| $$\omega=\sqrt{\frac{k_{экв}}{m_{экв}}}$$ | | $$\omega=\sqrt{\frac{k_{экв}}{m_{экв}}}$$ |
| | | |
| Для анализа изменения частоты при изменении размеров тела (радиуса $R$) необходимо определить, как масштабируются параметры $m_{экв}$ и $k_{экв}$ при условии, что материал (сталь) и форма (шар) остаются неизменными. | | Для анализа изменения частоты при изменении размеров тела (радиуса $R$) необходимо определить, как масштабируются параметры $m_{экв}$ и $k_{экв}$ при условии, что материал (сталь) и форма (шар) остаются неизменными. |
| | | |
| Полная масса однородного шара: | | Полная масса однородного шара: |
| | | |
| $$m=\frac{4}{3}\pi R^{3}\rho$$ | | $$m=\frac{4}{3}\pi R^{3}\rho$$ |
| | | |
| Эквивалентная масса $m_{экв}$, участвующая в колебаниях, пропорциональна полной массе шара с некоторым безразмерным коэффициентом формы $\alpha$, который зависит только от конкретной моды колебаний: | | Эквивалентная масса $m_{экв}$, участвующая в колебаниях, пропорциональна полной массе шара с некоторым безразмерным коэффициентом формы $\alpha$, который зависит только от конкретной моды колебаний: |
| | | |
| $$m_{экв}=\alpha m=\alpha\frac{4}{3}\pi R^{3}\rho$$ | | $$m_{экв}=\alpha m=\alpha\frac{4}{3}\pi R^{3}\rho$$ |
| | | |
| Так как плотность стали $\rho=const$ и коэффициент формы $\alpha=const$, то: | | Так как плотность стали $\rho=const$ и коэффициент формы $\alpha=const$, то: |
| | | |
| $$m_{экв}\sim R^{3} \tag{1}$$ | | $$m_{экв}\sim R^{3} \tag{1}$$ |
| | | |
| Эквивалентная жесткость $k_{экв}$ связывает возвращающую силу $F$ с характерным линейным смещением $x$ элементов шара: | | Эквивалентная жесткость $k_{экв}$ связывает возвращающую силу $F$ с характерным линейным смещением $x$ элементов шара: |
| | | |
| $$F=k_{экв}x$$ | | $$F=k_{экв}x$$ |
| | | |
| Согласно закона Гука механическое напряжение: | | Согласно закона Гука механическое напряжение: |
| | | |
| $$\sigma=E\cdot\varepsilon \tag{2}$$ | | $$\sigma=E\cdot\varepsilon \tag{2}$$ |
| | | |
| Напряжение в шаре создается силами упругости. Сила $F$ распределяется по характерной площади поперечного сечения шара $S\sim R^{2}$, тогда: | | Напряжение в шаре создается силами упругости. Сила $F$ распределяется по характерной площади поперечного сечения шара $S\sim R^{2}$, тогда: |
| | | |
| $$\sigma=\frac{F}{S}\Longrightarrow \sigma\sim \frac{F}{R^{2}} \tag{3}$$ | | $$\sigma=\frac{F}{S}\Longrightarrow \sigma\sim \frac{F}{R^{2}} \tag{3}$$ |
| | | |
| Относительная деформация - это отношение абсолютного смещения $x$ к характерному линейному размеру тела, вдоль которого происходит деформация. Для шара этим размером является его радиус $R$: | | Относительная деформация - это отношение абсолютного смещения $x$ к характерному линейному размеру тела, вдоль которого происходит деформация. Для шара этим размером является его радиус $R$: |
| | | |
| $$\varepsilon=\frac{x}{R} \tag{4}$$ | | $$\varepsilon=\frac{x}{R} \tag{4}$$ |
| | | |
| Подставим (3) и (4) в (2): | | Подставим (3) и (4) в (2): |
| | | |
| $$\frac{F}{R^{2}}\sim E\frac{x}{R}\Longrightarrow F\sim ER\cdot x$$ | | $$\frac{F}{R^{2}}\sim E\frac{x}{R}\Longrightarrow F\sim ER\cdot x$$ |
| | | |
| Сравнивая эту формулу с $F=k_{экв}x$, получим: | | Сравнивая эту формулу с $F=k_{экв}x$, получим: |
| | | |
| $$k_{экв}\sim ER$$ | | $$k_{экв}\sim ER$$ |
| | | |
| Так как сталь не меняется, её модуль упругости $E=const$. Следовательно: | | Так как сталь не меняется, её модуль упругости $E=const$. Следовательно: |
| | | |
| $$k_{экв}\sim R \tag{5}$$ | | $$k_{экв}\sim R \tag{5}$$ |
| | | |
| Подставим (1) и (5) в формулу частоты осциллятора: | | Подставим (1) и (5) в формулу частоты осциллятора: |
| | | |
| $$\omega=\sqrt{\frac{k_{экв}}{m_{экв}}}\sim \sqrt{\frac{R}{R^{3}}}=\frac{1}{R}$$ | | $$\omega=\sqrt{\frac{k_{экв}}{m_{экв}}}\sim \sqrt{\frac{R}{R^{3}}}=\frac{1}{R}$$ |
| | | |
| Поскольку $\omega=2\pi f$, то: | | Поскольку $\omega=2\pi f$, то: |
| | | |
| $$f\sim \frac{1}{R}$$ | | $$f\sim \frac{1}{R}$$ |
| | | |
| Отношение частот для начального и конечного состояния: | | Отношение частот для начального и конечного состояния: |
| | | |
| $$\frac{f_{2}}{f_{1}}=\frac{R}{2R}=\frac{1}{2}\Longrightarrow f_{2}=\frac{1}{2}f_{1}$$ | | $$\frac{f_{2}}{f_{1}}=\frac{R}{2R}=\frac{1}{2}\Longrightarrow f_{2}=\frac{1}{2}f_{1}$$ |
| | | |
| Итак, собственные частоты колебаний уменьшатся в 2 раза. | | Итак, собственные частоты колебаний уменьшатся в 2 раза. |
| | | |
| #### Ответ | | #### Ответ |
| | | |
| Уменьшатся в два раза. | | Уменьшатся в два раза. |
