Решение”

emixter edited May 3, 2026, 3:20 PM

View solution History

revision #18009 parent #18008 ← older

ru/3.9.26.md +41 −0

			### Условие

			$3.9.26.$ Определите массу тела, связанного через упругую подставку жесткости $k$ и массы $m$ с жестким полом, если первая резонансная частота продольных колебаний этой системы равна $\omega$.


			### Решение

			Смоделируем нашу упругую подставку как однородный стержень длиной $L$, массой $m$ и жесткостью $k$. В такой моделе продольные колебания сечений стержня $u(x,t)$ описываются волновым уравнением:

			$$\frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}=c^{2}\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} \tag{1}$$

			где $c$ - скорость распространения продольных волн в стержне:

			$$c=\sqrt{\frac{E}{\rho}} \tag{2}$$

			где $E$ - модуль Юнга стержня, $\rho$ - його плотность. (Формула для скорости выведена в Post Scriptum).

			Пусть $S$ - площадь сечения, тогда плотность стержня можна выразить:

			$$\rho=\frac{m}{SL} \tag{3}$$

			Согласно закону Гука:

			$$k\Delta L=\sigma S=E\varepsilon S=ES\frac{\Delta L}{L}$$

			где $\sigma$ - напряжение деформации, $\varepsilon$ - относительная деформация. Отсюда:

			$$E=\frac{kL}{S} \tag{4}$$

			Подставим (3) и (4) в (2):

			$$c=\sqrt{\frac{\frac{kL}{S}}{\frac{m}{SL}}}=L\sqrt{\frac{k}{m}} \tag{5}$$

			Запишу граничные условия на концах стержня. По условию у нас пол жёсткий, это означает, что смещение равно 0:

			$$u(0,t)=0 \tag{6}$$

			Согласно второму закону Ньютона для груза $M$ (искомая масса тела), который находится в точке $x=L$:

			$$Ma=F_{внеш} \tag{7}$$

			Ускорение груза:

			$$a=\frac{\partial^{2} u(L,t)}{\partial t^{2}} \tag{8}$$

			Сила, с которой стержень действует на груз, направлена противоположно направлению деформации:

			$$F_{внеш}=-k\Delta L=-kL\varepsilon=-kL\frac{\partial u(L,t)}{\partial x} \tag{9}$$

			Подставим (8) и (9) в (7) и получим второе граничное условие:

			$$M\frac{\partial^{2} u(L,t)}{\partial t^{2}}=-kL\frac{\partial u(L,t)}{\partial x} \tag{10}$$

			Буду искать решение волнового уравнения в виде гармонических колебаний:

			$$u(x,t)=D(x)\cos(\omega t)$$

			Подставим в (1):

			$$-\omega^{2}D(x)\cos(\omega t)=c^{2}D^{''}(x)\cos(\omega t)$$

			Получаем уравнение гармонического осциллятора:

			$$D^{''}(x)+\frac{\omega^{2}}{c^{2}}D(x)=0$$

			Его решением будет:

			$$D(x)=A\sin\left( \frac{\omega x}{c} \right)+B\cos\left( \frac{\omega x}{c} \right)$$

			Используем первое граничное условие (6):

			$$0=u(0,t)=D(0)=A\sin\left( 0 \right)+B\cos\left( 0 \right)=B$$

			Значит:

			$$D(x)=A\sin\left( \frac{\omega x}{c} \right)$$

			Решение волнового уравнения можно перезаписать:

			$$u(x,t)=A\sin\left( \frac{\omega x}{c} \right)\cos(\omega t) \tag{11}$$

			Подставим это решение во второе граничное условие (10) и взяв частные производные второго порядка в точке $x=L$, получим:

			$$-M\omega^{2}A\sin\left( \frac{\omega L}{c} \right)\cos(\omega t)=-kLA\frac{\omega}{c}\cos\left( \frac{\omega L}{c} \right)\cos(\omega t)$$

			Упраздняя, получим:

			$$M\omega\sin\left( \frac{\omega L}{c} \right)=\frac{kL}{c}\cos\left( \frac{\omega L}{c} \right)$$

			Выражаем массу $M$:

			$$M=\frac{kL}{\omega c}\cot\left( \frac{\omega L}{c} \right) \tag{12}$$

			Подставим в (12) формулу для скорости распространения волн (5):

			$$M=\frac{kL}{\omega L\sqrt{\frac{k}{m}}}\cot\left( \frac{\omega L}{L\sqrt{\frac{k}{m}}} \right)=\frac{\sqrt{mk}}{\omega}\cot\left( \omega\sqrt{\frac{m}{k}} \right)$$

