Edits to “Условие”, “Решение”, “Ответ”

jzmicer edited
View solution History
revision #18072 parent #18071 ← older newer →
ru/7.1.8.md +66 −8
@@ -1,16 +1,74 @@
### Условие
−$7.1.8.$ [Вставьте условие задачи]
−
−### Решение
−
−Пылинка массы $10^{−12 }$ кг падает между вертикальными пластинами
+$7.1.8.$ Пылинка массы $10^{−12 }$ кг падает между вертикальными пластинами
плоского конденсатора на одинаковом расстоянии от них. Из-за сопротивления
воздуха скорость пылинки постоянна и равна $1$ мм/с. Конденсатор подключают
−к источнику напряжения $490$ В, и через $10 $ с пылинка достигает одной из пластин.
−Определите заряд пылинки. Расстояние между пластинами конденсатора $0,1$ м.
+к источнику напряжения $U=490$ В, и через $t_1=10 $ с пылинка достигает одной из пластин.
+Определите заряд пылинки. Расстояние между пластинами конденсатора $d=0,1$ м.
Силу сопротивления считать пропорциональной скорости пылинки.
+### Решение
+Нам интересен только тот факт, что пылинка движется в однородном поле, перпендикулярном ускорению свободного падения. Найдем это поле:
+$$
+E=\frac{U}{d}
+$$
+На пылинку действует сонаправленная с полем сила Лоренца, причем эта сила постоянна:
+$$
+F_L=qE
+$$
+Казалось бы, имеем простое равноускоренное приближение к пластинке конденсатора, но вспомним о сопротивлении воздуха и добавим его в уравнение движения.
+
+Пусть $F_d=\beta v_x \ $ (считая ось $x$ сонаправленной полю, $y$ - ускорению свободного падения ). Тогда уравенния $II$ закона Ньютона по осям
+$$
+mg-\beta v_y=0
+$$
+$$
+m\frac{dv_x}{dt}=qE-\beta v_x
+$$
+Зная граничные условия ($x(0)=0$, $x(t_1)=\frac{d}{2}$) нетрудно решить второй дифур, получив $\beta$ из первого уравнения:
+$$
+m\int_0^{v_x} \frac{dv_x}{qE-\beta v_x}=\int_0^t dt
+$$
+$$
+\int_0^{d/2}dx=\frac{d}{2}=\int_0^{t_1}v_xdt
+$$
+Расчет интегралов чисто технический, поэтому оставлю его вам. Должно получится:
+$$
+\beta=\frac{mg}{v_y}
+$$
+$$
+v_x(t)=\frac{Eq}{\beta}\left(1- e^{-\beta /mt} \right)
+$$
+$$
+\frac{d}{2}=\frac{Eq}{\beta}\left(t_1+\frac{m}{\beta}e^{-\beta t_1} -\frac{m}{\beta} \right)
+$$
+
+Из чего нетрудно выразить заряд:
+$$
+q=\frac{m}{2U}\left(\frac{gd}{v_y}\right)^2\left(\frac{g}{v_y}t_1+e^{-\frac{g}{v_y}t_1}-1\right)^{-1}
+$$
+В этой конкретной задаче чтобы не запутаться лучше разбить выражения на действия, и получить что то такое (размерности не указываю для экономии места):
+$$
+\frac{g}{v_y}t_1 = 9.8 \cdot 10^{4}=a
+$$
+значит, можно считать что
+$$
+\frac{g}{v_y}t_1+e^{-\frac{g}{v_y}t_1}-1 \approx\frac{g}{v_y}t_1-1\approx a
+$$
+$$
+\frac{m}{2U} \approx \frac{10^{-14}}{9.8}
+$$
+$$
+\left(\frac{gd}{v_y}\right)^2=10^{4}\cdot 9.8^2=9.8 \cdot a
+$$
+$$
+q=10^{−14} \ \text{Кл}
+$$
+$No:$
+- так как мы не знаем, как было подключено напряжение и к какой пластине полетел заряд, возможно определить только его модуль, но не знак
+- У Савченко ошибка/опечатка в ответе
#### Ответ
−[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]
+$$
+\boxed{q = 10^{−14} \ \text{Кл}}
+$$