Решение

$а)$ Чтобы тело начало скольжение прикладываемая сила должна превосходить силу трения. При определении величины силы трения необходимо учесть, что в соответствии с третьим законом Ньютона тело действует на доску, а доска на тело, поэтому будет проявляться двойная сила трения

$$F_t = \mu g (m_1 + m_2)$$

Условие начала движения:

$$\boxed{F > \mu g (m_1 + m_2)}$$

Тело соскользнёт, когда доска сместится относительно тела на длину $l$. Введём относительное ускорение $a_\text{отн} = a_2 - a_1$ и воспользуемся кинематикой:

$$l = \frac{a_\text{отн} t^2}{2} \Rightarrow t = \sqrt{\frac{2l}{a_\text{отн}}}$$

Запишем второй закон Ньютона отдельно для тела и для доски (при скольжении на тело со стороны доски и на доску со стороны тела действует сила трения скольжения $\mu m_1 g$):

$$m_1 a_1 = \mu m_1 g, \qquad m_2 a_2 = F_0 - \mu m_1 g$$

Отсюда $a_1 = \mu g$, $a_2 = (F_0 - \mu m_1 g)/m_2$, и

$$a_\text{отн} = a_2 - a_1 = \frac{F_0 - \mu g (m_1 + m_2)}{m_2}$$

Время скольжения:

$$\boxed{t = \sqrt{\frac{2 l m_2}{F_0 - \mu g (m_1 + m_2)}}}$$

$б)$ На тело действует две внешние силы $F_0$ и сила трения $F_{тр}$. Запишем второй закон Ньютона для тела

$$m_1a_1 = F_0 - F_{тр}$$

Учитывая, что

$$F_{тр} = \mu N = \mu m_1 g$$

$$m_1a_1 = F_0 - \mu m_1 g$$

Откуда $a_1$ найдём как

$$\boxed{a_1 = \frac{F_0 - \mu m_1 g}{m_1}}$$

Между тем, из внешних сил на доску действует только сила трения с бруском

Тогда второй закон Ньютона для доски

$$m_2a_2 = \mu m_1 g$$

Выражаем $a_2$

$$\boxed{a_{2}=\mu g\frac{m_{1}}{m_{2}}}$$