Edits to “Условие”, “Решение”, “Ответ”

jzmicer edited
View solution History
revision #18254 parent #18246 ← older
ru/14.5.22.md +58 −5
@@ -1,21 +1,74 @@
### Условие
−$14.5.22.$ [Вставьте условие задачи]
+$14.5.22.$ Какую максимальную энергию могут приобрести фотоны с энергией $\mathcal{E} = 10 \ эВ$ при рассеянии на встречном пучке электронов с энергией $\mathcal{E}_e = 10^{10} \ эВ$?
### Решение
+Решить задачу можно и просто записав ЗСИ и ЗСЭ, но я хочу показать другой способ. Можно заметить, что если перейти в систему отсчета, где электроны в пучке покоятся, мы будем наблюдать [эффект Комптона](https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D1%84%D1%84%D0%B5%D0%BA%D1%82_%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%BF%D1%82%D0%BE%D0%BD%D0%B0). Изменение энергии при рассеянии фотона в этом случае можно получить из достаточно известной формулы
+$$
+\frac{1}{\nu'}-\frac{1}{\nu}=\frac{h}{m_e c^2}(1-\cos\alpha)
+$$
+где - угол рассеяния фотона. Эта формула выведена в задаче [$14.5.23$](https://savchenkosolutions.com/ru/14.5.23).
−Какую максимальную энергию могут приобрести фотоны с энергией $E = 10 \ эВ$ при рассеянии на встречном пучке электронов с энергией $Ee = 10^{10} \ эВ$?
+В итоге, нам надо аккуратно перейти в такую систему, рассчитать энергию и вернуться назад в лабораторную.
−Для упрощения выкладок перейдём в такую систему единиц, что в ней $c=1$.
+Для удобства выкладок перейдём в такую систему единиц, что в ней $c=1$. Это позволит сократить запись, причем удобно, что импульс фотона оказывается равен его энергии. Договоримся, что в лабораторной системе (ЛС) энергии будем обозначать буквой $\mathcal{E}$, в системе покоя электрона (СП) - $E$.
+Итак, гамма фактор для электрона в ЛС, очевидно,
$$
+\gamma=(1-v^2)^{-\frac{1}{2}}=\frac{ \mathcal{E}_e }{m_e}, \ \to \ v=\sqrt{1-\left(\frac{m_e}{ \mathcal{E}_e }\right)^2}=\frac{\sqrt{\mathcal{E}_e^2-m_e^2}}{\mathcal{E}_e}
+$$
+Именно с этой скоростью движется СП относительно ЛС. Найдём энергию фотона в СП с помощью формулы для релятивистского эффекта Доплера:
$$
+E=\mathcal{E}\gamma(1+v)
+$$
+Используя формулу Комптона, получим изменение энергии при столкновении:
$$
−\mathcal{E}_{max}=\mathcal{E}\frac{\mathcal{E}+\sqrt{\mathcal{E}_e^2+(m_e c^2)^2}}{2\mathcal{E}+\mathcal{E}_e-\sqrt{\mathcal{E}_e^2-(m_e c^2)^2}}
+E'=\frac{Em_e}{E(1-\cos\alpha)+m_e}
$$
+
+Максимум энергии в ЛС достигается, когда в СП фотон рассеивается назад ($\alpha=\pi$), потому что при обратном преобразовании в ЛС фотон, рассеянный назад в СП, после преобразования получает максимальный доплеровский сдвиг вперёд (в направлении движения электрона)
+$$
+E'=\frac{Em_e}{2E+m_e}
+$$
+Обратный переход (учитывая, что направление движения фотона изменилось)
+$$
+\mathcal{E}'=E'\gamma(1+v)
+$$
+$$
+\mathcal{E}'_{max} =\frac{Em_e}{2E+m_e}\gamma(1+v)=\frac{\mathcal{E}\gamma^2(1+v)^2m_e}{2\mathcal{E}\gamma(1+v)+m_e}
+$$
+Домножим числитель и знаменатель на $(1-v)$
+$$
+\mathcal{E}'_{max} =\frac{\mathcal{E}m_e(1+v)}{2\mathcal{E}\gamma(1-v^2)+m_e(1-v)}
+$$
+$$
+\mathcal{E}'_{max} =\frac{\mathcal{E}m_e(1+v)\gamma}{2\mathcal{E}+m_e\gamma(1-v)}
+$$
+$$
+\mathcal{E}'_{max} =\mathcal{E}\frac{\mathcal{E}_e(1+v)}{2\mathcal{E}+\mathcal{E}_e(1-v)}
+$$
+Наконец подставим скорость
+$$
+\mathcal{E}'_{max} =\mathcal{E}\frac{\mathcal{E}_e+\sqrt{\mathcal{E}_e^2-m_e^2}}{2\mathcal{E}+\mathcal{E}_e-\sqrt{\mathcal{E}_e^2-m_e^2}}
+$$
+
+Теперь вернемся к стандартной системе единиц:
+
+$$
+\mathcal{E}'_{max} =\mathcal{E}\frac{\mathcal{E}_e+\sqrt{\mathcal{E}_e^2-(m_e c^2)^2}}{2\mathcal{E}+\mathcal{E}_e-\sqrt{\mathcal{E}_e^2-(m_e c^2)^2}}
+$$
+Не забудем про численное значение (Савченко забыл...)
+$$
+\mathcal{E}_{max}\approx 6\cdot10^9 \ эВ
+$$
+$No:$ У Савченко, видимо, в ответе небольшая опечаткa.
#### Ответ
−[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]
+$$
+\boxed{
+\mathcal{E}_{max}=\mathcal{E}\frac{\mathcal{E}_e+\sqrt{\mathcal{E}_e^2+(m_e c^2)^2}}{2\mathcal{E}+\mathcal{E}_e-\sqrt{\mathcal{E}_e^2-(m_e c^2)^2}}\approx6\cdot10^9 \ эВ
+}
+$$