Edits to “Условие”, “Решение”, “Ответ”

emixter edited
View solution History
revision #18015 parent #18014 ← older newer →
ru/3.9.13.md +65 −3
@@ -1,11 +1,73 @@
### Условие
−$3.9.13.$ [Вставьте условие задачи]
+$3.9.13.$ Как изменятся собственные частоты колебаний стального шарика при увеличении его радиуса вдвое?
### Решение
−asd
+$\textbf{Эпиграф}$: Большие тела звучат ниже - и в музыке, и в физике.
+Любую упругую колебательную систему по первой (основной) моде можно приближенно представить в виде эквивалентного гармонического осциллятора — тела массой $m_{экв}$, прикрепленного к пружине с жесткостью $k_{экв}$.
+
+Собственная круговая частота $\omega$ такого осциллятора задается формулой:
+
+$$\omega=\sqrt{\frac{k_{экв}}{m_{экв}}}$$
+
+Для анализа изменения частоты при изменении размеров тела (радиуса $R$) необходимо определить, как масштабируются параметры $m_{экв}$ и $k_{экв}$ при условии, что материал (сталь) и форма (шар) остаются неизменными.
+
+Полная масса однородного шара:
+
+$$m=\frac{4}{3}\pi R^{3}\rho$$
+
+Эквивалентная масса $m_{экв}$, участвующая в колебаниях, пропорциональна полной массе шара с некоторым безразмерным коэффициентом формы $\alpha$, который зависит только от конкретной моды колебаний:
+
+$$m_{экв}=\alpha m=\alpha\frac{4}{3}\pi R^{3}\rho$$
+
+Так как плотность стали $\rho=const$ и коэффициент формы $\alpha=const$, то:
+
+$$m_{экв}\sim R^{3} \tag{1}$$
+
+Эквивалентная жесткость $k_{экв}$ связывает возвращающую силу $F$ с характерным линейным смещением $x$ элементов шара:
+
+$$F=k_{экв}x$$
+
+Согласно закона Гука механическое напряжение:
+
+$$\sigma=E\cdot\varepsilon \tag{2}$$
+
+Напряжение в шаре создается силами упругости. Сила $F$ распределяется по характерной площади поперечного сечения шара $S\sim R^{2}$, тогда:
+
+$$\sigma=\frac{F}{S}\Longrightarrow \sigma\sim \frac{F}{R^{2}} \tag{3}$$
+
+Относительная деформация - это отношение абсолютного смещения $x$ к характерному линейному размеру тела, вдоль которого происходит деформация. Для шара этим размером является его радиус $R$:
+
+$$\varepsilon=\frac{x}{R} \tag{4}$$
+
+Подставим (3) и (4) в (2):
+
+$$\frac{F}{R^{2}}\sim E\frac{x}{R}\Longrightarrow F\sim ER\cdot x$$
+
+Сравнивая эту формулу с $F=k_{экв}x$, получим:
+
+$$k_{экв}\sim ER$$
+
+Так как сталь не меняется, её модуль упругости $E=const$. Следовательно:
+
+$$k_{экв}\sim R \tag{5}$$
+
+Подставим (1) и (5) в формулу частоты осциллятора:
+
+$$\omega=\sqrt{\frac{k_{экв}}{m_{экв}}}\sim \sqrt{\frac{R}{R^{3}}}=\frac{1}{R}$$
+
+Поскольку $\omega=2\pi f$, то:
+
+$$f\sim \frac{1}{R}$$
+
+Отношение частот для начального и конечного состояния:
+
+$$\frac{f_{2}}{f_{1}}=\frac{R}{2R}=\frac{1}{2}\Longrightarrow f_{2}=\frac{1}{2}f_{1}$$
+
+Итак, собственные частоты колебаний уменьшатся в 2 раза.
+
#### Ответ
−[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]
+Уменьшатся в два раза.