Решение

Эта задача является обобщением задачи $7.3.4$ на случай переменного напряжения на отклоняющих (управляющих пластинах).

Начнем с вычисления скорости поперечной $v_y$, приобретаемой электроном за все время движения $\tau$ между отклоняющими пластинами.

Из второго закона Ньютона на поперечное направление:

$$v_y=\int_0^\tau\frac{F(t)}{m}dt,\tag{1}$$

где $F_0(t)$ есть сила поля пластин, зависящая от времени $t$, $m$ есть масса электрона.

Напряжение на пластинах считаем гармоническим. Оно задается в общем для произвольного электрона с началом отсчета времени $t=0$ в момент его попадания в область между пластинами так:

$$U(t)=U_0\sin\left(\omega t+\varphi\right),\tag{2}$$

где $U_0$ есть амплитуда напряжения на пластинах, $\omega$ есть циклическая частота напряжения, $\varphi$ есть начальная фаза напряжения для произвольно выбранного электрона, попадающего в область между пластинами.

С учетом $F=Ee$ (где $E$ есть напряженность поля между пластинами, $e$ есть заряд электрона) и $E=U/d$ (где $d$ есть расстояние между пластинами) можем получить после подстановки $(2)$ в $(1)$ и замены переменной интегрирования следующее

$$v_y=\frac{eU_0}{md\omega}\int_0^\tau\sin(\omega t+\varphi)\,d(\omega t+\varphi).$$

После интегрирования:

$$v_y=\frac{eU_0}{md\omega}\big[\cos\varphi-\cos\left(\omega t+\varphi\right)\big].\tag{3}$$

По формуле суммы тригонометрических функций

$$\cos\alpha-\cos\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\beta-\alpha}{2}$$

перепишем $(3)$ в теминах синуса

$$v_y=\frac{2eU_0}{md\omega}\sin\left(\frac{\omega\tau}{2}+\varphi\right)\sin\left(\frac{\omega\tau}{2}\right)$$

(позже объясним этот переход).

Далее, не усложняя задачу, рассмотрим ситуацию $L\gg$ (где $L$ есть расстояние от экрана до точки вылета электрона после поперечного поля).

По результатам решения задачи $7.3.4$ в условиях нашей модели чувствительность $S$ равна

$$S=\frac{y}{U_\text{отк}},\tag{4}$$

где $y\approx v_y\frac{L}{v}$ (тут $v$ есть продольная скорость электрона) есть смещение электрона, $U_\text{отк}$ есть напряжение, вызывающее это смещение.

Отклоняющим напряжением $U_\text{отк}$ посчитаем значение напряжения $U(\tau/2)$ между пластинами в момент, когда электрон прошел половину продольного расстояния между пластинами:

$$U_\text{отк}=U_0\sin\left(\omega\frac{\tau}{2}+\varphi\right).$$

Подставляем найденное значение для $v_y$ в $(4)$ и с учетом сказанного про $U_\text{отк}$ и $eV=mv^2/2$ можем получить в такой форме

$$S=\frac{Ll}{2Vd}\frac{\sin\frac{\omega\tau}{2}}{\frac{\omega\tau}{2}}.$$

В пределе постоянного напряжения $\omega\to0$ приходим к результату задачи $7.3.4$

$$

$$