$7.1.8.$ Пылинка массы $10^{−12 }$ кг падает между вертикальными пластинами плоского конденсатора на одинаковом расстоянии от них. Из-за сопротивления воздуха скорость пылинки постоянна и равна $1$ мм/с. Конденсатор подключают к источнику напряжения $U=490$ В, и через $t_1=10 $ с пылинка достигает одной из пластин. Определите заряд пылинки. Расстояние между пластинами конденсатора $d=0.1$ м. Силу сопротивления считать пропорциональной скорости пылинки.
### Решение
Нам интересен только тот факт, что пылинка движется в однородном поле, перпендикулярном ускорению свободного падения. Найдем это поле:
$$
E=\frac{U}{d}
$$
На пылинку действует сонаправленная с полем сила Кулона, причем эта сила постоянна:
$$
F_L=qE
$$
Казалось бы, имеем простое равноускоренное приближение к пластинке конденсатора, но вспомним о сопротивлении воздуха и добавим его в уравнение движения.
Пусть $F_d=\beta v_x \ $ (считая ось $x$ сонаправленной полю, $y$ - ускорению свободного падения ). Тогда уравенния $II$ закона Ньютона по осям
$$
mg-\beta v_y=0
$$
$$
m\frac{dv_x}{dt}=qE-\beta v_x
$$
Зная граничные условия ($x(0)=0$, $x(t_1)=\frac{d}{2}$) нетрудно решить второй дифур, получив $\beta$ из первого уравнения:
В этой конкретной задаче чтобы не запутаться лучше разбить выражения на действия, и получить что то такое (размерности не указываю для экономии места):
$$
@@ -64,7 +64,7 @@Решение
\frac{g}{v_y}t_1 = 9.8 \cdot 10^{4}=a
$$
−
значит, можно считать что
+
Это очень большое число, значит, можно считать что
$$
\frac{g}{v_y}t_1+e^{-\frac{g}{v_y}t_1}-1 \approx\frac{g}{v_y}t_1-1\approx a
$$
$$
\frac{m}{2U}\approx\frac{10^{-14}}{9.8}
$$
$$
\left(\frac{gd}{v_y}\right)^2=10^{4}\cdot 9.8^2=9.8 \cdot a
$$
$$
q=10^{−14} \ \text{Кл}
$$
@@ -85,6 +85,8 @@Решение
$No:$
- так как мы не знаем, как было подключено напряжение и к какой пластине полетел заряд, возможно определить только его модуль, но не знак
- У Савченко ошибка/опечатка в ответе
+
- можно показать, что для получения такого ответа достаточно сразу пренебречь сопротивлением воздуха и считать движение равноускоренным. Но учитывая постановку задачи это требует аккуратного обоснования и оценки. Тут погрешность наших приближений составит $\varepsilon\approx 0.001 \\% $ (вычислено с помощью Wolfram, обычный калькулятор может и не справиться)
+
#### Ответ
$$
\boxed{q = 10^{−14} \ \text{Кл}}
$$
unchanged lines 3
### Условие
### Условие
$7.1.8.$ Пылинка массы $10^{−12 }$ кг падает между вертикальными пластинами плоского конденсатора на одинаковом расстоянии от них. Из-за сопротивления воздуха скорость пылинки постоянна и равна $1$ мм/с. Конденсатор подключают к источнику напряжения $U=490$ В, и через $t_1=10 $ с пылинка достигает одной из пластин. Определите заряд пылинки. Расстояние между пластинами конденсатора $d=0.1$ м. Силу сопротивления считать пропорциональной скорости пылинки.
$7.1.8.$ Пылинка массы $10^{−12 }$ кг падает между вертикальными пластинами плоского конденсатора на одинаковом расстоянии от них. Из-за сопротивления воздуха скорость пылинки постоянна и равна $1$ мм/с. Конденсатор подключают к источнику напряжения $U=490$ В, и через $t_1=10 $ с пылинка достигает одной из пластин. Определите заряд пылинки. Расстояние между пластинами конденсатора $d=0.1$ м. Силу сопротивления считать пропорциональной скорости пылинки.