		@@ -98,3 +98,44 @@Решение
			#### Ответ

			$$M=\frac{\sqrt{mk}}{\omega}\cot\left( \omega\sqrt{\frac{m}{k}} \right)$$
		+
		+	#### Post Scriptum
		+
		+	В задаче $3.6.21. б$ как раз необходимо найти скорость волны через модуль Юнга и плотность. Вот условие задачи:
		+
		+	В движущейся области деформации (бегущей волне), сохраняющей свою форму при перемещении по стержню, кинетическая энергия частиц равна упругой. Определите скорость волны через модуль Юнга $E$ и плотность $\rho$ материала стержня.
		+
		+	#### Решение
		+
		+	Рассмотрим малый элемент стержня массой $dm=\rho dV$. Если частицы в этой области движутся со скоростью $u=\frac{d \xi}{dt}$, где $\xi$ - смещение, то их кинетическая энергия равна:
		+
		+	$$dK=\frac{1}{2}dm\cdot u^{2}=\frac{1}{2}\rho dV\left( \frac{d\xi}{dt} \right)^{2}$$
		+
		+	Объемная плотность кинетической энергии составит:
		+
		+	$$\omega_{K}=\frac{1}{2}\rho \left( \frac{d\xi}{dt} \right)^{2}$$
		+
		+	Относительная деформация:
		+
		+	$$\varepsilon=\frac{\partial \xi}{\partial x}$$
		+
		+	Тогда плотность потенциальной энергии равна:
		+
		+	$$\omega_{P}=\frac{1}{2}E\varepsilon^{2}=\frac{1}{2}E\left( \frac{\partial \xi}{\partial x} \right)^{2}$$
		+
		+	Для бегущей волны, сохраняющей форму, смещение описывается функцией:
		+
		+	$$\xi(x,t)=f(x-ct)$$
		+
		+	где $c$ - фазовая скорость волны. Отсюда производные:
		+
		+	$$\frac{\partial \xi}{\partial t}=-cf^{'}(x-ct)$$
		+	$$\frac{\partial \xi}{\partial x}=f{'}(x-ct)$$
		+
		+	Подставляя это в условие $\omega_{K}=\omega_{P}$:
		+
		+	$$\frac{1}{2}\rho\left( -cf^{'} \right)^{2}=\frac{1}{2}E\left( f^{'} \right)^{2}$$
		+
		+	Окончательно:
		+
		+	$$\rho c^{2}=E\Longrightarrow c=\sqrt{\frac{E}{\rho}}$$

	### Условие		### Условие

	$3.9.26.$ Определите массу тела, связанного через упругую подставку жесткости $k$ и массы $m$ с жестким полом, если первая резонансная частота продольных колебаний этой системы равна $\omega$.		$3.9.26.$ Определите массу тела, связанного через упругую подставку жесткости $k$ и массы $m$ с жестким полом, если первая резонансная частота продольных колебаний этой системы равна $\omega$.


	### Решение		### Решение

	Смоделируем нашу упругую подставку как однородный стержень длиной $L$, массой $m$ и жесткостью $k$. В такой моделе продольные колебания сечений стержня $u(x,t)$ описываются волновым уравнением:		Смоделируем нашу упругую подставку как однородный стержень длиной $L$, массой $m$ и жесткостью $k$. В такой моделе продольные колебания сечений стержня $u(x,t)$ описываются волновым уравнением:

	$$\frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}=c^{2}\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} \tag{1}$$		$$\frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}=c^{2}\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} \tag{1}$$

	где $c$ - скорость распространения продольных волн в стержне:		где $c$ - скорость распространения продольных волн в стержне:

	$$c=\sqrt{\frac{E}{\rho}} \tag{2}$$		$$c=\sqrt{\frac{E}{\rho}} \tag{2}$$

	где $E$ - модуль Юнга стержня, $\rho$ - його плотность. (Формула для скорости выведена в Post Scriptum).		где $E$ - модуль Юнга стержня, $\rho$ - його плотность. (Формула для скорости выведена в Post Scriptum).

