Решение

Решить задачу можно и просто записав ЗСИ и ЗСЭ, но я хочу показать другой способ. Можно заметить, что если перейти в систему отсчета, где электроны в пучке покоятся, мы будем наблюдать эффект Комптона. Изменение энергии при рассеянии фотона в этом случае можно получить из достаточно известной формулы
$$\frac{1}{\nu'}-\frac{1}{\nu}=\frac{h}{m_e c^2}(1-\cos\alpha)$$
где - угол рассеяния фотона. Эта формула выведена в задаче $14.5.23$.

В итоге, нам надо аккуратно перейти в такую систему, рассчитать энергию и вернуться назад в лабораторную.

Для удобства выкладок перейдём в такую систему единиц, что в ней $c=1$. Это позволит сократить запись, причем удобно, что импульс фотона оказывается равен его энергии. Договоримся, что в лабораторной системе (ЛС) энергии будем обозначать буквой $\mathcal{E}$, в системе покоя электрона (СП) - $E$.

Итак, гамма фактор для электрона в ЛС, очевидно,
$$\gamma=(1-v^2)^{-\frac{1}{2}}=\frac{ \mathcal{E}_e }{m_e}, \ \to \ v=\sqrt{1-\left(\frac{m_e}{ \mathcal{E}_e }\right)^2}=\frac{\sqrt{\mathcal{E}_e^2-m_e^2}}{\mathcal{E}_e}$$
Именно с этой скоростью движется СП относительно ЛС. Найдём энергию фотона в СП с помощью формулы для релятивистского эффекта Доплера:

$$E=\mathcal{E}\gamma(1+v)$$

Используя формулу Комптона, получим изменение энергии при столкновении:
$$E'=\frac{Em_e}{E(1-\cos\alpha)+m_e}$$

Максимум энергии в ЛС достигается, когда в СП фотон рассеивается назад ($\alpha=\pi$), потому что при обратном преобразовании в ЛС фотон, рассеянный назад в СП, после преобразования получает максимальный доплеровский сдвиг вперёд (в направлении движения электрона)
$$E'=\frac{Em_e}{2E+m_e}$$
Обратный переход (учитывая, что направление движения фотона изменилось)
$$\mathcal{E}'=E'\gamma(1+v)$$
$$\mathcal{E}'_{max} =\frac{Em_e}{2E+m_e}\gamma(1+v)=\frac{\mathcal{E}\gamma^2(1+v)^2m_e}{2\mathcal{E}\gamma(1+v)+m_e}$$
Домножим числитель и знаменатель на $(1-v)$
$$\mathcal{E}'_{max} =\frac{\mathcal{E}m_e(1+v)}{2\mathcal{E}\gamma(1-v^2)+m_e(1-v)}$$
$$\mathcal{E}'_{max} =\frac{\mathcal{E}m_e(1+v)\gamma}{2\mathcal{E}+m_e\gamma(1-v)}$$
$$\mathcal{E}'_{max} =\mathcal{E}\frac{\mathcal{E}_e(1+v)}{2\mathcal{E}+\mathcal{E}_e(1-v)}$$
Наконец подставим скорость
$$\mathcal{E}'_{max} =\mathcal{E}\frac{\mathcal{E}_e+\sqrt{\mathcal{E}_e^2-m_e^2}}{2\mathcal{E}+\mathcal{E}_e-\sqrt{\mathcal{E}_e^2-m_e^2}}$$

Теперь вернемся к стандартной системе единиц:

$$\mathcal{E}'_{max} =\mathcal{E}\frac{\mathcal{E}_e+\sqrt{\mathcal{E}_e^2-(m_e c^2)^2}}{2\mathcal{E}+\mathcal{E}_e-\sqrt{\mathcal{E}_e^2-(m_e c^2)^2}}$$
Не забудем про численное значение (Савченко забыл...)
$$\mathcal{E}_{max}\approx 6\cdot10^9 \ эВ$$
$No:$ У Савченко, видимо, в ответе небольшая опечаткa.