### Решение
### Решение
Нам интересен только тот факт, что пылинка движется в однородном поле, перпендикулярном ускорению свободного падения. Найдем это поле:
Нам интересен только тот факт, что пылинка движется в однородном поле, перпендикулярном ускорению свободного падения. Найдем это поле:
$$
$$
E=\frac{U}{d}
E=\frac{U}{d}
$$
$$
На пылинку действует сонаправленная с полем сила Кулона, причем эта сила постоянна:
На пылинку действует сонаправленная с полем сила Кулона, причем эта сила постоянна:
$$
$$
F_L=qE
F_L=qE
$$
$$
Казалось бы, имеем простое равноускоренное приближение к пластинке конденсатора, но вспомним о сопротивлении воздуха и добавим его в уравнение движения.
Казалось бы, имеем простое равноускоренное приближение к пластинке конденсатора, но вспомним о сопротивлении воздуха и добавим его в уравнение движения.
Пусть $F_d=\beta v_x \ $ (считая ось $x$ сонаправленной полю, $y$ - ускорению свободного падения ). Тогда уравенния $II$ закона Ньютона по осям
Пусть $F_d=\beta v_x \ $ (считая ось $x$ сонаправленной полю, $y$ - ускорению свободного падения ). Тогда уравенния $II$ закона Ньютона по осям
$$
$$
mg-\beta v_y=0
mg-\beta v_y=0
$$
$$
$$
$$
m\frac{dv_x}{dt}=qE-\beta v_x
m\frac{dv_x}{dt}=qE-\beta v_x
$$
$$
Зная граничные условия ($x(0)=0$, $x(t_1)=\frac{d}{2}$) нетрудно решить второй дифур, получив $\beta$ из первого уравнения:
Зная граничные условия ($x(0)=0$, $x(t_1)=\frac{d}{2}$) нетрудно решить второй дифур, получив $\beta$ из первого уравнения:
В этой конкретной задаче чтобы не запутаться лучше разбить выражения на действия, и получить что то такое (размерности не указываю для экономии места):
В этой конкретной задаче чтобы не запутаться лучше разбить выражения на действия, и получить что то такое (размерности не указываю для экономии места):
$$
$$
@@ -64,7 +64,7 @@Решение
\frac{g}{v_y}t_1 = 9.8 \cdot 10^{4}=a
\frac{g}{v_y}t_1 = 9.8 \cdot 10^{4}=a
$$
$$
значит, можно считать что
Это очень большое число, значит, можно считать что
$$
$$
\frac{g}{v_y}t_1+e^{-\frac{g}{v_y}t_1}-1 \approx\frac{g}{v_y}t_1-1\approx a
\frac{g}{v_y}t_1+e^{-\frac{g}{v_y}t_1}-1 \approx\frac{g}{v_y}t_1-1\approx a
$$
$$
$$
$$
\frac{m}{2U}\approx\frac{10^{-14}}{9.8}
\frac{m}{2U}\approx\frac{10^{-14}}{9.8}
$$
$$
$$
$$
\left(\frac{gd}{v_y}\right)^2=10^{4}\cdot 9.8^2=9.8 \cdot a
\left(\frac{gd}{v_y}\right)^2=10^{4}\cdot 9.8^2=9.8 \cdot a
$$
$$
$$
$$
q=10^{−14} \ \text{Кл}
q=10^{−14} \ \text{Кл}
$$
$$
@@ -85,6 +85,8 @@Решение
$No:$
$No:$
- так как мы не знаем, как было подключено напряжение и к какой пластине полетел заряд, возможно определить только его модуль, но не знак
- так как мы не знаем, как было подключено напряжение и к какой пластине полетел заряд, возможно определить только его модуль, но не знак
- У Савченко ошибка/опечатка в ответе
- У Савченко ошибка/опечатка в ответе
- можно показать, что для получения такого ответа достаточно сразу пренебречь сопротивлением воздуха и считать движение равноускоренным. Но учитывая постановку задачи это требует аккуратного обоснования и оценки. Тут погрешность наших приближений составит $\varepsilon\approx 0.001 \\% $ (вычислено с помощью Wolfram, обычный калькулятор может и не справиться)