	Пусть $S$ - площадь сечения, тогда плотность стержня можна выразить:		Пусть $S$ - площадь сечения, тогда плотность стержня можна выразить:

	$$\rho=\frac{m}{SL} \tag{3}$$		$$\rho=\frac{m}{SL} \tag{3}$$

	Согласно закону Гука:		Согласно закону Гука:

	$$k\Delta L=\sigma S=E\varepsilon S=ES\frac{\Delta L}{L}$$		$$k\Delta L=\sigma S=E\varepsilon S=ES\frac{\Delta L}{L}$$

	где $\sigma$ - напряжение деформации, $\varepsilon$ - относительная деформация. Отсюда:		где $\sigma$ - напряжение деформации, $\varepsilon$ - относительная деформация. Отсюда:

	$$E=\frac{kL}{S} \tag{4}$$		$$E=\frac{kL}{S} \tag{4}$$

	Подставим (3) и (4) в (2):		Подставим (3) и (4) в (2):

	$$c=\sqrt{\frac{\frac{kL}{S}}{\frac{m}{SL}}}=L\sqrt{\frac{k}{m}} \tag{5}$$		$$c=\sqrt{\frac{\frac{kL}{S}}{\frac{m}{SL}}}=L\sqrt{\frac{k}{m}} \tag{5}$$

	Запишу граничные условия на концах стержня. По условию у нас пол жёсткий, это означает, что смещение равно 0:		Запишу граничные условия на концах стержня. По условию у нас пол жёсткий, это означает, что смещение равно 0:

	$$u(0,t)=0 \tag{6}$$		$$u(0,t)=0 \tag{6}$$

	Согласно второму закону Ньютона для груза $M$ (искомая масса тела), который находится в точке $x=L$:		Согласно второму закону Ньютона для груза $M$ (искомая масса тела), который находится в точке $x=L$:

	$$Ma=F_{внеш} \tag{7}$$		$$Ma=F_{внеш} \tag{7}$$

	Ускорение груза:		Ускорение груза:

	$$a=\frac{\partial^{2} u(L,t)}{\partial t^{2}} \tag{8}$$		$$a=\frac{\partial^{2} u(L,t)}{\partial t^{2}} \tag{8}$$

	Сила, с которой стержень действует на груз, направлена противоположно направлению деформации:		Сила, с которой стержень действует на груз, направлена противоположно направлению деформации:

	$$F_{внеш}=-k\Delta L=-kL\varepsilon=-kL\frac{\partial u(L,t)}{\partial x} \tag{9}$$		$$F_{внеш}=-k\Delta L=-kL\varepsilon=-kL\frac{\partial u(L,t)}{\partial x} \tag{9}$$

	Подставим (8) и (9) в (7) и получим второе граничное условие:		Подставим (8) и (9) в (7) и получим второе граничное условие:

	$$M\frac{\partial^{2} u(L,t)}{\partial t^{2}}=-kL\frac{\partial u(L,t)}{\partial x} \tag{10}$$		$$M\frac{\partial^{2} u(L,t)}{\partial t^{2}}=-kL\frac{\partial u(L,t)}{\partial x} \tag{10}$$

	Буду искать решение волнового уравнения в виде гармонических колебаний:		Буду искать решение волнового уравнения в виде гармонических колебаний:

	$$u(x,t)=D(x)\cos(\omega t)$$		$$u(x,t)=D(x)\cos(\omega t)$$

	Подставим в (1):		Подставим в (1):

	$$-\omega^{2}D(x)\cos(\omega t)=c^{2}D^{''}(x)\cos(\omega t)$$		$$-\omega^{2}D(x)\cos(\omega t)=c^{2}D^{''}(x)\cos(\omega t)$$

	Получаем уравнение гармонического осциллятора:		Получаем уравнение гармонического осциллятора:

	$$D^{''}(x)+\frac{\omega^{2}}{c^{2}}D(x)=0$$		$$D^{''}(x)+\frac{\omega^{2}}{c^{2}}D(x)=0$$

	Его решением будет:		Его решением будет:

	$$D(x)=A\sin\left( \frac{\omega x}{c} \right)+B\cos\left( \frac{\omega x}{c} \right)$$		$$D(x)=A\sin\left( \frac{\omega x}{c} \right)+B\cos\left( \frac{\omega x}{c} \right)$$

	Используем первое граничное условие (6):		Используем первое граничное условие (6):

	$$0=u(0,t)=D(0)=A\sin\left( 0 \right)+B\cos\left( 0 \right)=B$$		$$0=u(0,t)=D(0)=A\sin\left( 0 \right)+B\cos\left( 0 \right)=B$$

	Значит:		Значит:

	$$D(x)=A\sin\left( \frac{\omega x}{c} \right)$$		$$D(x)=A\sin\left( \frac{\omega x}{c} \right)$$

	Решение волнового уравнения можно перезаписать:		Решение волнового уравнения можно перезаписать:

	$$u(x,t)=A\sin\left( \frac{\omega x}{c} \right)\cos(\omega t) \tag{11}$$		$$u(x,t)=A\sin\left( \frac{\omega x}{c} \right)\cos(\omega t) \tag{11}$$

	Подставим это решение во второе граничное условие (10) и взяв частные производные второго порядка в точке $x=L$, получим:		Подставим это решение во второе граничное условие (10) и взяв частные производные второго порядка в точке $x=L$, получим:

	$$-M\omega^{2}A\sin\left( \frac{\omega L}{c} \right)\cos(\omega t)=-kLA\frac{\omega}{c}\cos\left( \frac{\omega L}{c} \right)\cos(\omega t)$$		$$-M\omega^{2}A\sin\left( \frac{\omega L}{c} \right)\cos(\omega t)=-kLA\frac{\omega}{c}\cos\left( \frac{\omega L}{c} \right)\cos(\omega t)$$

	Упраздняя, получим:		Упраздняя, получим:

	$$M\omega\sin\left( \frac{\omega L}{c} \right)=\frac{kL}{c}\cos\left( \frac{\omega L}{c} \right)$$		$$M\omega\sin\left( \frac{\omega L}{c} \right)=\frac{kL}{c}\cos\left( \frac{\omega L}{c} \right)$$

	Выражаем массу $M$:		Выражаем массу $M$:

	$$M=\frac{kL}{\omega c}\cot\left( \frac{\omega L}{c} \right) \tag{12}$$		$$M=\frac{kL}{\omega c}\cot\left( \frac{\omega L}{c} \right) \tag{12}$$

	Подставим в (12) формулу для скорости распространения волн (5):		Подставим в (12) формулу для скорости распространения волн (5):

	$$M=\frac{kL}{\omega L\sqrt{\frac{k}{m}}}\cot\left( \frac{\omega L}{L\sqrt{\frac{k}{m}}} \right)=\frac{\sqrt{mk}}{\omega}\cot\left( \omega\sqrt{\frac{m}{k}} \right)$$		$$M=\frac{kL}{\omega L\sqrt{\frac{k}{m}}}\cot\left( \frac{\omega L}{L\sqrt{\frac{k}{m}}} \right)=\frac{\sqrt{mk}}{\omega}\cot\left( \omega\sqrt{\frac{m}{k}} \right)$$

	@@ -98,3 +98,44 @@Решение
	#### Ответ		#### Ответ

	$$M=\frac{\sqrt{mk}}{\omega}\cot\left( \omega\sqrt{\frac{m}{k}} \right)$$		$$M=\frac{\sqrt{mk}}{\omega}\cot\left( \omega\sqrt{\frac{m}{k}} \right)$$

			#### Post Scriptum

			В задаче $3.6.21. б$ как раз необходимо найти скорость волны через модуль Юнга и плотность. Вот условие задачи:

			В движущейся области деформации (бегущей волне), сохраняющей свою форму при перемещении по стержню, кинетическая энергия частиц равна упругой. Определите скорость волны через модуль Юнга $E$ и плотность $\rho$ материала стержня.

			#### Решение

			Рассмотрим малый элемент стержня массой $dm=\rho dV$. Если частицы в этой области движутся со скоростью $u=\frac{d \xi}{dt}$, где $\xi$ - смещение, то их кинетическая энергия равна:

			$$dK=\frac{1}{2}dm\cdot u^{2}=\frac{1}{2}\rho dV\left( \frac{d\xi}{dt} \right)^{2}$$

			Объемная плотность кинетической энергии составит:

			$$\omega_{K}=\frac{1}{2}\rho \left( \frac{d\xi}{dt} \right)^{2}$$

			Относительная деформация:

			$$\varepsilon=\frac{\partial \xi}{\partial x}$$

			Тогда плотность потенциальной энергии равна:

			$$\omega_{P}=\frac{1}{2}E\varepsilon^{2}=\frac{1}{2}E\left( \frac{\partial \xi}{\partial x} \right)^{2}$$

			Для бегущей волны, сохраняющей форму, смещение описывается функцией:

			$$\xi(x,t)=f(x-ct)$$

			где $c$ - фазовая скорость волны. Отсюда производные:

			$$\frac{\partial \xi}{\partial t}=-cf^{'}(x-ct)$$
			$$\frac{\partial \xi}{\partial x}=f{'}(x-ct)$$

			Подставляя это в условие $\omega_{K}=\omega_{P}$:

			$$\frac{1}{2}\rho\left( -cf^{'} \right)^{2}=\frac{1}{2}E\left( f^{'} \right)^{2}$$

			Окончательно:

			$$\rho c^{2}=E\Longrightarrow c=\sqrt{\frac{E}{\rho}}$$